数学分析在经济模型中的应用练习题

数学分析在经济模型中的应用练习题姓名_________________________地址_______________________________学号______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。一、选择题1.下列哪个函数在区间[0,1]上单调递增？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

2.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)=0，那么f(x)在区间[a,b]上的性质是什么？

a.一定有极值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.没有确定的性质

3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，那么在区间[a,b]上是否存在某个c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.无法确定

d.需要更多信息

4.下列哪个函数在定义域内处处可导？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)=0，那么f(x)在区间[a,b]上的性质是什么？

a.一定有极值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.没有确定的性质

6.下列哪个函数在区间[0,1]上单调递减？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

7.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，那么在区间[a,b]上是否存在某个c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.无法确定

d.需要更多信息

8.下列哪个函数在定义域内处处可导？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

答案及解题思路：

1.答案：d

解题思路：在区间[0,1]上，e^x的增长速度超过x^2,2x1和1/x，因此单调递增。

2.答案：a

解题思路：根据费马定理，如果f'(x)=0，那么x可能是极值点，所以函数可能有极值。

3.答案：a

解题思路：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，并且两端点函数值相等，那么在这个区间内至少存在一个点c，使得f(c)=0。

4.答案：b,c,d

解题思路：x^2,e^x和sin(x)在它们的定义域内处处可导，而x在x=0处不可导。

5.答案：a

解题思路：同第2题的解题思路，f'(x)=0可能意味着x是极值点。

6.答案：c

解题思路：在区间[0,1]上，1/xx的增加而减小，因此它是单调递减的。

7.答案：a

解题思路：同第3题的解题思路，根据罗尔定理，一定存在c使得f(c)=0。

8.答案：b,c,d

解题思路：同第4题的解题思路，这些函数在它们的定义域内处处可导。二、填空题1.设函数\(f(x)=x^22x1\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函数\(f(x)=x^22x1\)是一个二次函数，对其求导得：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(x^22x1)=2x2

\]

2.求函数\(f(x)=3x^24x2\)在\(x=1\)处的导数。

解：对函数\(f(x)=3x^24x2\)求导，代入\(x=1\)：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^24x2)=6x4\quad\text{因此}\quadf'(1)=6(1)4=2

\]

3.设函数\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函数\(f(x)=\ln(x)\)的导数是：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}

\]

4.求函数\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)处的导数。

解：函数\(f(x)=e^x\)的导数就是自身，代入\(x=0\)：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\quad\text{因此}\quadf'(0)=e^0=1

\]

5.设函数\(f(x)=x\)，求\(f'(x)\)的值。

解：由于绝对值函数在\(x=0\)处不可导，因此\(f'(x)\)的值为：

\[

f'(x)=\begin{cases}

1\text{ifx>0\\

1\text{ifx0\\

\text{不可导}\text{ifx=0

\end{cases}

\]

6.求函数\(f(x)=x^33x^22x1\)的导数。

解：对多项式\(f(x)=x^33x^22x1\)求导得：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(x^33x^22x1)=3x^26x2

\]

7.设函数\(f(x)=\sin(x)\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函数\(f(x)=\sin(x)\)的导数是：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)

\]

8.求函数\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)处的导数。

解：对函数\(f(x)=x^2x1\)求导，代入\(x=1\)：

\[

f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2x1)=2x1\quad\text{因此}\quadf'(1)=2(1)1=1

\]

答案及解题思路：

答案：

1.\(f'(x)=2x2\)

2.\(f'(1)=2\)

3.\(f'(x)=\frac{1}{x}\)

4.\(f'(0)=1\)

5.\(f'(x)\)在\(x>0\)时为1，在\(x0\)时为1，在\(x=0\)不可导。

6.\(f'(x)=3x^26x2\)

7.\(f'(x)=\cos(x)\)

8.\(f'(1)=1\)

