2025年高考数学第二次模拟考试（新高考Ⅰ卷2）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（新高考I卷

02）

全解全析

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/y=13工一。[,8={>3=3*+2}.则/口3=（）

A.[0,3]B.（0,2]C.[2,3]D.（2,3]

1.【答案】D

【解析】由3》--20,解得：0<x<3,故/=卜|y=J3X_X2}={X|04X43},

函数y=3'+2w（2,+co）,故8={yly=3*+2}=}加>2}.

所以/口2=（2,3].

故选：D

2.若复数z满足（l+i）z=l-i,则其共辗复数三为（）

A.1+iB.iC.-iD.-1-i

2.【答案】B

【解析】由（l+i）z=l-i,

所以三=i

故选：B

3.设XER,向量值=(%,1),3=(1,-2),且2"L6,贝"os(2-3,/)=()

AV2rVlOn行

55102

3.【答案】D

【解析】因为》=(x,l)3=。,一2),

又d所以尤一2=0,得至!Jx=2,

所以3=(2,1),得到3-分=(1,3),

/_、(a-b)-a5近

所以cos(1-6,@〉=^_zn—=-T=~~/==—.

'/归-可同75x7102

故选：D

4.数列｛%｝是首项不为0的等比数列,且公比大于0,则9>1"是“数列｛%｝递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

4.【答案】C

【解析】因为｛%｝是首项不为0的等比数列，且公比大于0,

当g>i时，取数列｛%,｝为：T一2,-4,…，4=2>1满足条件，

但此时数列｛4｝为递减数列，即充分性不成立；

当数列｛%,｝递增时，取数列｛0“｝为：-1,-提-；,…，满足条件，

但此时q=g<l,即必要性不成立；

综上，“4>1”是“数列｛%｝递增”的既不充分也不必要条件.

故选：C.

5.树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他

们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为3,5,6,8,14,15,16,17,18,若该组数据

4

的中位数是极差的则该组数据的第40百分位数是()

A.9B.10C.11D.12

5.【答案】A

4

【解析】由题可得极差是18-3=15,该组数据的中位数是极差的

相+144

列出等式一《一=《'15,解得加=10,

因为10义40%=4,

故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即空=9,

所以该组数据的第40百分位数是9.

故选：A.

22

6.已知椭圆宗+。=1,>6>0）的两个焦点为片,设过点P（0,b）组平行于=的直线交

小了=-fx于点。.若片。，匕。，则该椭圆的离心率为（）

b一

ABCJ14-2J41D,14+2向

~TV'2-2

6.【答案】C

【解析】由题意,耳（-G。），鸟（。,0）,

过点尸（0涉）组平行于=的直线方程为y=£x+b,

则而=(-2+c，3，丽=(一冬一c,g),由片。工鸟。，可得而.而=0,

2a22a2

BP-^+—-?=0,即/+。&_4//=0,

4az4

即(/-02)2+-c2)-4a2c2=0,

整理得2/一7/。2+。4=0,

两边同时除以/,可得e4-7e2+2=0,

又0<e<l,可得/=上回，则

22

故选：C.

7.四面体/BCD中，AB=AC=BC=2,DA=DB=DC=4,则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接

球半径长度的比值是（）

.3#)+1R3>/5-1C3#+1D3--1

(--------------------D.-------------------

2424、,.24■24

7.【答案】B

由题意可知，底面A/BC为等边三角形，设点。在底面的投影为Q,

则/q=十艮竿

设外接球的球心为。，则。在上，设外接球的半径为五,

在RtAD40|中，DO,=

①一h，解得“=黑

设00\=h,则=〃+

3)7JJ

所以小白）+〔码=詈所以"焉

又国诙=*2?=G,则八'=；S"c•四=gxGx咨=手,

设内切球的半径为〃，四面体的表面积为S,

且A/BAA/CDQBC。是全等的等腰三角形，

腰长为4,底边长为2,则高为,4?-F=而,

所以S=3jT7+VL

则厂=；Sr,即名叵=1、（3岳+若上，解得厂=即（3岳一道）旧,

3331>3V15+V366

（3岳-@而

则，•一66（3百卜百3店-1

RJ2_7224

■x/33

故选：B

8.对于函数y=fQ)与y=g(x),若存在/,使=,则称川卜。,可-/名(-厮))是〃x)

与g(x)图象的一对“隐对称点”.已知函数［(x)=m(x+l),g(x)=竽，函数/'(x)与g(x)的图象恰好存在

两对“隐对称点”，则实数机的取值范围为()

A.(-1,0)B.(-»,-!)

