2025年中考数学总复习22 微专题 相似三角形(含位似) 学案（含答案）

微专题22相似三角形(含位似)

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.比例

(1)比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即

比例线段�

＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段�

�

比例中项如果�a∶b＝b∶c或＝或①，那么b叫做a和c的比例中项

��

(2)比例的性质��

性质1(基本

如果＝，那么②＝bc(b，d≠0)(反之也成立)

性质)��

��

性质2(合比

如果＝，那么＝③(b，d≠0)

性质)���±�

���

性质等比如果＝＝…＝，且＋＋…＋≠，那么＋＋＋＝

3(b1b2bn0＋＋＋

�1�2���1�2…���1

�1�2���1�2…���1

第1页共16页

性质)

2.平行线分线段成比例

(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线

段成④

3.黄金分割比例(2023.6)

图示

如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝⑤，那么线

𝐴

定义段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分𝐴割点，AC与AB的比

叫黄金比，即＝－≈.，≈.，简记为长＝短＝－

06180382全长

𝐴51��51

【满分技法】一条线�段�上有2两个黄金分割𝐴点2

4.相似三角形的性质与判定(6年11考)

(1)相似三角形的对应角⑥，对应边⑦；

(2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似

性质

比；

(3)相似三角形的周长比等于⑧，面积比等于⑨

两角分别相等的两个两边成比例且⑩相三边⑪的两个

判定三角形相似等的两个三角形相似三角形相似

方法

5.位似

(1)定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心

(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

第2页共16页

②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上

的对应点的坐标的比等于k或－k

练考点

.已知＝＝＝，则＋＋＝.

1＋＋

���2���

2.如图是�五�条�等距3离的�平�行�线，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，

若线段AB＝4，则线段BC的长为.

第2题图

3.如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长

为.

第3题图

4.若两个相似三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积比是.

5.如图，AB与CD交于点O.若＝＝，则＝.

��𝐴1𝐴

𝐴𝑂2��

第5题图

6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB∶OE＝2∶3，若

△ABC的周长为4，则△DEF的周长为.

第6题图

第3页共16页

高频考点

考点1平行线分线段成比例

例1(北师九上习题改编)如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，

B，D，F，下列结论正确的是()

A.＝B.＝C.＝D.＝

𝐴��𝐴��𝐴��𝐴��

����𝐶����������

例1题图

变式1(人教九下习题改编)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.

若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为.

��

��

变式1题图

考点2相似三角形的性质与判定(6年9考)

模型一A字型

[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]

模型分析

类型正“A”字型斜“A”字型

模型展示

模型特点有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”

解题思路找同侧的一组相等角找异侧的一组相等角

结论△ADE∽△ABC＝＝△ADE∽△ACB＝＝

𝑂𝐶��𝑂𝐶��

𝐴𝐴��𝐴𝐴��

⇒第4页共16页⇒

例2(人教九下练习改编)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED

＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，则CE的长为.

例2题图

变式2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，若AC＝6，

BD＝5，则sinB的值为.

变式2题图

变式3如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC

交AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则△＝.

�△𝐶�

�𝐴�

变式3题图

模型二8字型

[2021.23，2019.10③]

模型分析

类型正“8”字型斜“8”字型

模型展示

模型特点有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”

第5页共16页

解题思路找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例

结论△AOB∽△DOC＝＝△AOB∽△COD＝＝

����𝐴����𝐴

例3如图，线段AE，BD交⇒于��点�C�，连��接AB，DE，若AC＝9⇒，��CE＝��4，�B�C＝

CD＝6，DE＝3，则AB＝.

例3题图

变式4如图，正方形ABCD的边长为5，正方形EFGC的边长为3，点B，C，

G在一条直线上，连接BF，交CD于点H，则图中阴影部分的面积为.

变式4题图

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

模型展示：

模型特点：1.如图①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；

2.如图②，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE，延长BD交CE

于点F

结论：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，则△ABD≌△ACE

第6页共16页

例4在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A

逆时针旋转到如图所示的位置，连接BD'，CE'，若AD＝AE，BD'＝4，则CE'

2

的长为.3

例4题图

变式5如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠B＝∠ADE＝30°，

∠BAC＝∠DAE＝90°，则的值为.

��

��

变式5题图

模型四一线三垂直型

[2021.23]

模型分析

类型类型一类型二

模型特点∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，∠1＝∠2＝∠3＝90°

模型展示

结论△ABD∽△CEB

例5如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，BC上，且EF⊥DF.

若CF＝2BE，则BF的长为.

第7页共16页

例5题图

变式6如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点A的坐标为(0，2)，顶点C在反

比例函数y＝(x＞0)的图象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，则k的值为.

�

�

变式6题图

考点3位似

例6如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，2)，B(2，0)，以原点为位似

中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D的坐标为(5，0)，则点C的坐标

为.