解题思路：

对于每一题，我们使用了基本的导数规则来求导，这些规则包括幂法则、对数函数的导数、指数函数的导数、三角函数的导数和绝对值函数的导数。对于某些特定函数，我们直接使用已知导数公式，如\(e^x\)的导数仍然是\(e^x\)。在计算具体点的导数时，我们通常将\(x\)的值代入求得的导数表达式。三、解答题1.求函数\(f(x)=x^22x1\)的单调区间。

答案：

解析函数\(f(x)=(x1)^2\)，由于这是一个二次函数，它的图形是一个开口向上的抛物线。该函数在顶点\(x=1\)处达到最小值。因此，函数在\(x=1\)的左侧是单调递减的，在\(x=1\)的右侧是单调递增的。

解题思路：

计算函数的一阶导数\(f'(x)=2x2\)。令导数等于零求得临界点\(x=1\)。然后检查该点两侧的导数符号以确定单调性。

2.求函数\(f(x)=3x^24x2\)的极值点。

答案：

求得导数\(f'(x)=6x4\)，令导数等于零得\(x=\frac{2}{3}\)。二次导数\(f''(x)=6\)是正数，因此\(x=\frac{2}{3}\)是极小值点。

解题思路：

使用二次导数检验法来确定极值类型，即首先找到函数的临界点，然后计算二阶导数。如果二阶导数在该点为正，则该点是极小值点；如果为负，则是极大值点。

3.求函数\(f(x)=\ln(x)\)的反函数。

答案：

函数\(f(x)=\ln(x)\)的反函数是\(f^{1}(x)=e^x\)，其中\(x\)必须满足\(x>0\)。

解题思路：

为了求出反函数，将\(y=\ln(x)\)改写为\(x=e^y\)。然后解\(x\)关于\(y\)得到反函数的表达式。

4.求函数\(f(x)=e^x\)的反函数。

答案：

函数\(f(x)=e^x\)的反函数是\(f^{1}(x)=\ln(x)\)，其中\(x\)必须满足\(x>0\)。

解题思路：

类似于前一个问题，将\(y=e^x\)改写为\(x=e^y\)，然后解\(y\)关于\(x\)得到反函数的表达式。

5.求函数\(f(x)=x\)的导数。

答案：

函数\(f(x)=x\)的导数是：

\[

f'(x)=\begin{cases}

1,\text{ifx>0\\

0,\text{ifx=0\\

1,\text{ifx0

\end{cases}

\]

解题思路：

使用导数的定义和绝对值的性质，将函数\(f(x)\)分段，并分别对每个分段求导。

6.求函数\(f(x)=x^33x^22x1\)的极值点。

答案：

函数\(f(x)=x^33x^22x1\)的导数是\(f'(x)=3x^26x2\)，令导数等于零得\(x=1,2/3\)。检查这两个点的二阶导数以确定它们是极大值点还是极小值点。

解题思路：

首先找到一阶导数的临界点，然后利用二次导数检验法确定极值点的类型。

7.求函数\(f(x)=\sin(x)\)的反函数。

答案：

函数\(f(x)=\sin(x)\)的反函数是\(f^{1}(x)=\arcsin(x)\)，其中\(x\)必须满足\(1\leqx\leq1\)。

解题思路：

确定反三角函数\(\arcsin\)的定义域和值域，然后使用三角函数的恒等式来表示反函数。

8.求函数\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)处的导数。

答案：

函数\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)处的导数是\(f'(1)=11=2\)。

解题思路：

计算函数的一阶导数\(f'(x)=2x1\)，然后代入\(x=1\)得到在指定点的导数值。四、证明题1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)=0，则f(x)在区间[a,b]上为常数函数。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)=0。对于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，根据拉格朗日中值定理，存在某个ξ∈(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)。

由于f'(x)=0，所以f'ξ=0，从而f(x2)f(x1)=0，即f(x2)=f(x1)。因此，f(x)在区间[a,b]上为常数函数。

2.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则存在某个c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)。根据零点定理，由于f(a)和f(b)异号，则存在某个c∈(a,b)，使得f(c)=0。又因为f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，根据罗尔定理，存在某个ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b)，使得f'(ξ1)=0和f'(ξ2)=0。因此，至少存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

