2025年 九年级数学中考二轮复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，在四边形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA=∠BAC=90°，点E是BC的中点，连接DE交AB于点F．（1）求证：AB（2）当∠DBA=30°时，求BFBA（3）是否存在点F，使F是AB的三等点？若存在，请求出∠DBA的度数；若不存在，请说明理由；（4）求∠BDE的最大值．2．已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK//HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值．3．（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，中∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=30°，CD<AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α0°<α<180°①如图2，DE与BC交于点F，交AB于G，连接AD，若四边形ADEC为平行四边形，求BGAG②若AB=12，当点D落在AB上时，求BE的长．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图，若CE=CF，求证：DE=DF．（2）如图，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AC，CE，CF之间的数量关系，并说明理由．②若CE=8，CF=4，求DN+DM的长．5．如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于A−6,0，B1,0，与y（1）求该抛物线的表达式：（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）设动点Pm,n在该抛物线上，当∠PAC=45°时，求m6．如图，已知正方形ABCD，点E在DC的延长线上，连结AE交对角线BD于点G，交BC于点F．（1）若CECD=2（2）求证：GA（3）若CECD=m,AEGF=n7．（1）观察猜想：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD，交AC于点G，连接CE交BD于点F，则BDCE值为______，（2）类比探究：如图3，当∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°时，请求出BDCE的值及∠BFC（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠BDC=45°．若CD=8，BD=6，请直接写出A，D两点之间的距离．8．如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，以BC为边构造矩形BCEF，点E，F分别落在AD、AB上．动点P在AF上从点F向终点A匀速运动，同时，动点Q在射线AD上从点A向点D方向匀速运动，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设PF=2x，△APQ的面积为S，则S=−3x2+12x．当x=2时，点Q（1）求证：△AFE∽△EDC；（2）求AF和EF的长；（3）如图2，EF=2CD，点H为BC的中点，点G在EF上，且EGFG=12，连结DH、GH，当PQ与四边形9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，E为AC上一点．（1）若∠CAB=120°,∠EDF=60°，点F为AB上一点．①如图1，DE⊥AC，则AECE②如图2，若点E在CA的延长线上，F在AB的延长线上．试判断AE,BF,AC之间满足的数量关系并说明理由；（2）如图3，若BE⊥AC于点E,BE,DA的延长线交于点G．若GEBE=410．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE//AC，求AD的长．11．如图1，在△ABC中，AB=42（1）求边AC的长．（2）D边AC的中点，过点D作DE//AB交边BC于点E，将△CDE绕C点顺时针旋转，得到对应的三角形△CD′E′，连接AD①求证：△ACD②当∠AD′C=30°③在△CD′E′旋转的过程中，12．如图，在矩形ABCD中，AB=8，点E是边CD的中点，AE和BC的延长线交于点F，点G是边BC上的一点，且满足BG=13BC=a，连接AG，DG，且DG与AE（1）若a=1，求ΔAOG的面积（2）当ΔAOG是直角三角形时，求所有满足要求的a值．（3）记SΔDOE=x，①求y关于x的函数关系．②当∠AGO=∠DEA时，求tan∠DAE13．已知△OAB和△ODC有公共顶点O，∠OBA=∠OCD=30°，∠OAB=∠ODC=60°，连接AD，BC，取AD的中点M并连接OM．（1）如图1，若点D位于线段OA上，则BCOM（2）如图2，若点D位于线段OB上，①不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB∽△DOC外的另一组相似三角形；②猜想OM与BC的位置关系，并证明你的结论；（3）当点D运动到图3所示位置时，线段OM，BC之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．