补上一课　圆锥曲线中的轨迹问题

补上一课圆锥曲线中的轨迹问题方法分析1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.2.求曲线方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程；(2)定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程；(3)代入法(相关点法)：题中有两个动点，一个为所求，设为(x，y)，另一个在已知曲线上运动，设为(x0，y0)，利用已知条件找出两个动点坐标的关系，用所求表示已知，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y），))将(x0，y0)代入已知曲线即得所求曲线方程；(4)参数法：引入参数t，求出动点(x，y)与参数t之间的关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))消去参数即得所求轨迹方程；(5)交轨法：引入参数表示两动曲线的方程，将参数消去，得到两动曲线交点的轨迹方程.方法一直接法例1已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝12，则点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,16)＋y2＝1 B.x2＋y2＝16C.y2－x2＝8 D.x2＋y2＝8答案B解析设P(x，y)，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，因为eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝12，所以x2－4＋y2＝12，即x2＋y2＝16.感悟提升直接法求轨迹方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，再建系、设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.两种常见的题型及解题策略为：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程，直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程，可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.但要注意“完备性”.训练1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2)＝eq\f(1,k3)，记点B的轨迹为E，则曲线E的方程为__________.答案y2＝4x(x≠0且x≠1)解析设B(x，y)，因为eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2)＝eq\f(1,k3)，所以eq\f(1,2)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x－1,y－2)(x≠0，x≠1)，化简可得y2＝4x(x≠0，x≠1)，故曲线E的方程为y2＝4x(x≠0，x≠1).方法二定义法例2(多选)(2024·泰安模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是()A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆B.点Q的轨迹可能是一个定点C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支D.点Q的轨迹可能是抛物线答案AB解析对于A，连接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，A正确.对于B，当点A在圆上时，点Q与圆心O重合，点Q的轨迹为定点，故B正确.对于C，连接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以||QO|－|QA||＝||QO|－|QP||＝|OP|＝r.又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线，C错误.对于D，由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，所以点Q的轨迹不可能为抛物线，D错误.感悟提升利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.训练2若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3)解析设圆C1为(x＋5)2＋y2＝1，可得圆心C1(－5，0)，半径r1＝1，设圆C2为(x－5)2＋y2＝49，可得圆心C2(5，0)，半径r2＝7，且|C1C2|＝10.设动圆圆心为C，半径为r，因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切，所以|CC1|＝r＋1，|CC2|＝7＋r，所以|CC2|－|CC1|＝6<|C1C2|＝10，所以点C的轨迹是以C1(－5，0)，C2(5，0)为焦点的双曲线的左支，所以a＝3，c＝5，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(16)＝4，所以动圆的圆心C的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3).方法三代入法(相关点法)例3已知曲线C0：y＝3x2＋1和点A(－2，0)，动点C在曲线C0上.(1)若线段AC的中点为M，求动点M的轨迹方程；(2)若动点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))，求动点P的轨迹方程.解(1)设动点M的坐标为(x，y)，C(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－2＋x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x＋2，,y0＝2y，))由动点C在曲线C0上可知y0＝3xeq\o\al(2,0)＋1，故2y＝3(2x＋2)2＋1，即y＝6(x＋1)2＋eq\f(1,2)，故动点M的轨迹方程为y＝6(x＋1)2＋eq\f(1,2).(2)设动点P的坐标为(x，y)，C(x0，y0)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))，得(x＋2，y)＝3(x0－x，y0－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(4x＋2,3)，,y0＝\f(4,3)y，))而y0＝3xeq\o\al(2,0)＋1，故eq\f(4,3)y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x＋2,3)))eq\s\up12(2)＋1，即y＝(2x＋1)2＋eq\f(3,4)，故动点P的轨迹方程为y＝(2x＋1)2＋eq\f(3,4).感悟提升利用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y）.))(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.训练3设P为双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是()A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1C.x2－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,2)－y2＝1答案A解析设M(x，y)，由M为线段OP的中点，得P(2x，2y)，代入双曲线方程，得eq\f(（2x）2,4)－(2y)2＝1，即x2－4y2＝1，故选A.