C.(0,1)口(1，+8)D.(-8,-1)3-1,0)

8.【答案】D

【解析】由题意函数了=-机(x-1)与>=U史的图象有两个交点，

X

令〃(x)=¥，贝=三"，

当尤e(O,e)时，h'{x}>0,久久)单调递增；

当X£(e,+8)时，h'(x)<0,h(%)单调递减;

又歹二一加(工一1)恒过点(1,0),当X>1时，/i(x)>0,

在同一坐标系中作出函数y=-机〃(x)=¥的图象，如图，

iy=-m(x-l)

由图象可知，若函数歹=一心(》-1)与>=叵的图象有两个交点，则-m>0,

当直线y=-机(尤-1)为函数>=』竺图象的切线时，由“(1)=1,可得-a=1,

X

0〈一冽且一切W1,即加£(一.一1)u(-1,0).

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下面命题中是假命题的有()

A.△Z5C中,若sin4〉sin8,则力>3

B.若sin0>0,则夕是第一象限角或第二象限角

C.若一个扇形所在圆的半径为2,其圆心角为2弧度，则扇形的周长为8

4

D.函数/(x)=sinx+--的最小值为4

sinx

9.【答案】BD

【解析】对于A选项，△/3C中，若sin/>sin8,则。>b,所以，A>B,A对；

对于B选项，若sind>0,则夕是第一象限角或第二象限角或。角的终边在V轴的非负半轴，B错；

对于C选项，若一个扇形所在圆的半径为2,其圆心角为2弧度，贝IJ扇形的周长为2x2+2x2=8,C对；

对于D选项，若sinx<0,贝!|/(x)=sinx+」一<0<4,D错.

sinx

故选：BD.

10.造型名称为四叶型或幸运草型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶玫瑰线.已知定长线段N2的长度

为4,它的两个端点43分别在X轴、y轴上(均不过原点O)滑动，过。向线段作垂线,垂足M

的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线C,则下列结论正确的是()

A•点(立⑹在曲线C上

B.曲线C有且只有两条对称轴

C.曲线C围成区域的面积不超过47t

D.当点("?,")在曲线C上时，帆»42

10.【答案】ACD

【解析】

设M(x,y)(xw0jw0),⑼伉wO),8(0,%)(%w0),

则。M=AB=[-x0,y0'),AM=(x-x0,y),由|AB|=4得x：=16①,

由九_L两得冠,次=(-Xo，%)-(xj)=O,即%②,

由点M在线段48上，得刀7〃万，则％(^-/"-/了③.

22322

由①②可得2,由②③可得％=”+了,ti(x+y)=16xy,

x+yx'/

所以曲线C的方程为(x?+Vy=16x2/(X/0,yw0).

选项A：将("⑹代入曲线C的方程，易知[(闻,+(后)[=16x(收)，(仞2成立，故A正确.

选项B：用-x替换无，曲线C的方程不变，所以曲线C关于了轴对称；用r替换了，曲线C的方程不变,

所以曲线C关于x轴对称；x与了互换，曲线C的方程不变，所以曲线C关于直线了=》对称；用一%替换

y,T替换无，曲线C的方程不变，所以曲线C关于直线y=r对称.所以曲线c有四条对称轴，故B错误.

选项C：因为，+/丫=16苫2/416]¥9],所以所以曲线C围成区域的面积不超过4兀,

故C正确.

选项D：由16。2=32+必)3乂2|切)3,得回归2,

当且仅当国=3=也时取等号，所以当点(加,〃)在曲线C上时，帆〃归2,故D正确.

故选：ACD

11.已知函数〃尤)的定义域为R,1(x)的导函数为了'(X),/(2-x)+/(4+x)=0,/(x-l)=/(5-x),当

xe[-2,0]时，/,(x)>0,则()

A./(x)为偶函数B.“X)的图象关于点(-1,0)中心对称

，4』心D.