14．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE=∠ABC，AP=PE．（1）当点E在菱形ABCD内，APAE=1时，（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，APAE=kk≠1（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，APAE=32，BP=6，菱形ABCD的面积为15．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB＝°，线段BD、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断∠CEB的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝25，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC16．如图，设抛物线C1:y=a(x+1)2−5,C2:y=−a(x−1)2+5,C1（1）求a的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l．且l与x轴交于点N①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为(1,2)，求点N的横坐标；②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．17．观察发现，如图1、图2，已知在△ABC和△CDE中，AC=6，CD=9，将△CDE固定，△ABC绕点C旋转．（1）如图1，若△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，直接判断AD与BE之间的数量关系是______；其中BE的最大值为______．（2）如图2，若△ABC和△CDE是直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，∠CDE=∠CAB=30°，判断AD与BE之间的数量关系，说明理由，并求出BE的最大值．（3）如图3，已知在Rt△DBC中，∠DBC=90°，CD=9，以BC为直角边向外作等腰Rt△ABC，连接AD，求出18．如图1，现有矩形纸片ABCD，AB=8cm，AD=6cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α0°⩽α<360°．在△BCE旋转过程中，连接AE（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，边CE与边AB交于点F，则CF的长为______cm；（2）如图3，将图1中的△BCE旋转到当点E落在BA延长线上时，求此时AC:AE的值；（3）如图4，继续旋转图3中的△BCE，当AC=AE时停止旋转，求此时α的度数及△AEC的面积；（4）将图4中的△BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，请说明理由，如果能，无需说明理由，请直接写出此时△AEC的面积的值．19．在△ABC中，∠BAC=90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE//AB，DF//AC，交BC于点（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC=30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD20．发现规律：（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC=∠ADE=α，∠ACB=∠AED=β，求∠BFC的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60∘得到线段MK，连接NK，OK，求线段OK参考答案1．解：（1）证明：∵BA平分∠DBC，∴∠DBA=∠ABC，又∵∠BDA=∠BAC=90°，∴ΔABD∽ΔCBA，∴ABBD∴AB（2）如图1，连接AE，∵∠BAC=90°，E为BC的中点，∴AE=1∵点E是BC的中点，∴AE=BE，∴∠2=∠3，∵BA平分∠DBC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BD//AE，∴ΔBDF∽ΔAEF，∵∠1=30°设BC=2x，则AE=EC=AC=x，由勾股定理得，AB=3∴AD=12AB=∴BFAF∴BFAB（3）①当BFAF则BDAE=2，即∵BD<BC，∴BFAE②当BFFA由（2）得BD//AE，∵ΔBDF∽ΔAEF，∴BDAE设BD=x，则AE=2x，BC=4x，∵AB∴AB∴AB=2x，∵∠BDA=90°，AB=2BD，∴∠DBA=60°；（4）如图2，连接AE，过点A作AM⊥BC，∵BA平分∠DBA，AD⊥BD，AM⊥BC，∴AD=AM，∵当AM与AE重合时，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值为AE的长度．