3.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)≠0，则f(x)在区间[a,b]上单调。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)≠0。设f'(x)>0，则对于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1x2，有

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)>0。

因此，f(x)在区间[a,b]上单调递增。同理，若f'(x)0，则f(x)在区间[a,b]上单调递减。

4.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在，则f(x)在区间[a,b]上连续。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在。对于任意的x∈[a,b]，根据导数的定义，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，故f(xh)和f(x)在xh→0时均趋近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在区间[a,b]上连续。

5.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在区间[a,b]上单调。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)在区间[a,b]上单调。设f'(x)在区间[a,b]上单调递增，则对于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1x2，有

f'(x1)≤f'(x2)。

根据拉格朗日中值定理，存在某个ξ∈(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)。

由于f'(ξ)≥f'(x1)，故f(x2)f(x1)≥0，即f(x)在区间[a,b]上单调递增。同理，若f'(x)在区间[a,b]上单调递减，则f(x)在区间[a,b]上单调递减。

6.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在，则f(x)在区间[a,b]上可导。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在。对于任意的x∈[a,b]，根据导数的定义，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，故f(xh)和f(x)在xh→0时均趋近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在区间[a,b]上可导。

7.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在区间[a,b]上连续。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)在区间[a,b]上单调。对于任意的x∈[a,b]，根据拉格朗日中值定理，存在某个ξ∈(x,xh)，使得

f(xh)f(x)=f'ξh。

由于f'(x)在区间[a,b]上单调，故f'(ξ)≤max{f'(x),f'(xh)}，因此

f(xh)f(x)≤max{f'(x),f'(xh)}h。

当h→0时，f(xh)f(x)→0，即f(xh)→f(x)。因此，f(x)在区间[a,b]上连续。

8.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在，则f(x)在区间[a,b]上可导。

证明：

由题意知，f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)存在。对于任意的x∈[a,b]，根据导数的定义，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，故f(xh)和f(x)在xh→0时均趋近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在区间[a,b]上可导。

答案及解题思路：

1.答案：f(x)在区间[a,b]上为常数函数。

解题思路：利用拉格朗日中值定理，证明f(x)在区间[a,b]上任意两点处的函数值相等。

2.答案：存在某个c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

解题思路：利用零点定理和罗尔定理，证明存在一个点c，使得f'(c)=0。

3.答案：f(x)在区间[a,b]上单调。

解题思路：根据导数的性质，证明f'(x)的正负与f(x)的单调性之间的关系。

4.答案：f(x)在区间[a,b]上连续。

解题思路：利用导数的定义，证明f(x)在区间[a,b]上连续。

5.答案：f(x)在区间[a,b]上单调。

解题思路：根据导数的性质和拉格朗日中值定理，证明f(x)在区间[a,b]上单调。

6.答案：f(x)在区间[a,b]上可导。

解题思路：利用导数的定义，证明f(x)在区间[a,b]上可导。

7.答案：f(x)在区间[a,b]上连续。

解题思路：根据导数的性质和拉格朗日中值定理，证明f(x)在区间[a,b]上连续。

8.答案：f(x)在区间[a,b]上可导。

解题思路：利用导数的定义，证明f(x)在区间[a,b]上可导。五、应用题1.一辆汽车以v(t)=20t5(t≤5)的速度行驶，求在0到5秒内汽车行驶的距离。

解答：

要求汽车在0到5秒内行驶的距离，需要对速度函数v(t)在0到5秒的时间区间上进行积分。

\[s=\int_0^5v(t)\,dt=\int_0^5(20t5)\,dt\]

\[s=\left[\frac{20}{2}t^25t\right]_0^5=(5025)(00)=25\]