11.【答案】AB

【解析】对于A,由“2-x)+/(4+x)=0,得〃6-x)=-/(x),

由/(x-l)=/(5-x),得/(x)=/(4-x),所以〃6-力=-/(4-力,

则/(6+x)=-〃4+x),所以〃2+x)=-〃x),

则〃4+x)=-/(2+x)=/(x),所以〃无)的一个周期为4,

由/(x)=/(4-x)与/(4+x)=/(x),

得〃4-X)=〃4+X),即〃T)=〃X),所以〃x)为偶函数，故A正确；

由/(2-x)+/(4+x)=0,得〃3i-无)=_〃3+x),所以〃x)的图象关于点(3,0)中心对称，

又/(-!)=/(-4+3)=/⑶=0,所以〃x)的图象关于(-1,0)中心对称，故B正确；

因为当xe[-2,0]时，r（x）＞0,所以当xe[2,4]时，/（x）＞0,

因为/（x）=/（4-x）,所以〃x）的图象关于直线x=2对称，

所以当xe[0,2]时，r（x）＜0,所以〃x）在（0,2）上单调递减，

所以-4+|j=＞/[]，故C不正确；

因为"1）+〃5）=0,X/（5）=/（4+l）=/（l）,

所以“1）=0,又43）=/⑴=0,/（2）+/（4）=0,

2025

所以Z/（后）=506x0+/（l）=0,故D不正确.

k=l

故选：AB.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（1-3x）（l+2x）5的展开式中/的系数为（用数字作答）

12.【答案】-40

rrr

【解析】（1+2x）5的展开式的通项式=Gx15Tx（2x）=TC5x

当r=2时，7；=2"（3夕2=40/,

当r=3时，7；=23XC^3=80X3,

。-3x）（1+2x）5的展开式中含/的系数为-3x40+1x80=-40.

故答案为：-40.

13.大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列｛%｝中，对于

笈=1,2,3,…，数列%._”%.，。2斤+1是公差为4t的等差数列，且｛4｝也是等差数列.已知4=。,%=4,

%=24,则%=;｛4｝的前9项和等于.

13.【答案】12140

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,依题意，%,%，生成等差数列，公差4=?二三=2,

3-1

由生,%，%成公差为4的等差数列，得％=。3+2/2=4+2（2+/）=8+2d,

由〃5,〃6,〃7成公差为，3的等差数列，得%=%+2d③=8+2d+2(2+2d)=12+6d,

而%=24,即12+61=24,解得d=2,a5=12；

"4=4+31=8,由。7，〃8，。9成公差为"4的等差数列，得。9=%+2〃=40,

所以｛%｝的前9项和++++

3333

=5"1+2(4+"5+"7)+5"9=5、。+2(4+12+24)+—x40=140.

故答案为：12；140

14.如图，在平行四边形中，已知/2=CD=6,AD=BC=3,BD=2,现将沿2。折起,

得到三棱锥4-8CD,且NC="，则三棱锥Z-BCD外接球的表面积为.

【解析】

如图，过5作AF〃CZ),且2尸=C£>,过。作。E〃28,S.DE=AB,

连接/E,AF,CF,根据题意可知&)||NE||FC,BD=AE=FC,

因为45=。。=石，AD=BC=3,BD=2,

所以40?=加+班2，BD2+CD-=BC2,

所以3D_L4B,BDVCD,BF//CD,所以AD_L8尸，

AB,BF是平面ABF内的两条相交直线，所以3。，平面ABF,

所以三棱柱ABF-EDC为直三棱柱.

则三棱锥A-BCD与直三棱柱ABF-EDC的外接球相同.

在RtZUC/中，AC=a,CF=2,；.AF=sj2.

在△NB/中，AB=BF=小,AF=6，

-AF3

小21,所以sin/54F=—j=

cosZBAF=——=-j='m少、布.

ABV107

BF755近

设ZX4B尸的外接圆半径为，，由正弦定理得“C_一sin/B/尸三二亍

VTo

故△匪尸的外接圆半径一”

6

43

设三棱柱NAF-EDC的外接球半径为火，由勾股定理尺②=F+

?8

贝IJ三棱锥A-BCD夕卜接球的表面积s=4况R2=4兀X；|二等

故答案为：§兀

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

如图，在等边三角形△/吕。中，。为边8c上一点，BQ=2CQ,点"，N分别是边/民NC上的动点（不

包括端点），若NM0N=12O。，且设NCN0=，

=2恒成立.

