2025年中考数学总复习29 微专题 与圆有关的位置关系 学案（含答案）

微专题29与圆有关的位置关系

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.点与圆的位置关系

点在圆外d＝OA①r

点在圆上d＝OB②r

点在圆内d＝OC③r

2.直线与圆的位置关系(2024年首次涉及考查)

位置关系相离相切相交

d与r的

d④rd⑤rd⑥r

关系

交点的

没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点

个数

示意图

3.切线的性质与判定(6年6考)

(1)性质定理：圆的切线⑦于过切点的半径(或直径)

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(2)性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切

线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点

且垂直于切线的直线必过圆心

(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(4)判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知：

作垂直，证半径

4.切线长与切线长定理

图示

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧之间的线段的长

切线长

度，叫做这点到圆的切线长

从圆外一点可以引圆的⑨条切线，它们的切线长⑩，这

切线长定理一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(探索并证明切线长定理*

选学)

5.三角形的内切圆

(1)定义：与三角形各边都相切的圆

(2)圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条⑪的交点)

(3)性质：三角形的内心到三角形⑫的距离相等

(4)角度关系：如图③，图④，∠BOC＝90°＋∠BAC

1

【知识拓展】2

任意三角形的内切圆直角三角形的内切圆

图③图④

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利用等面积法可得：＝

r＋＋

利用等面积法可得：＝△��

r＋＋

2�𝐴��＋�－�

利用切线长定理可得：r＝

���

���

2

练考点

1.已知☉O的半径为3，P为平面内一点，OP＝4，则点P在☉O.(填

“内”“上”或“外”)

2.已知圆的半径为3，圆心到某直线的距离为2，则此直线与圆的位置关系

为.(填“相交”“相切”或“相离”)

3.如图，AC是☉O的直径.

(1)若BC是☉O的切线，则∠ACB＝°；

(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，则BC与☉O.(填“相交”“相切”或“相

离”)

第3题图

4.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO

交☉O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°.

第4题图

(1)∠APB的度数为；

(2)若OA＝4，则OP的长为.

5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r

＝.

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第5题图

6.如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，

则△ABC的面积为.

第6题图

高频考点

考点与切线有关的证明及计算(6年6考)

一、切线的判定(6年4考)

方法解读

1.利用平行证垂直：

当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.

2.利用等角转换证垂直：

题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角

代换来证明.

3.利用三角形全等证垂直：

常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三

角形来证得垂直.

4.作垂直，证半径：

过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.

方法一连半径、证垂直

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例1(利用平行证垂直)核心设问如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为

直径的☉O交BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F.求证：EF是☉O的切线.[2019

广东24(2)题考查]

例1题图

例2(利用等角转换证垂直)如图，AB是☉O的直径，C是圆上一点，过点C的

直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证：CD是☉O的切线.

例2题图

例3(利用三角形全等证垂直)核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

以BC为直径作☉O，交AB于点D，点E为AC上一点，连接DE.若DE＝CE，

求证：DE是☉O的切线.[2020广东22(1)题考查]

例3题图

方法二作垂直、证半径

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例4核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一点O为圆心，

OC长为半径作☉O，连接BO，若BO平分∠ABC，求证：AB是☉O的切线.[2024

广东17(2)题考查]

例4题图

二、切线性质的相关证明及计算(6年2考)

方法解读

1.证明角相等的方法：

(1)根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；

(2)根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；

(3)通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.

2.求线段长的方法：

(1)若题干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出现三角函数sin、cos、tan时，

考虑利用三角函数求线段长；

(2)若题干无特殊角或三角函数，观察图形发现已知边与所求边分别所在的三角形

存在相似关系，考虑作辅助线将所求线段转化到直角三角形中，利用相似三角形

求线段长.

3.证明线段平行的方法：

(1)通过角之间的等量代换，利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法

证明两直线平行.

(2)设法将两条线段放在同一个三角形中，利用中位线(或等分点)的性质证明两直

线平行.

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例5如图①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一点，以BE为直径的☉O

与AC相切于点D，连接BD，DE.

例5题图①

(1)求证：∠ABD＝∠CDE；

(2)求证：BD平分∠ABC；

(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的长；

3

(4)如图②，若F为CD的中点，连接EF，∠C＝30°，求证：EF∥AB.

例5题图②

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真题及变式

命题点切线的判定及性质(6年6考)

1.(2020广东22题8分)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，

AB是☉O的直径，CO平分∠BCD.

(1)求证：直线CD与☉O相切；

(2)如图②，记(1)中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE

的值.��

第1题图

2.(2019广东24题9分·北师九下习题改编)如图①，在△ABC中，AB＝AC，☉

O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC

于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.

(1)求证：ED＝EC；

(2)求证：AF是☉O的切线；

(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长.

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第2题图

新考法

3.[真实问题情境]陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发

展成为备受世界喜爱的一项运动.玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动

陀螺尤为重要.某数学兴趣小组画出如图②所示的示意图，陀螺的截面图记作☉

O，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为AC，点C为接头，绳杆为PC，发动陀螺时

需将手放在优弧处固定陀螺，连接AB，AP，AP交☉O于点D，连接BD且

∠ABC＝∠ADB.��

(1)求证：PC与☉O相切；

(2)实践中发现，当AC与☉O相切于点A，且AC⊥PC时，发动陀螺更加稳定，

若陀螺半径r＝4cm，∠BAP＝30°，求绳杆CP的长度.

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第3题图

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考点精讲

①＞②＝③＜④＞⑤＝⑥＜⑦垂直⑧切点

⑨两⑩相等⑪角平分线⑫三条边

练考点

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高频考点

例1证明：如解图，连接OE，

∵OC＝OE，

∴∠OEC＝∠C.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠OEC＝∠B，

∴OE∥AB.