汽车在0到5秒内行驶的距离为25单位距离。

2.一个物体以a(t)=4t^22t1的加速度运动，求从0到2秒内物体的位移。

解答：

要求物体的位移，需要对加速度函数a(t)在0到2秒的时间区间上进行积分两次，先得到速度函数v(t)，再积分得到位移函数s(t)。

\[v(t)=\inta(t)\,dt=\int(4t^22t1)\,dt\]

\[v(t)=\left[\frac{4}{3}t^3t^2t\right]_0^2=\left(\frac{32}{3}42\right)(000)=\frac{32}{3}2\]

\[s(t)=\intv(t)\,dt=\int\left(\frac{32}{3}t2tt\right)\,dt\]

\[s(t)=\left[\frac{16}{3}t^2t^2\frac{1}{2}t^2\right]_0^2=\left(\frac{16}{3}\cdot44\frac{1}{2}\cdot4\right)(000)=\frac{64}{3}42\]

\[s(t)=\frac{64}{3}2\]

物体在0到2秒内的位移为\(\frac{64}{3}2\)单位距离。

3.一家公司年销售额为y=5000t^2200t1000，求该公司第5年的销售额。

解答：

第5年的销售额即t=5时的年销售额，将t=5代入销售额公式中。

\[y(5)=5000\cdot5^2200\cdot51000\]

\[y(5)=5000\cdot2510001000\]

\[y(5)=12500010001000\]

\[y(5)=125000\]

该公司第5年的销售额为125000单位。

4.一个函数f(x)=3x^24x2在区间[1,2]上单调递增，求f(1)和f(2)的值。

解答：

单调递增意味着在该区间内，导数大于0。首先求导数f'(x)。

\[f'(x)=6x4\]

然后求出在x=1和x=2时的导数值。

\[f'(1)=6\cdot14=2\]

\[f'(2)=6\cdot24=8\]

导数都大于0，所以函数在区间[1,2]上单调递增。

\[f(1)=3\cdot1^24\cdot12=342=1\]

\[f(2)=3\cdot2^24\cdot22=1282=6\]

f(1)的值为1，f(2)的值为6。

5.一个物体以v(t)=5t^23t2的速度运动，求从0到3秒内物体的位移。

解答：

要求物体的位移，需要对速度函数v(t)在0到3秒的时间区间上进行积分。

\[s=\int_0^3v(t)\,dt=\int_0^3(5t^23t2)\,dt\]

\[s=\left[\frac{5}{3}t^3\frac{3}{2}t^22t\right]_0^3=\left(\frac{5}{3}\cdot27\frac{3}{2}\cdot92\cdot3\right)(000)\]

\[s=\frac{135}{3}\frac{27}{2}6=4513.56\]

\[s=37.5\]

物体在0到3秒内行驶的位移为37.5单位距离。

6.一个函数f(x)=x^33x^22x1在区间[0,1]上有极值，求f(0)和f(1)的值。

解答：

要求函数在区间[0,1]上的极值，需要先求导数f'(x)。

\[f'(x)=3x^26x2\]

然后求导数等于0的点。

\[3x^26x2=0\]

这是一个二次方程，求解得到x的值。但是这里只需要求f(0)和f(1)的值。

\[f(0)=0^33\cdot0^22\cdot01=1\]

\[f(1)=1^33\cdot1^22\cdot11=1321=1\]

f(0)的值为1，f(1)的值也为1。

7.一个公司年销售额为y=2t^33t^25t4，求该公司第7年的销售额。

解答：

第7年的销售额即t=7时的年销售额，将t=7代入销售额公式中。

\[y(7)=2\cdot7^33\cdot7^25\cdot74\]

\[y(7)=2\cdot3433\cdot49354\]

\[y(7)=6147354\]

\[y(7)=574\]

