2025年中考数学总复习35 微专题 几何图形的折叠问题 学案（含答案）

微专题35几何图形的折叠问题

一阶基础技能

1.折叠问题常见的类型有：

2.与折叠有关的计算常用性质

(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.

①线段相等：C'D＝，BC＝；

②角度相等：∠1＝，∠3＝；

③全等关系：△BC'D≌.

(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分，即BD垂直

平分CC')；

(3)折痕可看作角平分线.

二阶方法训练

方法解读

1.利用折叠出现的直角三角形求解

情形：折叠中顶点落在边上得到直角三角形

结论：在Rt△CFB'中，利用勾股定理，得x2＝a2＋(b－x)2

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方法总结：由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角

三角形，可利用勾股定理或三角函数列方程求解

方法一利用折叠出现的直角三角形求解(2020.9)

例1如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在边AD，BC上，

将四边形ABFE沿EF折叠，点B的对应点B'恰好落在CD边的中点处，则BF

的长为.

例1题图

变式1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D，E分别是AB，

BC上的点.将△ACE沿AE折叠，使点C的对应点落在点D处，则△BDE的面

积为.

变式1题图

方法解读

2.利用折叠出现的等腰三角形求解

情形：折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形

结论：△BFD为等腰三角形，DF＝BF＝x，AF＝b－x

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方法总结：当折痕过特殊四边形对边或对角线时，可利用角平分线(折痕)与平行

线(特殊四边形的对边)的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解

方法二利用折叠出现的等腰三角形求解

例2如图，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝8，将△BCD沿BD翻折得到△BED，

BE交AD于点F，则AF＝.

例2题图

变式2如图，已知矩形纸片的宽为2，将矩形纸片沿MN折叠，得到重合部分

△AMN，若∠MAN＝45°，则△AMN的面积为.

变式2题图

方法解读

3.利用折叠出现的全等、相似求解

情形：折叠中常出现的全等、相似模型

(1)如图①，正8字、斜A字模型

图①

结论：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC

(2)如图②，一线三垂直模型

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图②

结论：①△BEF∽△CFD；

②△AED≌△FED

方法总结：结合折叠的性质，找出与设问相关联的全等三角形或相似三角形，再

利用全等、相似三角形的性质求解

方法三利用折叠出现的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3)，2021.23]

例3如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE折叠，使点B

落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2.

(1)DF＝；

(2)BE＝.

例3题图

例4如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，

点C的对应点F恰好落在AD上.若sin∠DFE＝，则tan∠EBC的值为.

2

3

例4题图

变式3(2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴

上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在

点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为.

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变式3题图

三阶综合应用

1.(2020广东9题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，

CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

则BE的长度为()

A.1B.C.D.2

23

第1题图

2.(2024佛山二模)在如图所示的矩形ABCD中，M为CD中点，将△MBC沿BM

翻折至△MBE，若∠AME＝15°，则∠ABE＝.

第2题图

3.如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点

B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.

(1)求证：△ADE≌△CED；

(2)求证：△DEF是等腰三角形.

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第3题图

4.(2021广东23题8分)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.

连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长.

第4题图

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一阶基础技能

①CD，BC'；②∠2，∠4；③△BCD

二阶综合应用

例15【解析】∵AB＝6，且B'是CD边的中点，∴B'C＝CD＝AB＝3，由

11

折叠可知，B'F＝BF，设BF＝B'F＝x，则CF＝9－x.在Rt△CF2B'中，2∵B'F2＝CF2

＋B'C2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴BF＝5.

变式16【解析】由折叠可知，CE＝DE，AC＝AD＝6，∠ACB＝∠ADE＝90°，

∴BD＝AB－AD＝10－6＝4，∠BDE＝180°－∠ADE＝180°－90°＝90°，设

CE＝x，则DE＝x，BE＝8－x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2＝BD2＋

2222

DE，∴(8－x)＝x＋4，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△BDE＝DE·BD＝×3×4＝6.

