2025年高考数学模拟试卷2（新高考卷）及答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷02（新高考卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.定义差集"―N=且xeN},己知集合4={2,3,5},5={3,5,8},则A—（AQB）=（）

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

2.已知函数=sin%x+J§sin0xcosaa（0>O）的最小正周期为兀，下列结论中正确的是（）

A.函数/（%）的图象关于x=$对称

6

jr।

[五+5,°®z）

JTSJT

C.函数“可在区间—上单调递增

1JT

D.函数/（%）的图象可以由g（x）=cos2x+]的图象向右平移1个单位长度得到

3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在

对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球

社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至

少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选

同一个村，则不同的选法种数是（）

A.18B.36C.54D.72

4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇

形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人

次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法第族的是（）

A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量逐年递增

D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

5.在金。中，D为边BC上一点、,ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且八4£）。的面积为，则

sinZABD=（）

—

AA/15A/3rV15+A/3「亚-6n

A.--------D.---------C.--------D.---------------------

8844

x5,,ia”+3111%，

6.已知正项数列｛（4｝的前几项和为S“,q=l,若二旦="一,且——+——+-••+------<〃恒成立,

则实数M的最小值为（）

144

A.-B.—C.—D.3

393

7.设方程3%・|k）g3X=l的两根为%（%<%），则（）

1

A.0<<1,x2>3B.玉>一

C.0<xxx2<1D,七+%2>4

8.在棱长为2的正方体ABC。—A4Goi中，p,Q,R分别为棱BC,CD,CG的中点，平面PQR截

正方体ABC。-44GB外接球所得的截面面积为（）

8355

A.区B.一兀C.71D.一兀

3333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知zeC,彳是z的共辗复数，则（）

什l+3i_-4-3i

A.若2=:二，则nl2=---

1—315

B.若Z为纯虚数，则z2<0

若z-(2+i)>0,则z>2+i

D.若“={2||2+34＜3},则集合/所构成区域的面积为6兀

io.已知向量Z在向量后方向上的投影向量为11,向量石=（1,6）,且£与分夹角;■,则向量£可以

为（）

A.(0,2)B.(2,0)C.D.(A1)

2

11.已知抛物线c：y=2Px（p＞0）的焦点为F,A（xvyx）,B（x2,y2）,D（x3,%）为抛物线C上的任意三点

（异于坐标原点。），FA+FB+FD=Q^且|?科+|「可+|立＞|=6,则下列说法正确的有（）

A.p=4

B.若贝

C.设45到直线1=—1的距离分别为4，4,则4+出＜|^]

111c

D.若直线凡8,凡0,3£）的斜率分别为的8此£＞，心》，则—+7—+7—=°

化BA^AD化BQ

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2一i]展开式中/项系数为.

22

13.己知椭圆。：j+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,尸是C上一点，且尸耳，£巴，H

ab

是线段尸耳上靠近耳的三等分点，且而•两=0,则c的离心率为.

14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了

解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通

过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯

度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用/（工）=]\作为激活函数，为

了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足+1）-/（x）|<a则提示“可能出现

|小+1)|

梯度消失”，满足〉人则提示“可能出现梯度爆炸”，其中。表示梯度消失阈值，〃表示梯度爆炸间

值.给出下列四个结论:

①〃龙）是R上的增函数；

②当。=e时，3XGR,输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；

③当a=e巧时，Vx>5,输入x会提示“可能出现梯度消失”;

@Va>0,3xeR,输入x会提示“可能出现梯度消失”.

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知函数/（x）=tzx+—.

er

（1）讨论〃X）的单调性;

（2）若直线y=l与曲线y=/（x）相切，求。的值.

16.（15分）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某

天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方

游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.

（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值戊=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅

游是否与收看短视颍有关联：单位：人

游客短视频合计

收看未看

南方游客

北方游客

合计

(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人

之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.

(i)求经过i次传递后球回到甲的概率；

(ii)记前加次传递中球传到乙的次数为X,求X的数学期望.

参考公式：/=(a+A)(c+d)(a+c)(H4其中〃=a+"c+d；

附表：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△S4D是正三角形，且平面平

面ABCD,AB=1,P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为友.

3

(1)若E为棱S3的中点，求证：尸£7/平面SCD；

(2)在棱弘上是否存在点使得平面与平面&⑦所成夹角的余弦值为友？若存在，求出线段

5

40的长度；若不存在，请说明理由.

2

18.(17分)已知动点P与定点A(m,O)的距离和P到定直线彳=上的距离的比为常数丝.其中

mn

m>0,«>0,且租记点P的轨迹为曲线C.

（1）求。的方程，并说明轨迹的形状；

（2）设点6（—加,0）,若曲线。上两动点均在X轴上方，AM//BN,且AN与相交于点Q.

L11

①当m=2&,〃=4时，求证：同心+网的值及的周长均为定值；

②当〃时，记AABQ的面积为S,其内切圆半径为小试探究是否存在常数4,使得S=4厂恒成立？

若存在，求力（用牡〃表示）；若不存在，请说明理由.