∴∠DEA=45°，又∵BD//AE，∴∠BDE=∠DEA=45°，∴∠BDE的最大值为45°．2．解：（1）证明：如图1中，∵△AED绕点E旋转180°得到△BEF，∴∠ADE＝∠F，AD＝BF，∴AD//CF，∵BC＝FB，∴AD＝BC，∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）①证明：∵BC＝FB，∴FC＝2BF，∵BF＝AD，∴FC＝2AD，∵AK//CH，∴∠AKF＝∠CHD，∴∠AKD＝∠CHF，∵∠ADK＝∠F，∴△AKD∽△CHF，∴ADCF∴CH＝2AK．②如图2中，过点G作GM//DF交HC于M．∵G是BC的中点，且FC＝2BF，∴CG＝14∵GM//DF，∴△CMG∽△CHF，∴MGHF=CGCF＝∵AD//FC，∴△AHD∽△GHF，∴DHFH=AHGH=∴GMDH=3∵AK//HC，GM//DF，∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM，∴△AHK∽△HGM，∴HKGM=AHHG＝∴HKHD＝1∴n＝4．3．解：（1）∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）①连接CG，如图所示，∵四边形ADEC为平行四边形，∴AD//∴∠ADE+∠CED=180°，∵∠CED=90°−∠CDE=90°−30°=60°，∴∠ADE=120°，∴∠ADC=∠ADE−∠CDE=90°，∵∠CAB=∠CDE=30°，∴A、D、G、C四点共圆，∴∠AGC=∠ADC=90°，∵∠CAB=30°，∴CG=12AC，AG=∴CG=3BG，即∴BGAG②∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠CAB=∠CDE=30°，∴ACBC∴△ACD∽△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=∠DBC+∠CAD=90°，∴△DBE为直角三角形，设BE=a，∴AD=3a，∴过D点作DH⊥AC于H，∠A=30°，则DH=ADsin又∵∠ACD=α，∴CD=HD又在Rt△CDE中，∠CDE=30°∴DE=CD∴在Rt△BDE中，由勾股定理得D即a2∴a2解得a=24即a==24故BE的长为1234．（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，CE=CF∠DCE=∠DCF∴△DCE≅△DCF，∴DE=DF．（2）①解：∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°−135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△DCF∼△CED，∴CDCE∴CD∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=2∴AC②解：如图，过D作DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=8，CF=4时，由CD2=CE⋅CF∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD⋅sin同理DH=4，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN∼△GDN，∴CNGN∴GN=1∴DN=G同理：△DMH∼△FMC，∴HMMC∴HM=CM=1∴DM=D∴DN+DM=45．解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c∴12×−62−6b+c=0∴抛物线的表达式为y=1（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，而l⊥AC，AO⊥y轴．∴△CDE∽△ACO，则DEOC∵A−6,0，C0,−3，设∴AO=6，OC=3，又DE=−x，CE=−∴−x3=−12x2从而12∴点D的坐标为−1,−5．（3）①如图，当点P1在x轴上方时，设直线AP1与l∵∠P1AC=45°，l⊥AC，∴△AM1C是等腰直角三角形，AC=M1C，作M1H∴M1H1=CO=3，∴点M1的坐标为3,3∴直线AP1的表达式为又∵P∴n=13m+2n=1②如图，当点P2在x轴下方时，设直线AP2与l交于点M2，作M2H2⊥y轴于点H2，则Rt△C又P2m,n，n=−3m−18n=12综上所述，m的值为536．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG∵ECDC∴DCDE∴AGGE（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△FBG，∴AGFG∵AB∥DE，∴△ABG∽△EDG，∴BGDG∴AGEG∴AG（3）∵AD∥BC，∴△ADG∽△FBG，∴ADFB∵AB∥DE，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG又∵AGFG=DG∴AGEG∵CECD=m，CF∥∴CEDE=EF∵AGEG∴AGEG∵AEGF∴AE=nGF，则AG=AE-GE=nGF-GE，则GE=nGF-AG，由（2）可知：AG∴EG=G∴nGF-AG=GA令GAGF则nGF-AG=x·GA，变形得：GA:nGF∴nx则n=x∵AB∥CE，∴△ABF∽△ECF，∴ABEC又∵CEDC∴AFEF则AFEF∴BFBC=1m+1，又∵∴BFAD∴ADBF又∵AGFG∴x=m+1，∵n=x∴n=m+12+m+1∴m与n的关系为n=m7．