2025年中考数学一轮专题复习强化练习第20课时　等腰三角形与直角三角形 （含答案）

第20课时等腰三角形与直角三角形

1.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F

到直线AC的距离为()

A.B.2C.3D.

37

2.(22024·陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是D2C的中点,连接AE,则图中

的直角三角形共有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.(2024·邯郸峰峰矿区模拟)一张直径为10cm的半圆形卡纸,过直径的两端点剪掉一个等腰三角

形,在两种裁剪方案(如图1和图2,单位:cm)中,说法正确的是()

A.只有方案Ⅰ的数据合理B.只有方案Ⅱ的数据合理

C.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都合理D.方案Ⅰ、Ⅱ的数据都不合理

4.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是()

A.3B.6C.D.3

5.(2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两3个顶点B,C分别落在直3线l,m上,若∠ABE=21°,

则∠ACD的度数是()

A.45°B.39°C.29°D.21°

6.(2024·河北一模)如图,△ABC为等边三角形,△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,则直线BC与直

线AD的夹角为()

A.10°B.15°C.20°D.30°

7.(2024·迁安二模)如图,在等边三角形ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD=()

A.1B.2C.D.2

8.(2024·眉山)如图,图1是北京国际数学家大会的3会标,它取材于我国古代3数学家赵爽的“弦图”,是

由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直

角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为()

图1图2

A.24B.36C.40D.44

9.(2024·自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短成

DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢()

A.(24-12)mB.(24-8)m

C.(24-6)3mD.(24-43)m

10.(2024·3邯郸广平县一模)在平面直角坐标系中,O为坐3标原点,若已知点P(x,x+2),则下列同学的

说法正确的是()

嘉嘉:OP的长不可能为1.

淇淇:OP的长可以为2.

嘉琪:OP的长与x的取值无关.

A.只有嘉嘉正确

B.只有淇淇正确

C.嘉嘉和淇淇两人都正确

D.三人都正确

11.(2024·贵州)如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.

若AB=5,则AD的长为.

12.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为°.

13.(2024·绥化)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A=°.

1.(2024·秦皇岛青龙县模拟)如图1所示,将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧

矩形的宽相等.若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是()

图1图2

A.1B.2C.3D.4

2.(2024·石家庄一模)对于题目:“在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,分别以A,B为圆心,以AB长为半

径的两条弧相交于点P,求∠APC的度数”.嘉嘉求解的结果是∠APC=80°,淇淇说:“嘉嘉的解答正

确但不全面,∠APC还有另一个不同的值”则下列判断正确的是()

A.淇淇说得对,∠APC的另一个值是40°

B.淇淇说得不对,∠APC只能等于80°

C.嘉嘉求的结果不对,∠APC应等于85°

D.两人都不对,∠APC应有3个不同的值,

3.(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为.

4.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),

且∠BCD=30°,则AD的长为.

5.(2024·临夏州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向

下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

1

3

6.(2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则

AD的长度为.

【详解答案】

基础夯实

1.C解析:∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,

∴AF是顶角∠BAC的平分线,

∵点F到直线AB的距离为3,

∴点F到直线AC的距离为3.故选C.

2.C解析:∵∠BAC=90°,

∴△ABC是直角三角形.

∵AD是BC边上的高,

∴∠ADB=∠ADC=90°,

∴△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形,

∴图中的直角三角形共有4个.故选C.

3.A解析:∵半圆的直径为10cm,若直径所对的角的顶点在圆周上,则符合勾股定理,

方案Ⅰ和Ⅱ中的直径所对的角的顶点在圆的内部,

∴图中数据的平方和小于100,

∵62+62=72<100,82+82=128>100,

∴只有方案Ⅰ的数据合理.故选A.

4.A解析:∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点,AC=6,

∴BD=CD=AD=AC=3,

1

2

∵∠BDC=60°,

∴△BCD为等边三角形,

∴BC=BD=3.故选A.

5.B解析:如图,过点A作AF∥l,

∵直线l∥m,

∴AF∥m,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=60°,

∵AF∥l,

∴∠BAF=∠ABE,

∵∠ABE=21°,

∴∠BAF=21°,

∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,

∵AF∥m,

∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B.