⑵当ABM。和ACNQ的面积相等时，求tan。的值.

【解析】（1）在△QCN中，NNQC*

33

2冗71

又NMQN、,所以=6—

在ABMQ中NBMQ=71-0,所以sinZBMQ=sinZCNQ,

MQBQ一八50sin5

在中，由正弦定理得,即现=亮而

sinBsinZ.BMQ

在△C0N中，由正弦定理得,即NQ=CQ：*,

sinCsmZCNQsmZCNQ

所以^（二奈=2，即不论。为何值，^（=2恒成立；

（2）因为邑cN°=；C00Nsin/CQN=；C0QNsin1年一可，

S.BMQ=^BQQMsinZBQM=^BQ-QMsm^3-^,

又S&BMQ=S^CNQ'BQ=2CQ,由（1）可得QM=2QV,

所以;sing一可=2sin,_0），

即［sin年cos"cos年sin“=2^sin6,cosJ|--cos6,siny^,

整理得3sind=5石cos。，所以tanO=%^.

3

16.（15分）

如图所示的几何体中，底面4BCD是菱形，AD=DB=2,ED_L平面N3CD,ED//CF,BF=FE,且平

面尸£3_L平面瓦出.

（1）在线段功上是否存在点M,使得4C,M,尸四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

（2）若皮＞=4,求二面角/-BE-b的余弦值.

【解析】（1）线段封上存在点m，且M为E8的中点，使得4C,M,厂四点共面.证明如下：

连接/C.：四边形/BCD是菱形，"

又£D_L平面,ACc=iF®ABCD,EDLAC.

又DEcBD=D,。£,5。12平面2。£,;./（7_1平面8£）£.

连接儿PW为E3的中点，BF=FE,FM±EB.

又平面尸EB_L平面矶e，平面尸E2c平面EDB=£3,FMu平面瓦咕，FM_L平面HOE.

.■.FM//AC,（垂直于同一个平面的两条直线互相平行），

在线段上存在点且M为砂的中点，使得4CMr四点共面.

(2)取班的中点连接NC,设/C交2。于点。，连接M9,MF,

则MO〃DE,^.MO=-DE=2.

2

;ED_L平面/BCD,：.MOV^^ABCD.

乂ZC2BO,.•.以。为原点，O3,OC,O河所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

,底面ABCD是菱形，AD=DB=2,:.OA=OC=^,OB=OD=\.

：ED//CF,:.OM||CF.

由（1）知M0〃ZC,；.四边形MOC「是矩形，FC=OM=2,

.•./（0,-石,0）,B（l,0,0）,£（-1,0,4）,F（0,V3,2）,

.-.A4=（-l,-V3,0）,第=（-2,0,4）,5F=（-1,73,2）,

设平面ME的法向量为位=（x,y,z）,

贝伊K即卜一岛二°,

IBEm=0\-2x+4z=0

取y=2,贝/=-2百,2,-石）.

设平面BEF的法向量为五=（占,必,4）,

BEn=0—2再+4Z]—0

所以一，即

BFn=0-%]+-x/3y^+2Z1—0

取三=2,则方=(2,0,1).

__m-n-573A/285

COS777,n=—r;~~r=-j=--j==------,

同向V19xV519

由图易知二面角Z-BE-b为钝角，所以二面角Z—5E-厂的余弦值为-乂遗

19

■jr

解法二：设二面角的大小为6,由平面尸E8_L平面成厉，可得二面角4-8E-尸的大小为万+。,

贝ljcosg+e)=一sing.

连接NC,设NC与2。的交点为。，过点。作0HL3E于点〃，连接4H,由(1)知/C,平面8DE,

则ZC18E,又ACcOH=O,所以平面NOH,所以BELAH,

则AAHO为二面角A-BE-D的平面角.

易知/O_LOH,A0=43,HO=ED：B,所以/〃=J/o，+o〃2=12,

BE。5\5

所以.。=叁=透，

AH19

所以二面角-尸的余弦值为-《变.

19

17.(15分)

已知函数/(x)="lnx,曲线尸/(X)在x=l处的切线方程为片x-l.