解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，∴ADAE∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∆BAD~∆CAE，∴BDCE又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=45°，故答案是：2，45°；（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，∴DE=12AD，BC=12AB，AE=3DE，AC=∴ADAE∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∆BAD~∆CAE，∴BDCE又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=30°；（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∆ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAM=45°，ABAC∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，∴∆BAD~∆CAM，∴∠ABD=∠ACM，BDCM又∵BD=6，∴CM=62=32∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°∴∠ABD+∠BCD=180°，∴∠ACM+∠BCD=180°，∴∠DCM=90°，∴DM=CD∴AD=2DM=241，即A，D两点之间的距离是241．8．（1）证明：∵∠DEC+∠AEF=90°，∠A+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠A，∵∠EFA=∠EDC=90°，∴△AFE∽△EDC；（2）∵S=−3x当x=4时，S=0，此时，点P到达终点A，∴PF=2x=8，即：AF=8，∵当x=2时，点Q恰好运动至E点，∴此时，PF=4，AP=4，∴S=12AP∙EF=2EF=−3×∴EF=6，综上所述：AF=8，EF=6；（3）∵AF=8，EF=6，∴AE=10，∵PF=2x，当x=2时，点Q恰好运动至E点，∴PFAQ∴AQ=52①当PQ∥EG时，则AQAE=APAF，即∴PF=2x=83②当PQ∥DH时，延长DH交AB的延长线于点M，过点D作DN⊥AB于点N，∵EF=2CD，∴CD=3，∵△AFE∽△EDC，∴AFED=FE∴AD=10+4=14，∵AEAD∴DN=425，AN=56∴BN=AF+BF-AN=8+5-565=9∵点H为BC的中点，∴BH=3，∵BHDN∴BM=1，∵APAM=AQAD，即：∴PF=2x=167③当PQ∥GH时，延长GH交AB于点K，并反向延长交CE的延长线于点L，交AD于点O，∵EGFG∴FG=4，∵BKFK=BH∴BK=15，∵BH=CH，∠CHL=∠BHK，∠HCL=∠HBK=90°，∴∆CHL≅∆BHK，∴CL=BK=15，∴EL=15-5=10，∵ELAK∴1028=OE∴AO=10-5019=140∵PQ∥GH，∴AQAO=APAK，即：∴PF=2x=1621④PQ不可能平行AD；综上所述：PF=83或167或9．解：（1）①连结AD，∵AC=BC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∵∠CAB=120°,∠EDF=60°，∴∠C=∠B=12∴AC=2AD，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°，∴AE=12∴CE=AC-AE=2AD-12AD=∴AECE故答案为：13②结论是：AE−BF=1连接AD，在AB上取点G，使AG=AD，连接DG，∵点D为BC的中点，∠CAB=120°，AB=AC，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∴△ADG为等边三角形，∴AD=GD, 又∠EDF=60°，∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°，∴∠ADE=∠GDF，在△ADE和△GDF中，{∴△ADE≌△GDF(ASA)，∴AE=GF，∵∠GDB=∠ADB−∠ADG=90°−60°=30°，∴∠C=∠ABC=∠GDB=30°，∴BG=DG，AD=12∴AE=GF=GB+BF，∴AE-BF=GB=DG=AD=12∴AE−BF=1（2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H，∵∠CAD=∠BAD，∴∠GAH=∠GAE，∵BE⊥AC于点E,BE,DA的延长线交于点G．