6.B解析:如图,延长AD与BC交于点E,

∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABC=∠BAC=60°,

又∵△ACD为等腰直角三角形,AC=CD,

∴∠CAD=45°,

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°,

∴∠E=180°-(∠ABC+∠BAD)=180°-(60°+105°)=15°.

即直线BC与直线AD的夹角为15°.故选B.

7.B解析:∵三角形ABC是等边三角形,

∴AB=BC=4,∠ACB=60°,

∵BD∥AC,

∴∠DBC=∠ACB=60°,

∵BD⊥CD,

∴∠BDC=90°,

∴∠BCD=30°,

∴BD=BC=2.故选B.

1

2

8.D解析:如图,设直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,

图1图2

∵图1中大正方形的面积是24,

∴a2+b2=c2=24,

∵小正方形的面积是4,

∴(b-a)2=a2+b2-2ab=4,

∴ab=10,

∴图2中最大的正方形的面积为=c2+4×ab=24+2×10=44.故选D.

1

2

9.D解析:∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB,

∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=6,

∴CD=6,

∵∠BED=360°,

∴DE=2,BE=AE=4,

∴减少用钢3为(AB+AC+3BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-4)(m).故选D.

10.C解析:由点P(x,x+2),3

得P在直线AB:y=x+2上,

当OP⊥AB时,OP最短=,

故嘉嘉说OP的长不可能为21,是正确的;

当x=0时,P(0,2),

故淇淇说OP的长可以为2,是正确的;

嘉琪说OP的长与x的取值无关,是错误的.故选C.

11.5解析:由作图可知:AD=AB,

∵AB=5,∴AD=5.

12.100解析:∵等腰三角形的一个底角的度数为40°,

∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°,

∴等腰三角形的顶角的度数为:180°-2×40°=100°.

13.66解析:∵OC=OE,∠C=33°,

∴∠E=∠C=33°,

∴∠DOE=∠E+∠C=66°,

∵AB∥CD,

∴∠A=∠DOE=66°.

能力提升

1.C解析:长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a,则底边长为8-2a.

-,

由题意得解得2<a<4.

-,

2�>82�

∴选项中只8有2�3>是0上面不等式组的解.故选C.

2.A解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,

∴∠ACB=∠ABC=70°,

∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(70°+70°)=40°,

依题意分别以A,B为圆心,以AB长为半径的两条弧相交于点P,P',

连接PB,P'B,如图所示,

根据作图可知:AB=AP=BP=AC=AP'=P'B,

∴△APB,△AP'B均为等边三角形,

∴∠BAP=60°,∠BAP'=60°,

在△ACP中,AC=AP,∠CAP=∠BAP-∠BAC=20°,

∴∠APC=(180°-∠CAP)=(180°-20°)=80°,

11

22

在△AP'C中,AP'=AC,∠CAP'=∠BAP'+∠BAC=100°,

∴∠AP'C=(180°-∠CAP')=(180°-100°)=40°,

11

22

∴淇淇说得对,∠APC的另一个值是40°.故选A.

3.100°解析:∵AC=AE,BC=BD,

∴设∠AEC=∠ACE=x°,

∠BDC=∠BCD=y°,

∴∠A=180°-2x°,∠B=180°-2y°,

∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,

∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,

∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°,

∴∠ACB+2∠DCE=180°,

∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°.

4.6或12解析:在Rt△ABC中,

sinA=,

𝐵

��

∴BC=×8=4,

1

2

∴AC=-=4.

22

当点D在8点4B左上3方时,如图1所示,

图1

∵∠ACB=90°,∠A=30°,

∴∠ABC=60°.

又∵∠BCD=30°,

∴∠BDC=60°-30°=30°,

∴BD=BC=4,

∴AD=8+4=12.

当点D在点B的右下方时,如图2所示,

图2

∵∠ABC=60°,

∠BCD=30°,

∴∠CDA=90°.

在Rt△ACD中,

cosA=,

𝐴

𝐵

∴AD=×4=6.

3

综上所述2,AD3的长为6或12.

5.解析:∵AB=AC,∠BAC=120°,

4