∵EF⊥AB，

∴EF⊥OE，

∵OE是☉O的半径，

∴EF是☉O的切线.

例1题解图

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例2证明：如解图，连接OC，

∵AB是☉O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠B＝90°.

又∵OA＝OC，

∴∠CAB＝∠ACO，

∵∠DCA＝∠B，

∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，

即CD⊥OC.

∵OC是☉O的半径，

∴CD是☉O的切线.

例2题解图

例3证明：如解图，连接OD，OE，

在△ODE与△OCE中，

＝

＝，

𝑂��

＝

𝐴𝐴

∴�△�OD�E�≌△OCE(SSS)，

∴∠ODE＝∠OCE＝90°，

即OD⊥DE，

∵OD是☉O的半径，

∴DE是☉O的切线.

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例3题解图

例4证明：如解图，过点O作OD⊥AB于点D，

∴∠ODB＝∠OCB＝90°，

∴OC⊥BC，

∵BO平分∠ABC，

∴OD＝OC，

∵OC是☉O的半径，

∴OD是☉O的半径，

∴AB是☉O的切线.

例4题解图

例5(1)证明：∵BE为☉O的直径，

∴∠BDE＝90°，

∴∠ADB＋∠CDE＝90°，

∵∠A＝90°，

∴∠ABD＋∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝∠CDE；

(2)证明：如解图①，连接OD，

∵AC是☉O切线，

∴∠ODC＝90°，

∵∠A＝90°，

∴AB∥OD，

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∴∠ABD＝∠ODB，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ABD＝∠OBD，

∴BD平分∠ABC；

例5题解图①

(3)解：如解图①，连接OD，

由(1)知∠ABD＝∠CDE，由(2)知∠ABD＝∠OBD，

∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，

∴∠OBD＝∠ODB＝∠CDE＝30°，B3D＝2，

∴∠DOC＝60°，3

∵AC与☉O相切于点D，

∴∠ODC＝90°，

∴∠C＝90°－60°＝30°，

∴∠CDE＝∠C，

∴DE＝CE，

∵∠BDE＝90°，

∴BE＝＝4，DE＝BE＝2，

331

∴CE＝cDosE3＝0°2，2

∴OC＝4；

(4)证明：如解图②，连接OD，

由(2)得∠ODC＝90°，

∵∠C＝30°，

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∴∠DOC＝60°，

∵OD＝OE，

∴△ODE为等边三角形，

∴∠ODE＝60°，

∴∠CDE＝90°－60°＝30°，

∴∠CDE＝∠C，

∴CE＝DE＝OE，

∴点E是OC的中点.

∵点F是CD的中点，

∴EF是△ODC的中位线，

∴EF∥OD，

由(2)知，OD∥AB，

∴EF∥AB.

例5题解图②

真题及变式

1.(1)证明：如解图①，过点O作OE⊥CD于点E，

∵AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠OBC＝90°，

∴∠OBC＝∠OEC，

∵CO平分∠BCD，

∴∠1＝∠2，

又∵CO＝CO，

∴△BOC≌△EOC(AAS)，

第15页共20页

∴OE＝OB，

∵OB为☉O的半径，

∴OE为☉O的半径，

又∵OE⊥CD，

∴直线CD与☉O相切；(3分)

(2)解：如解图②，连接OD，OE，

由(1)得OE＝OB，

∴OE＝OA，

∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，

∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，

∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝∠AOE，

1

∴∠APE＝∠AOE＝∠3，2

1

由(1)得△BO2C≌△EOC，

∴CE＝BC＝2，

∴CD＝DE＋CE＝3.(5分)

过点D作DF⊥BC，垂足为点F，则四边形ABFD为矩形，

∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝1，

在Rt△DFC中，DF＝－＝2，

22

∴OA＝AB＝DF＝，𝑂��2

11

∴tan∠A2PE＝2tan∠3＝2＝＝.(8分)

𝑂12

��22

第1题解图

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一题多解法

如解图③，连接BE，AE，并延长AE交BC的延长线于点F，

由题意得∠APE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，AB为☉O直径，

∴AD与☉O相切，∴DE＝AD＝1，同理可得CE＝CB＝2，

∵AD∥BC，

∴＝＝，即FE＝2AE，(5分)

𝐴��1

∵A𝐴B是𝐴☉O2的直径，

∴BE⊥AF，

∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，

∴∠BAE＝∠FBE，

∴△ABE∽△BFE，

∴＝＝，即BE2＝2AE2，

𝐴����

∴��＝𝐴(负2值𝐴已舍去)，

𝐴2

∴t�a�n∠2APE＝tan∠ABE＝＝.(8分)

𝐴2

��2

第1题解图③

2.(1)证明：如解图①，

∵AB＝AC，

∴∠1＝∠3，

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3.

∵∠3＝∠4，

∴∠2＝∠4，

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∴ED＝EC；(2分)

第2题解图①

(2)证明：如解图②，连接OA，OB，OC，

∵OB＝OC，AB＝AC，

∴AO是BC的垂直平分线，

∴AO⊥BC.

∵由(1)得∠2＝∠3，

∴AB∥DF.

∵AB＝AC＝CF，

∴四边形ABCF是平行四边形，

∴AF∥BC，

∴AO⊥AF.

∵OA是☉O的半径，

∴AF是☉O的切线；(5分)

第3题解图②

(3)解：如解图③，连接AG，

∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，

∴∠1＝∠5.

∵G是△ADC