X，—QJQ+b、

19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式，①（其中。，6,c,d为常数），将点P（羽y）

y

变换为点p（x',y）的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由。，b,

（a（ab\

c,d组成的正方形数表,唯一确定，我们将,称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,

dyd,

B9…表小.

（1）在平面直角坐标系xQy中，将点P（3,4）绕原点。按逆时针旋转,得到点p（到原点距离不变），求

点P'的坐标；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点？（x,y）绕原点。按逆时针旋转a角得到点（到原

点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;

（3）向量诙=（",▼我僧祈陶谪），也可仅有成㈠人这仰形我朝向量脸可向量，线性变换坐标

公式①可以表示为：（yJ'cd人y）,则称（y是二阶矩阵（°d）

与向量的乘积，设A是一个

二阶矩阵，玩，而是平面上的任意两个向量，求证：A（〃7+"）=477+A«.

数学.参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ABADBD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

13.-11514.立-也15.①③④

2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

【解析】⑴/（%）的定义域为R,f\x）=a-^,

当aVO时,/'（力<0,/（%）单调递减；

当a>0时，令/'（x）=0,得x=-lna,（3分）

当xe（—8,Tna）时，〃尤）单调递减；

当xc（Tna,+8）时，/,（x）>0,/（%）单调递增.

综上，当aWO时，/（力在R上单调递减；

当a>0时，/（%）在Ina）单调递减；在（—Ina,+。）上单调递增.（7分）

（2）由（1）知，/'（x）=a--,

设切点(%,/(%)),则/(％)=a--)=0，

c

易知〃〉0,故%0=—Ina.(10分)

又/(%0)=1,即avo+；=l，将犬o=-lna代入，得a-〃lnQ-l=0.

c

设/i(x)=x-xlnx-l(x>0),则A,(x)=-lnx.

令"(x)=0,即一lnx=0,解得尤=1,

当xe(O,l)时，//(x)>0,人⑺单调递增，

当xe(l,+oo)时，//(%)<0,&(X)单调递减,

所以/z(x)W/z(l)=l—Ixlnl—1=0,

综上，a—1.(15分)

16.(15分)

【解析】(1)将所给数据进行整理，得到如下列联表：

短视频

游客合计

收看未看

南方游客200100300

北方游客80120200

合计280220500

零假设4°：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联.(4分)

2_500x(200x120-80x100)2

X34.632>10.828=z

"300x200x280x22023]儿u0.0u0u1i

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断“。不成立，

即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001(7分)

(2)(i)设经过i次传递后回到甲的概率为C，

又P,—=—w0,

155

所以[e一是首项为一1,公比为一;的等比数列，

所以々=g—gx[—.（10分）

（ii）（方法一）

设第i次传递时甲接到球的次数为工，则工服从两点分布，石（工）=片,

设前加次传递中球传到甲的次数为y,

（、_nt_

E（Y）=EZX=2＞化）=6+6+A+…+以

Vi=iy/=i

m

~5

4

m-E(y)

因为E（X）=,所以石（X）=（15分）

4-

（方法二）

设第i次传递时,乙接到球的概率和次数分别为0与X,,则X,服从两点分布,

E（xJ=q,由题可知①

又％」,所以d―工=工，所以，1-是首项为上，公比为-工的等比数列,

4520I5J204

'mmm

E(X)=EEXi=EE(X/)=E^=7

kZ=17i=li=\°

故E（X）=（15分）

17.(15分)

【解析】（1）取SC中点尸，连接跖,FD,；E,尸分别为SB,SC的中点，

:.EF\\BC,EF=^BC,•••底面四边形ABCD是矩形，P为棱A。的中点，

PD//BC,PD=-BC,：.EF//PD,EF=PD,

2

故四边形QEED是平行四边形，.•.〃我D,

又平面SCD,PE<z平面SCO,「.PE//平面SCD.（6分）

（2）假设在棱S4上存在点/满足题意，如图：连接SP,MP,MB,

在等边ASAO中，P为A。的中点，所以SPLAD,

又平面SA。，平面ABC。，平面S4Oc平面ABCD=A£>,SPu平面SW,

r.SP，平面ABCD,则SP是四棱锥S-ABCD的高，

设AD=m（m>0），则立=等办S矩形

二飞.SP=Lm义心=,所以租=2,

%棱锥S—ABC。（9分）

3小形323

以点p为原点，百，荏，丽的方向分别为羽％z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,0）,A（l,0,0）,3（1,1,0）,S（0,0,3）,

故可=（1,0,0）,丽=（1,1,0）,旃=/1,0,相），

设:W==后）（0<彳<1）,

,-.W=PA+W=（1-2,0,732）.

设平面的一个法向量为勺=（尤,y,z）,

77,PM=（l-2）x+V32z=0,一/厂、

则上一'）所以可取勺=gr/U—1.