⑴求函数〃x)的极值；

(2)若Vxe(O,l],/(x)>m(x2-l),求实数加的取值范围.

【解析】(1)因为/(x)=axlnx,所以析(x)=a(l+lnx),依题意/'⑴=1,即。=1,

所以/'(x)=xlnx,定义域为(0,+8),则/'(x)=l+lnx,

所以当x>1时，/(》)>0,当0<x<，时，/'(x)<0,

ee

所以〃X)在g,+[上单调递增，在(0,：)上单调递减，

所以“X)在x=l处取得极小值-L无极大值；

ee

(2)因为Vxe(O,l],/(x)N加卜2-1)恒成立，

当0<x<l时，xlnx<0,%2-l<0,所以加〉0,

所以血2加卜-J对%£(0川恒成立(加〉0),

令/z(x)=lnx-加(x—J(x£(0,l]),则当x£(0,l]时，〃(%)力0恒成立,

因为/(x)=!一加[]+』]=加工加，

X\X)X

设g(x)=-mx?+x-m(xe(0,l],m>0),

|A—1—47772<f)1

当7c,即加N彳时，g(x)<0,所以〃(x)40,

[m>02

即力(x)在(0,1]上单调递减，所以M尤"41)=0,符合题意;

[△=]—4加2〉o1

当《,即0<机<—时，g(l)=l-2m>0,g(0)=-m<0,

[m>02

所以g(o)g⑴<0,由零点存在性定理可知存在x°e(0,1),使得g(x0)=0,

又二次函数g(x)=-加x?+x-m(m>0)开口向下，对称轴为》=工>1,

m

则当工€(%,1)时，g(x)>0,即〃(x)>0,

所以,(尤)在(x0,l)上单调递增，即存在x°e(O,l),使得〃(％)<硝)=0,

这与当xe(0,1]时，〃(x)N。恒成立矛盾，故舍去；

综上可得mzg,

所以实数机的取值范围为加23.

18.(17分)

22_

已知双曲线C:I一a=1(。>0力>0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=士岛.

⑴求双曲线C的方程；

⑵设直线/与双曲线C、圆。:无2+/=/相切，切点分别为42,与渐近线相交于”,N.两点.

(i)证明：|。闾・|。叫为定值；

(ii)若|图=2。，求直线/的方程.

c=2

【解析】（1）由2=百

a

c2=a2+b2

c=2

解得6=百,故双曲线C的标准方程为x2-己=1.

3

a=1

(2)⑴①当/与工轴垂直时，/：x=l,解得G),OMXQN=4.

②当/与X轴不垂直时，设M（XI/I）,N（X2/2），/（£,%）,8（匕/4）.

设/:>=依+加与/一上-=1联立可得：（3-左2）--2也氏-加2-3=0,

且有3-公片04=4〃加2+4（3-/）（加2+3）=12（加2-/+3）=0,故/2=左2—3,

kmk7m2—k13

汴=一嬴%=生+加=丁丁=一蔡

将/:y=Ax+加与—一匕=o联立可得：（3-左2卜2_2kmx-m2=0.

2km2k-m2,

X1+XQ—z--,XiXo—彳—1,

123-k2m123-k2

2

OM-ON=x1x2+y1y2=项工2+（处+加）（区2+机）=（1+左2卜］X2+届（%1+工2）+机2=1+k+km

+m2=l—k2+m2=-2

而两•而二|（W||ON|cos1二—；|ON||（W|,故10Ml0M=4.

综上所述，|0N||（W|=4.

\m\

（ii）由/与圆相切可知:r=i

J1+/2

设直线08为4：y=-gx,与/:>=fcr+加联立解得3-kmm

k1+左2」+左2厂

由⑴可知/V则"『=[>器:F可=4三干

而冽2=左2一3.

消去左可得：m4-4m2-12=（m1+2）（加？-6）=0,.\m2=6,k2=9,

故/:y=±3x±^6.

19.（17分）

题目：给定一个严格单调递增正项数列/：%,电，…,%（”24）,任意给定r>0,称满足

=r(\<i<j<k<«)的三元子集｛i",易为数列A的一个一集，其个数记作N(r),出现一集的概率

ak-cij

记为尸&).

(1)己知[2