方法四参数法例4已知点A和点B是抛物线y2＝4px(p>0)上除原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时，M为一定点，坐标为(4p，0).当AB所在直线的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝4px，))得k2x2＋2(kb－2p)x＋b2＝0.由题可知，k2≠0，Δ>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2（2p－kb）,k2)，x1x2＝eq\f(b2,k2)，所以y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝eq\f(4pb,k).由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，则b＝－4pk.①设点M(x，y)(x≠0，y≠0)，由OM⊥AB，知eq\f(y,x)·k＝－1，则k＝－eq\f(x,y).②由①②及y＝kx＋b消去k，b，得x2＋y2－4px＝0(y≠0).又点(4p，0)满足x2＋y2－4px＝0，所以点M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0.感悟提升1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤(1)选择坐标系，设动点坐标P(x，y)；(2)分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数)；(3)建立参数方程；(4)消去参数得到普通方程；(5)讨论并判断轨迹.2.常用的消参方法有：代入消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2θ＋cos2θ＝1)等，要特别注意：消参前后变量x，y的取值范围不能改变.训练4(2024·广州模拟)变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t为参数)，则代数式eq\f(y＋2,x＋2)的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))消去参数t可得x2＋eq\f(y2,4)＝1(x≥0，y≥0)，则M(x，y)的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，eq\f(y＋2,x＋2)＝eq\f(y－（－2）,x－（－2）)可看成点A(－2，－2)与点M(x，y)连线斜率，如图，B(1，0)，C(0，2)，∴kAB＝eq\f(0＋2,1＋2)＝eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(2＋2,0＋2)＝2，则eq\f(y＋2,x＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).方法五交轨法例5如图，已知椭圆C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求动点N的轨迹方程.解法一设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，则直线NB1：y＝－eq\f(1,k)x－3.①直线MB1与椭圆C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1的交点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).则直线MB2的斜率为kMB2＝eq\f(\f(6k2－3,2k2＋1)－3,\f(12k,2k2＋1))＝－eq\f(1,2k).所以直线NB2：y＝2kx＋3.②由①②得点N的轨迹方程eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,\f(9,2))＝1(x≠0).法二设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).由题意知B1(0，－3)，B2(0，3)，所以kMB1＝eq\f(y0＋3,x0)，kMB2＝eq\f(y0－3,x0).因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直线NB1：y＋3＝－eq\f(x0,y0＋3)x，①直线NB2：y－3＝－eq\f(x0,y0－3)x，②联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(yeq\o\al(2,0)－9,x0)，,y＝－y0.))又eq\f(xeq\o\al(2,0),18)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，所以x＝－eq\f(x0,2)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2x，,y0＝－y，))代入eq\f(xeq\o\al(2,0),18)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，得eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,\f(9,2))＝1.所以动点N的轨迹方程为eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,\f(9,2))＝1(x≠0).感悟提升1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法.2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程；如果动点(x0，y0)影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动点(x0，y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动点P(x，y)轨迹，那么就选取动直线的倾斜角α为参数.训练5如图，椭圆C0：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，动圆C1：x2＋y2＝teq\o\al(2,1)，b<t1<a.点A1，点A2分别为椭圆C0的左、右顶点.动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点.求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程.解设A(x1，y1)，B(x1，－y1).因为A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线A1A的方程为y＝eq\f(y1,x1＋a)(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝eq\f(－y1,x1－a)(x－a).②①×②得y2＝eq\f(－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－a2)(x2－a2).③又点A(x1，y1)在椭圆C0上，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，从而yeq\o\al(2,1)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),a2)))，代入③得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x<－a，y<0).【A级基础巩固】1.在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线答案A解析由动点M到点P(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，则动点M的轨迹是以点P为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，故选A.2.