7

nx-PB=x+y=0,'

易知平面&4。的一个法向量为后=（O/,O）,（12分）

——、EW卜国2/

cos（n,n）=一||一=,——=

'22/用%V7A2-22+l5

V0<2<1,.-.2=-,AM=\AM\=A-+Q+—=-,

3।।\993

4

故存在点M,AM=—满足题意.（15分）

3

18.（17分）

y］（x-m）2+y2_m

【解析】（1）设点P（羽y）,由题意可知7=%，

X-----

m

C\222

即（%—加）2+丁=生工一”,经化简，得c的方程为5+2=L

\n）nn—m

当mv〃时，曲线C是焦点在九轴上的椭圆；

当根〉〃时，曲线C是焦点在％轴上的双曲线.（3分）

（2）设点”（%,%）,7\^（%2，%），知'（工3，%），其中%>0，%〉0且退=一%2，%=一%，

22

（i）由（1）可知C的方程为W~=1,A（20,O），W—20,0）,

,M%一%>3

因为AM//BN，所以玉一777=-x7+T77=777=x777，

2\/222A/2-X2-2\/23-2^2

因此，M,A,M'三点共线，且忸N|=,卜2+20『+£=20『+（—=\AM'\'（6分）

（法一）设直线W的方程为x=9+20,联立C的方程，得（/+2）;/+4及9一8=0,

468

贝U%+%=一

41M7+2

由⑴可知|3|=孚卜-奎=4-1%，忸N|=|AM[=4-'天，

11\AM\+\BN\

所以-----1---=-------

\AM\忸N||阿.忸N|

4-

_________________乙

4_"（乂+%）+/%%

11

所以函+函为定值L

\AM\20以"4

（法二）设"“，则有24Kgs厂丁，解得।收卜二^，

同理由厂一^=¥，解得=l

2V2+|AM|COS^42-V2cos^

“I11112+Vicos2-夜cos。1

所以l----r+i——r=1-----r+i------r=--------------+--------------=1,

\AM\忸N|\AM\\AMr\44

11

所以（12分）

|AM|十函为定值1;

由椭圆定义忸Q|+|QM+|阿=8,n\QM\=8-\B^-\AM\,

，…，型

\BQ\

•忸M,,(8-3bAM

解得忸Q|=同理可得AQ卜—「J।।,

|AM|+忸N|'11\AM\+\BN\

(8—忸N)|AM|(8-|AM|)-|B^|S[\AM\+\BN\)-2\AM\-\BN\

所以|AQ|+忸Q|=+

|AM|+|BN||AM|+|BN|\AM\+\BN\

=8----1——-——।—=8-2=6

|AM|+|BA^|

因为|AB|=4jL所以AABQ的周长为定值6+4a-（9分）

（五）当机〉〃时，曲线。的方程为=1,轨迹为双曲线,

nm2—n2

根据（i）的证明，同理可得KAM'三点共线，且忸N|=|AM[,

（法一）设直线的方程为％=q+机，联立C的方程,

得[(22222

m—ns—n]y2+2sm^jrr—a2),+("/-n2I=0,

2

Ismim2—n2)m2—n2

二•%+%=一——(*)

m---2-—---n-2--m2—n2s1—n2

(2A

因为

=^\-n,\BN\=\AM'\=^-x3-n,

mnn

11i_|AM|+|AM,|

所以------1--—­：------r+,•：-------r—--：------:~~:-------r

\AM\忸N|\AM\\AM'\|AM|-|AM,|

2222、

mmsmm—nsmm—n

—%)—ri+—%—n—X++—%+

nn(〃n,nn

(

mmsmm2—n2smm2—n2、

—-Tl—%3―n一必+一

nn一%+一・

nnnn7

2m2-n2

+

n

22222，

m2s2m—nm—n

nn2n2

11In

将（*）代入上式，化简得+(13分)

\AM\\BN\m2-n2'

\AM\m

m2-n2

（法二）设依条件有(n2、n,解得|AM|------------,

m----+AMcos。

Im)-mcos0

m

22

m

同理由n2、n,解得a

m------|AA/[cos8〃+〃2COS6

m)

1111n—mcos0〃+mcos02n

所以-----1----=-----+1-----""22'22（13分）

|AM|忸N||AM|\AM'\m—nm—nm2—n2•

由双曲线的定义忸Q|+|QW|—|M4|=2m得|°闸=2〃+|4W]—忸卦

\AM\_\QM\（2n\AM\）.\BN\

根据师一西，解得畋仁|+阿+|阿，

同理根据啸解得陷=叩芈

忸N|\QN\11|AM|+忸N|

(2n+|B2V|)-|AM|(2n+\AM\]]BN\_+2\AM\-\BN

所以|AQ|+忸Q|=2

IM+忸N|\AM\+\BN\AM+BN

2222

2m—nm+n

=2n+11=2n+

nn

\AM\+\BN\

由内切圆性质可知，S=3（|AB|+|AQ|+忸Q|）"，

1222

当S=2r时，A=(|AB|+|A(2|+|B(2|)=m+m+n=(m+n)(常数).

2n2n

因此，存在常数X使得s=几厂恒成立，且此=（"?+〃）一（17分）