∠GEA=90°=∠GHA，在△GHA和△GEA中，{∠GHA=∠GEA∴△GHA≌△GEA(AAS)，∴GH=GE，又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA，∴△GHB∽△AEB，∴GBAB∴GHGB∵GEBE设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x，∴AEAB故答案为：4910．（1）证明：∵△AEC和△DFC是等腰直角三角形，∴∠DFC=∠AEC=90°，∠DCF=∠ACE＝45°，∴∠DCF-∠ACF=∠ACE-∠ACF，即∠ACD＝∠ECF，在Rt△AEC中，cos∠ACE=CEAC在Rt△DFC中,cos∠DCF=CFCD∴CEAC∴△ACD∽△ECF；（2）解：∵D，F，E三点共线，∴∠EFC=∠DFC=90°，∵△ACD∽△ECF，∴∠ADC=∠EFC=90°，如图1，过点A作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=12在Rt△ABM中，cos∠B=BMAB在Rt△BDC中，cos∠B=BDBC∴BD=185∴AD=AB-BD=5-185=7在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=AC∴S△ADC∵△ACD∽△ECF，∴S△ECF∴S△ECF（3）解：过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，如图2，由（2）可得：CN=245在Rt△ANC中，sin∠CAN=∵AC=5，∠AEC=90°，∠ACE=45°，在Rt△AEC中，AE=AC⋅sin∵DE∥AC，∠DEA=∠CAE=45°，∵AM⊥DE，∴∠AME=90°，在Rt△AME中，AM=AE⋅sin∵DE∥AC，∴∠CAN=∠MDA，∴sin∠CAN=sin∠MDA=24∴AMAD∴AD=12511．解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AH⊥BC∴∠AHB=90°∵∠ABC=45°, ∴AH=BH=4∵BC=7∴CH=BC−BH=3，在Rt△AHC中，AC=A（2）①∵DE//AB，∴CD∵点D为AC的中点，∴CD=AD,CE=EB，∵△CDE点C顺时针旋转得到△CD∴△CDE≌△CD∴CD=C∴C∴C∵∠ACB+∠ACE∴∠BCE∴△ACD②过C作CN⊥AD′于∵△AC∴∠AD∴M、C、D∴∠CM∵∠C∴∠CM∵AB//DE，∴∠ABC=∠CED=45°，∴∠CM∵CN⊥AD′于∴∠CNM=90°, ∴CN=MN, ∵∠AD∴CN=1∵CD∴CN=5∴MC=2③过C作CK⊥DE于K．∵BE=CE=∠CKE=90°, ∴CK=EK=2∴点C到DE的距离为72即在△CD′E′旋转过程中，点C点∴点A到D′E′∵DE=1∴S△A=52即△AD最大面积为5212．解：（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2，∵矩形ABCD中，AD//CF，∴∠DAE=∠CFE，AD=BC=3，又∵DE=CE，∠AED=∠FEC，∴ΔDAE≅ΔCFE，∴CF=AD=3，∴FG=CG+CF=CG+AD=5，∵∠DAE=∠CFE,∠AED=∠FEC∴ΔAOD∼ΔGOF，∴OD∵ΔAOG底边OG上的高与ΔAGD底边GD的高相等，∴（2）∵∠GAO<90°∴分两种情形讨论情形①：如图1，∠AOG=90°，∵ΔAOD∼ΔGOF∴OMON∴OM=3，ON=5易证ΔGON∼ΔGCD，∴GN∴GN=54a易证ΔGON∼ΔDMO，ΔDMO∼ΔOAM∴ΔGON∼ΔOAM∴∴∴a=情形②：如图2，∠AGO=90°，∵∠AGB+∠BAG=90º，∠AGB+∠DGC=90º，∴∠BAG=∠DGC，∵ΔABG∼ΔDCG∴∴a×2a=64∴a=4（3）①∵ΔAOD∼ΔGOF，∴OAOF又∴ΔDAE≅ΔCFE∴AE=EF，∴∴又∵∴y=5x，②∵∠AGO=∠DEA，∠AOG=∠DOE∴ΔAOG∼ΔDOE∴SΔAOGS过O作OH⊥AD于H，则有AH∴∴a=4，∴AD=BC=12，∴tan13．解：（1）设OD=a，OA=b，∵∠OBA=∠OCD=30°，∠OAB=∠ODC=60°，∴∠AOB=∠COD=90°，CD=2a，OC=CD同理，OB=3bBC=3(a+b)AD=b−a，∵AD的中点是M，∴DM=12OM=OD+DM=b+a2BCOM（2）①△AOD∽△BOC，延长OM交BC于N,由（1）得，OCOD=OBOA=∴△AOD∽△BOC；②由相似得，∠DAO=∠CBO，∵AD的中点是M，∴MO=MD，∴∠ADO=∠NOB，∵∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CBO+∠NOB=90°，∴OM⊥BC；（3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM,∵AM=MD,∠OMD=∠AMH，∴△OMD≌△AMH,∴AH=OD,∠HAD=∠ADO，∴AH∥OD,∴∠HAO+∠AOD=180°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∴∠BOC=∠HAO，由（2）可知，OCOD∴OC∴△BOC∽△OAH，∴BCOH=OBOA=∴BCOM∵∠AOH+∠NOB=90°，∴∠CBO+∠NOB=90°，∴OM⊥BC；14．