动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是()A.x2＋y2＋3x＋2＝0 B.x2＋y2－3x＋2＝0C.x2＋y2＋3y＋2＝0 D.x2＋y2－3y＋2＝0答案B解析设动点A(xA，yA)与定点B(3，0)连线的中点为P(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋3,2)＝x，,\f(yA＋0,2)＝y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＝2x－3，,yA＝2y.))因为点A在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.3.方程eq\r(（x＋10）2＋y2)－eq\r(（x－10）2＋y2)＝12的化简结果为()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1 B.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1(x>0) D.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1(x>0)答案C解析设A(－10，0)，B(10，0)，P(x，y)，由于动点P(x，y)的轨迹方程为eq\r(（x＋10）2＋y2)－eq\r(（x－10）2＋y2)＝12，则|PA|－|PB|＝12，故点P到定点A(－10，0)与到定点B(10，0)的距离差为12，则动点P(x，y)的轨迹是以(±10，0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a＝12，c＝10，则b2＝c2－a2＝100－36＝64，所以原方程可以化简为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1(x>0).4.已知面积为16的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，则动点P的轨迹方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1答案B解析设P(x，y)，不妨令A(x1，0)，B(0，y2)，正方形ABCD的面积为16，则|AB|＝4，则xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝16，由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)x1，,y＝\f(1,2)y2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(4,3)x，,y2＝2y，))则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x,3)))eq\s\up12(2)＋(2y)2＝16，整理得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.5.已知两点A(－5，0)，B(5，0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()A.y＝eq\f(4,3)x B.x＝2C.y＝x＋1 D.y＝2x答案C解析∵|PA|－|PB|＝6<10＝|AB|，|QB|－|QA|＝6<10＝|AB|，∴P，Q在以A，B为焦点的双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上，且P在双曲线右半支上，Q在双曲线左半支上；eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，对于A，y＝eq\f(4,3)x为双曲线渐近线，则其与双曲线无交点，不合题意，A错误；对于B，当x＝2时，2<3＝a，直线与双曲线没有交点，不符合题意，B错误；对于C，∵y＝x＋1的斜率k<eq\f(4,3)且过点(0，1)，∴y＝x＋1与eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1交于两点，且两点分别位于左右半支，符合题意，C正确；对于D，∵y＝2x的斜率k>eq\f(4,3)且过坐标原点，∴y＝2x与eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1无交点，不合题意，D错误.6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝eq\f(1,3)，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A.圆 B.抛物线C.双曲线 D.直线答案B解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，垂足为Q，过Q作QR⊥A1D1，R为垂足，则PR为点P到直线A1D1的距离，由题意得PR2－PQ2＝RQ2＝1，由已知得PR2－PM2＝1，所以PQ＝PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B.7.(多选)已知A，B两点的坐标为(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，直线AM，BM斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()A.若k1＋k2＝2，则M的轨迹方程为y＝x－eq\f(1,x)B.若k1－k2＝2，则M在一条抛物线上C.若k1·k2＝2，则M的轨迹为双曲线D.若eq\f(k1,k2)＝2，则M轨迹方程为x＝－3(y≠0)答案BD解析设M(x，y)，x≠±1，则k1＝eq\f(y,x＋1)，k2＝eq\f(y,x－1).对于A，eq\f(y,x＋1)＋eq\f(y,x－1)＝2，化简得xy＝x2－1，x≠±1且x≠0，则y＝x－eq\f(1,x)，x≠±1且x≠0，故A错误；对于B，eq\f(y,x＋1)－eq\f(y,x－1)＝2，化简得y＝1－x2，x≠±1，则点M的轨迹是抛物线(除去两个点)，即点M在一条抛物线上，故B正确；对于C，eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝2，化简得x2－eq\f(y2,2)＝1，x≠±1，则点M的轨迹是双曲线(除去顶点)，故C错误；对于D，eq\f(y,x＋1)·eq\f(x－1,y)＝2，化简得x＝－3，y≠0，故D正确.8.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(－1，2)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，动点P与M，N连线的斜率之积为－eq\f(1,2)，则动点P的轨迹方程为________________.答案eq\f(x2,9)＋eq\f(2y2,9)＝1(x≠±1)解析因为点M的坐标为(－1，2)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，所以N(1，－2)，设P(x，y)，则kMP＝eq\f(y－2,x＋1)，kNP＝eq\f(y＋2,x－1)(x≠±1)，由题意得eq\f(y－2,x＋1)·eq\f(y＋2,x－1)＝－eq\f(1,2)，整理可得动点P的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(2y2,9)＝1(x≠±1).9.动圆经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是______________.答案y2＝12x解析设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x.10.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.答案eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(3)，故所求动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.11.