11

例23【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝82，CD＝AB2＝4，AD∥

BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠性质得∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB

＝∠EBD，∴BF＝DF，设AF＝x，则DF＝BF＝AD－AF＝8－x，在Rt△ABF中，

BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝3.

变式22【解析】如解图，过点M作MP⊥AN于点P，∵纸条为矩形，

∴MB∥AN，2∴∠1＝∠ANM，由折叠的性质可知∠1＝∠AMN，∴∠AMN＝

∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.∵∠MAN＝45°，MP＝2，∴AN＝AM＝

𝑀

sin45°

＝＝2，∴S△AMN＝AN·MP＝×2×2＝2.

211

2

22

2222

变式2题解图

例3(1)2；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠B＝∠DAE

＝90°，由折叠的性质得，CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，

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∠CFD＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠FCD＝90°，∴∠ADE

＝∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF＝AE＝2.

(2)－1【解析】∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF

＝∠5DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴＝，∴EF＝－1(负值已舍

𝐴��2��

去)，∴BE＝EF＝－1.𝐴��2+��25

一题多解法5

(1)∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD－S△DCF＝S△DCE－S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，

由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD－S△ADF＝S△ABC－S△CEF

＝S△ABC－S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴DF·CF＝AE·BC.∵CF＝BC，∴DF＝AE

11

＝2；22

设＝，∵∥，∴△∽△，∴＝，∴＝，解得＝

(2)BExAECDAEFCDF＋x

𝐴��2�

－1(负值已舍去)，∴BE＝－1.��𝐸2�25

例4【解析】∵四边形5ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.

5

由折叠5的性质可知，∠BFE＝∠C＝90°，∠EBF＝∠EBC，EF＝EC，∴∠ABF

＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABF，∴△DFE∽△ABF，

∴＝.∵sin∠DFE＝＝，∴设DE＝2a，则EF＝3a，∴AB＝CD＝5a.在

��𝐸𝐴2

Rt△��DE�F�中，由勾股定理��，得3DF＝a，∴＝＝＝，∴tan∠EBC＝

��𝐸5�5

tan∠EBF＝＝.5��𝐹5�5

��5

变式3(3，��10)5【解析】由折叠的性质可知，BC＝BF，∵点A的坐标(－2，

0)，点F的坐标为(0，6)，∴OA＝2，OF＝6，如解图，设CD与y轴交于点P，

设正方形的边长为a，则OB＝a－2，OP＝BF＝a，在Rt△BOF中，OB2＋OF2

＝BF2，即62＋(a－2)2＝a2，解得a＝10，∴OP＝10，OB＝8，∴PF＝OP－OF

＝4，∵∠EFP＋∠FEP＝90°，∠EFP＋∠BFO＝90°，∴∠FEP＝∠BFO，

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∵∠EPF＝∠FOB＝90°，∴△EFP∽△FBO，∴＝，∴＝，解得PE＝3，

������4

∴点E的坐标为(3，10).𝐸𝐹68

变式3题解图

三阶综合应用

1.D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∵∠EFD

＝60°，∴∠BEF＝60°，由折叠的性质知，∠B'EF＝∠BEF＝60°，∴∠AEB'

＝60°，∴∠AB'E＝30°.设BE＝B'E＝x，则AE＝3－x，在Rt△AEB'中，3－x

＝x，解得x＝2，∴BE＝2.

1

2.240°【解析】如解图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，∵四

边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，∵M为CD中点，∴DM＝

MC，∴△ADM≌△BCM，∴∠DAM＝∠CBM，∵△BME是由△BMC翻折得到，

∴∠CBM＝∠EBM＝(90°－∠ABE)，∵∠DAM＝∠CBM＝∠MBE，∠AON＝

1

∠BOM，∴∠OMB＝2∠ANB＝90°－∠ABE，在△MBE中，∠EMB＋∠EBM＝

90°，∴∠AME＋(90°－∠ABE)＋(90°－∠ABE)＝90°，整理得∠ABE＝

13

60°，∴∠ABE＝40°.22

第2题解图

3.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，

由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，

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∴AD＝CE，AE＝CD，

在△ADE和△CED中，

＝

＝，

��𝐴

＝