该公司第7年的销售额为574单位。

8.一个函数f(x)=x^2x1在区间[2,3]上连续，求f(2)和f(3)的值。

解答：

函数f(x)=x^2x1是一个二次多项式，它在整个实数域上都是连续的。因此，在区间[2,3]上的任何点都是连续的，包括端点2和3。

\[f(2)=(2)^2(2)1=421=3\]

\[f(3)=3^231=931=13\]

f(2)的值为3，f(3)的值为13。

答案及解题思路：

1.求解速度函数在给定时间区间的积分得到位移。

2.先对加速度函数积分得到速度函数，再对速度函数积分得到位移。

3.将年数代入年销售额公式中计算销售额。

4.检查函数在区间端点的值。

5.对速度函数积分得到位移。

6.通过导数求解极值，并计算函数在特定点的值。

7.将年数代入年销售额公式中计算销售额。

8.函数为连续多项式，直接计算在端点的值。六、计算题1.求极限：lim(x→0)(sin(x)/x)

2.求极限：lim(x→∞)(x^22x1)/(x^23x2)

3.求极限：lim(x→0)(x^33x2)/(x1)

4.求极限：lim(x→∞)(1e^(x))

5.求极限：lim(x→0)(xsin(x)/(1cos(x)))

6.求极限：lim(x→0)(sin(3x)/(x3))

7.求极限：lim(x→∞)(1/x^22/x^3)

8.求极限：lim(x→0)(ln(1x)/x)

答案及解题思路：

1.答案：1

解题思路：这是一个著名的极限，可以使用洛必达法则或者泰勒展开来求解。通过泰勒展开，sin(x)在x=0附近可以展开为xx^3/6O(x^5)，因此sin(x)/x可以近似为1x^2/6O(x^4)，当x→0时，极限为1。

2.答案：1

解题思路：首先对分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞)(12/x1/x^2)/(13/x2/x^2)。当x→∞时，所有含x的项都趋于0，因此极限为1。

3.答案：2

解题思路：将分子x^33x2中的x^33x分解出来，得到lim(x→0)(x^33x2)/(x1)=lim(x→0)(x(x^23)2)/(x1)。将x^23因式分解，得到lim(x→0)(x(x√3)(x√3)2)/(x1)。由于x→0时，x√3和x√3不为0，极限存在且为2。

4.答案：1

解题思路：当x→∞时，e^(x)→0，因此1e^(x)→1。

5.答案：0

解题思路：使用洛必达法则或者泰勒展开，sin(x)在x=0附近可以展开为xx^3/6O(x^5)，cos(x)在x=0附近可以展开为1x^2/2O(x^4)。因此，(1cos(x))在x=0附近可以近似为x^2/2，所以原极限可以化简为lim(x→0)(x(xx^3/6)/(x^2/2))，进一步化简后得到0。

6.答案：3

解题思路：使用洛必达法则或者泰勒展开，sin(3x)在x=0附近可以展开为3x(3x)^3/6O((3x)^5)，因此sin(3x)/(x3)可以近似为(3x(3x)^3/6)/(x3)。当x→0时，所有含x的项都趋于0，因此极限为3。

7.答案：0

解题思路：当x→∞时，1/x^2和2/x^3都趋于0，因此整个表达式的极限为0。

8.答案：1

解题思路：使用洛必达法则或者泰勒展开，ln(1x)在x=0附近可以展开为xx^2/2O(x^3)，因此ln(1x)/x可以近似为(1x/2O(x^2))/x。当x→0时，所有含x的项都趋于0，因此极限为1。七、综合题1.求函数\(f(x)=x^24x5\)在区间\([1,2]\)上的最大值和最小值。

2.求函数\(f(x)=e^xx1\)在区间\([0,1]\)上的单调区间。

3.求函数\(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的连续性。

4.求函数\(f(x)=(x2)^3x^2\)在区间\([2,1]\)上的可导性。

5.求函数\(f(x)=(x1)^4x^3\)在区间\([0,2]\)上的单调性。

6.求函数\(f(x)=x^22x1\)的导数在区间\([0,2]\)上的连续性。

7.求函数\(f(x)=(1x)^3x^4\)