解：（1）连接AC∵∴AP=AE=PE，△APE是等边三角形∴∠APE=∠ABC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AC∴△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∵∠BAC=∠PAE=60°∴∠BAC−∠PAC=∠PAE−∠PAC即∠BAP=∠CAE在△BAP和△CAE中BA=CA∴△BAP≌△CAE（SAS）∴BP=CE，即BPCE（2）如图，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC．∵△APE是以AP为腰的等腰三角形，且∠APE=∠ABC，AP=PE，∴∠EAP=∠CAB，∴△APE∼△ABC，∴APAE∵∠EAP=∠BAC，∴∠EAP−∠PAC=∠BAC−∠PAC，即∠CAE=∠BAP．在△BAP和△CAE中，∵APAE=AB∴△BAP∼△CAE，∴BPCE（3）如图，连接AC，∵APAE=3∴ABAC=BP∴CF⊥AD设AB=3x，AC=2x，则AO=x，由勾股定理可知AO=2，又∵△BAP∼△CAE，∴AOAF∴AF=223∴△DCE的面积为142故答案为1415．解：（1）△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，同理可得△ADE是等边三角形∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°故答案为：∠CEB=60°；BD=CE．（2）∠CEB＝45°，BD＝2在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝2同理，AD＝2∴AEAD=AC∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE∴∠AEC＝∠ADB，BD＝2∵点B、D、E在同一条直线上:∴∠ADB＝180°−∠ADE＝135°∴∠AEC＝135°∴∠CEB＝∠AEC−∠AED＝45°；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝2在Rt△ABC中，AC＝25∴AB＝2①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝A∴BD＝BP−AP＝4，∴CE＝1②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝1综上CE的长为22或42．16．解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，设B（-2，b），∴b=-4，∴B（-2，-4）；（2）①如图由（1）可知a=1，∴C2的解析式为：y=−∴M（1，5），∵D（1，2），且DH⊥x轴，∴点M在DH上，MH=5，过点G作GE⊥DH，垂足为E，由△DHG是正三角形，可得EG=3∴ME=4，设N（x，0），则NH=x-1，∵DH⊥x轴，GE⊥DH，∴GE//x轴，∴△MEG∽△MHN，∴MEMH∴45∴x=5∴点N的横坐标为54②当点D移到与点A重合时，如图，直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，设N（x，0），∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，∴∠AHG=60°，HG=AH=4，∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，∴GQ=1∴OQ=OH+HQ=2+23∴G(2+23∴NQ=x−2−23∵△NGQ∽△NMF，∴NQNF∴x−2−23∴x=当点D移到与点B重合时，如图：直线l与DG交于点D，即点B，此时点N的横坐标最小；∵B（-2，-4），∴H（-2，0），D（-2，-4），设N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴NHFN∴x+21−x∴x=−2∴点N横坐标的范围为−217．解：(1)∵∠DCE=∠ACB=90∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；∵将△ABC绕点C旋转的过程中，BE≤BC+CE，且BC=AC=6，CE=CD=9BE≤6+9=15，∴即当点B、C、E共线时，BE的值最大，最大值为15.故答案为：AD=BE，15；(2)AD=3BE，BE理由：∵△ABC和△CDE都是直角三角形，∠CDE=∠CAB=30∴tan∠∴AD:∴AC:CB=CD:CE.∵∠DCE=∠ACB=90∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴AD:BE=AC:BC=3∴AD=∵AC=6，CD=9，∴当点A在DC的延长线上时，AD的值最大，最大值为AC+CD=6+9=15，∴当点B在EC的延长线上时，BE的值最大，最大值为AD3(3)如图，以CD为边在CD下方作CE⊥CD，且CD=CE，连接ED，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BECSAS∴AD=BE，设点F是CD的中点，∵在△BFE中，BF+FE≥BE，∴当点B、F、E共线时BE最大，BE的最大值为BF+F