例6题图

真题及变式

命题点1黄金分割数(2023.6)

1.(2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优

选法中有一种0.618法应用了()

A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数

拓展训练

第8页共16页

－

2.(2024东莞一模)宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形

51

蕴藏着丰富的美学价值，给我们以2协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画

出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF：以点F

为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延

长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是()

第2题图

A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH

命题点2相似三角形的性质与判定(6年11考)

拓展训练

3.(2024梅州一模改编)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，

与CD相交于点F.若∠ABE＝30°，＝，则的值为.

��5��

��4��

第3题图

4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，连接BD，

CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.

第4题图

第9页共16页

5.如图为两个全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，

AD，AE分别交BC边于点F，G，BC＝5.

(1)求证：AG2＝BG·FG；2

(2)求证：△ABG∽△FCA；

(3)设BG＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.

第5题图

新考法

6.[数学文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方

圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交

点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边形A'B'C'D'

的面积为()

A.9B.6C.4D.3

第6题图

第10页共16页

7.[数学文化]四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时

代.如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正方

形ABCD的一个顶点处安装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目标

物E，在四分仪上读出DF的长度为20厘米，已知点B，C，E在同一条直线上，

则目标物E与点B之间的距离BE为()

第7题图

A.1米B.4米C.5米D.6米

8.[跨物理学科](2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方

形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分

别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“”的位置在AB的

－

黄金分割点C处，且＝.若NP＝2cm，则BC的长为cm(结果保

��51

留根号).𝐴2

第8题图

9.[结合网格]如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积

为.

第9题图

第11页共16页

考点精讲

①b2＝ac②ad③④比例⑤⑥相等

�±���

⑦成比例⑧相似比�⑨相似比的平方𝐴⑩夹角

⑪成比例

练考点

1.2.23.－14.1∶45.6.6

21

高频3考点52

例1D【解析】∵a∥b∥c，∴＝，＝，＝，∴选项A，B，C错

𝐴��𝐴��𝐴��

误，不符合题意；D正确，符合题�意�.��𝐶������

＋

变式1【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，∵AO＝2，OF＝1，FD

3��𝐵��𝐵

＝2，∴2＝＝.������

��2+13

例21��【解2析】2∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴

𝑂

＝，∴＝，解得CE＝1.𝐴

𝐶23

变式𝐴23+�【�解2+析4】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，

2

3

∴＝，即＝，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，则sin∠B＝＝

𝑂𝐴𝑂6𝐴6

＝�.�𝐴6𝑂+5𝐴4+5

2

变式33【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB

4

＝∠CBD9＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴△＝()2

△

�𝐶���

𝐴�

＝()2＝.���

24

例339【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴＝＝.∵∠ACB＝∠DCE，

9𝐴��3

∴△AC2B∽△DCE，∴＝＝，∵DE＝3，∴AB��＝.��2

𝐴𝐴39

����22

第12页共16页

变式4【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，

27

16

∴＝＝，∴EH＝CE＝，∴S△EFH＝EH·EF＝××3＝.

����33911927

例�4�6��【5解析】∵D8，E分8别是AB，A2C的中点，2∴8DE∥B16C，∴＝，由

𝑂𝐶

旋转得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴＝，∠DAD�'�＋∠𝐴D'AE

𝑂'𝐶'

＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽𝐴△A�C�E'，∴＝＝

��'𝑂'𝑂

＝，∵BD'＝4，∴CE'＝6.��'𝐶'𝐶

2

变式35【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝，tan∠ADE＝，

3𝐴𝐶

∠B＝∠A3DE＝30°，∴＝＝tan30°＝.又∵∠BAC＝𝐴∠DAE，∴∠B�A�C－

𝐴𝐶3

∠DAC＝∠DAE－∠DAC𝐴，即�∠�BAD＝∠CAE3，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝.

��𝐴3

例53【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°��.∵�∠�BF3E

＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，

∴＝.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴＝，解得BF＝3.

��������

变式��6��3【解析】如解图，过点C作2C��H⊥6y轴于点H.∵A(0，2)，OA＝OB，

∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB

＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，

∴＝＝＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵点C在

��𝐴𝐴

y＝��的图��象上��，∴k＝1×3＝3.

�

�

变式6题解图

第13页共16页

例6(，5)【解析】由题意得，△OAB与△OCD为位似图形，∴△OAB∽△

5

OCD，2∵点B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB与△OCD的相似

比为2∶5，∵点A坐标为(1，2)，∴点C的坐标为(1×，2×)，即(，5).

555

真题及变式222

1.A

2.D【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，

－

DF＝，∴CG＝－1，∴＝，∴短形DCGH为黄金矩形.

��51

3.【5解析】∵CD5⊥AB，B��E⊥AC2，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△

5

EFC2，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，＝＝，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，

����5

∴EF＝CF，∴＝＝2×＝2�×�＝��.4

1������55

1

2����42

4.解：∵∠BAC＝∠2�D�AE，∠ABC＝∠ADE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝.

𝐴𝐴𝐴𝑂

∵∠𝑂BA�C�＝∠�D�AE�，�

∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

∴△ADB∽△AEC；

∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，

∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.

∵C△ADB＝2，

∴C△AEC＝.

3

5.(1)证明2：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，

∵∠AGF＝∠BGA，

∴△ABG∽△FAG，