在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1：x2＋y2＋2x－eq\f(45,4)＝0内切，且与圆C2：x2＋y2－2x＋eq\f(3,4)＝0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E，求轨迹E的方程.解设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为(x，y)，由题意可知，圆C1的圆心为C1(－1，0)，半径为eq\f(7,2)；圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为eq\f(1,2).因为动圆P与圆C1相切，且与圆C2外切，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PC1|＝\f(7,2)－R，,|PC2|＝\f(1,2)＋R，))两式相加得|PC1|＋|PC2|＝4>|C1C2|＝2，所以动圆P的圆心的轨迹E是以C1，C2为焦点的椭圆，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则2a＝4，2c＝2，所以a＝2，b2＝3，从而轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.12.已知点P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→)).(1)求点N的轨迹方程；(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值.解(1)设点P(x1，y1)，N(x，y)，则点M的坐标为(x1，0)，且x＝x1，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(x1－x，－y)＝(0，－y).因为eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))，所以(0，y－y1)＝λ(0，－y)，所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.因为点P(x1，y1)在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1，所以eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝eq\f(1,4)，解得λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2)，故当λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2)时，点N的轨迹是圆.【B级能力提升】13.(多选)已知点M(0，2)，直线l：y＝－3，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是()A.点P的轨迹曲线是一条线段B.点P的轨迹与直线l0：y＝－1无交点C.y＝2x－3是“最远距离直线”D.y＝eq\f(1,2)x－1不是“最远距离直线”答案BCD解析平面上点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则点P到点M的距离与它到直线y＝－2的距离相等，因此其轨迹是以M为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，其轨迹方程是x2＝8y，A错误；此抛物线与直线y＝－1一定无交点，B正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝2x－3))得x2＝8(2x－3)，即x2－16x＋24＝0，Δ＝162－4×24＝160>0，方程组有实数解，因此此抛物线与直线y＝2x－3有交点，即直线y＝2x－3上存在点P满足题意，C正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝\f(1,2)x－1))得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16<0，方程组无实数解，因此抛物线与直线y＝eq\f(1,2)x－1无公共点，所以直线y＝eq\f(1,2)x－1上不存在点P满足题意，D正确.14.在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(3，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是eq\f(5,4).当|PA|<|PB|时，|PD|＋|PC|的最小值为()A.eq\r(29)＋4 B.eq\r(29)－4C.eq\r(5)＋4 D.eq\r(5)答案A解析设点P坐标为(x，y)，则直线AP的斜率kPA＝eq\f(y,x＋2)(x≠－2)；直线BP的斜率kPB＝eq\f(y,x－2)(x≠2).由已知有eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝eq\f(5,4)(x≠±2)，化简得点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≠±2).又|PA|<|PB|，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x<－2)，即点P的轨迹为以A，B为顶点的双曲线的左支(除A点)，因为D(3，0)，设F(－3，0)，由双曲线的定义可知|PD|＝|PF|＋4，所以|PD|＋|PC|＝|PF|＋|PC|＋4≥|FC|＋4，当且仅当F，P，C三点共线时|PF|＋|PC|取得最小值|FC|，因为C(2，2)，所以|FC|＝eq\r(（2＋3）2＋22)＝eq\r(29)，所以|PD|＋|PC|≥eq\r(29)＋4，即|PD|＋|PC|的最小值为eq\r(29)＋4.15.(2024·南京调研)已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，定点F(2，0)，动点Q满足以FQ为直径的圆与y轴相切.过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点，则|AN|＋4|BM|的最小值为________.答案23解析设Q(x，y)，则FQ的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，\f(1,2)y))，所以eq\f(1,2)eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1))，整理得y2＝8x，即动点Q的轨迹E为抛物线，焦点为F(2，0)，由直线AB过抛物线的焦点，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝eq\f(1,2)，其中eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)的证明过程如下：当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然k≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)·eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝eq\f(p,2)，则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，同上也有x1x2＝eq\f(p2,4).由抛物线的定义知：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，又|AF|＋|BF|＝|AB|，所以x1＋x2＝|AB|－p，且x1x2＝eq\f(p2,4)，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)＝eq\f(|AB|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al