2025年中考数学一轮复习相似三角形综合解答题专题提升训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学一轮复习相似三角形综合解答题专题提升训练1．如图，点是的边延长线上一点，与交于点，．(1)求证：；(2)若的面积为4，求的面积．2．在中，，对角线交于点，，是上两点．延长交于点，延长交于点．(1)如图1，若．①求证：；②如图2，连结交于点，连结，若．求证：．(2)如图3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接写出的长度；若不存在，请说明理由．3．在四边形中，对角线，与交于点，且．(1)如图1，若，，当时，求四边形的面积；(2)如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：；(3)如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积．4．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，．(1)求证：；(2)若，求的长．5．如图，在中，，，，是线段上的点，且满足，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．(1)求证：；(2)连结交线段于点，求的值；(3)点在直线上，当时，求的长．6．如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且．(1)求证：；(2)若；求的长．7．已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点（不与B、C点重合），．(1)求证：；(2)若，求的长．8．在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求四边形的面积．9．如图，在正方形中，点E是边上的一点（不与点C，D重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点M，交于点N．(1)求证：；(2)若，求证：．10．如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接、为交于点，点为延长线上一点，且，点为平面内上方、左侧一点，，延长交于点．(1)若点是中点，，求线段的长度；(2)若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明；(3)若，为内部一点，当最小时，直接写出面积的最小值．11．在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G．(1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值；(2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可）12．如图，在中，，，．点P是线段上的一个动点（不包括端点），过点P作的垂线交线段于点Q，连接．(1)求证：．(2)当为等腰三角形时，求的长．13．如图：点、在线段上，是等边三角形．(1)求证：(2)，，求的长14．如图在四边形中，点、分别是、上的点，与交于点．(1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：(2)如图②，若四边形是平行四边形，且，求证：15．如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N．(1)求证：；(2)若，，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学一轮复习相似三角形综合解答题专题提升训练》参考答案1．(1)见解析(2)48【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）由平行四边形的性质得，，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；（2）由，证明，则，求得，由，证明，得，则，结合，即可由得到答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，．（2）解：，，，，，，，，，，，，，，的面积为48．2．(1)①见解析；②见解析(2)存在，，【分析】（1）①证明即可解答；②证明，得出，再结合①得出，即可得，证明，即可解答．（2）取的中点，证明，得出，作点关于直线的对称点，则，，作交延长线于点，则，，证明，得出，取中点，连接，得出是的中位线，，，则三点共线时，最小．过作于点，求出，，连接，勾股定理求出，根据，求出的最小值为．再证明，根据相似三角形的性质求出即可解答．【详解】（1）解：①证明：在中，，，，在与中，，．②证明：，，，，，，，，，．（2）解：存在．四边形是平行四边形，，，取的中点，则，，，在和中，，作点关于直线的对称点，则，，作交延长线于点，则，，∴，∴，，取中点，连接，∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，则三点共线时，最小．过作于点，则，，，，，连接，，，，的最小值为．∵，∴，∴，，∴，∴，故此时．【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线．3．(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）作于，则，求出，得出，，求出，得出为等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解；（2）作于，交的延长线于，作交于，令交于，由等腰三角形的性质可得，，，设，则，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由平行线的性质可得，得出为等腰直角三角形，推出，证明，得出，利用相似三角形的判定与性质，得出，即可得证；（3）作，作于，连接，过点作直线，交直线于，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，得出点在直线上运动，从而可得当时，最小，即最小，证明为等腰直角三角形，得出，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，求出点在上，且在劣弧上，当、、三点共线时，最小，作于，则为等腰直角三角形，再由计算即可得解．【详解】（1）解：如图，于，则，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴四边形的面积为；（2）证明：如图，作于，交的延长线于，作交于，令交于，，∵，，∴，，，设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∵为的中点，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，作，作于，连接，过点作直线，交直线于，，∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，，∵点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴点在直线上运动，∴当时，最小，即最小，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵内部一点满足，∴，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，∴，∴点在上，且在劣弧上，∴当、、三点共线时，最小，∵，∴，，∴，作于，则为等腰直角三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．4．(1)证明见解析(2)【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识．（1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明；（2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，∴，∵，∴，

∴，

∴；（2）解：∵，，∴，∴，

由（1）知：，∴，

∵，∴．5．(1)见解析(2)(3)或【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，由旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得；（2）如图2，过点作交BC于点，根据相似三角形的性质得到，得到，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，（3）①当点在点下方时，如图3，连结，过点作于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，解直角三角形得到；②当点在点上方时，如图4，连结，过点作交BD的延长线于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图1，在中，，∵，，∴，，由旋转的特征，得：，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：如图2，过点作交于点∴，∴，即，∴，由（1）知，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴；（3）解：在Rt△中，，①当点在点下方时，如图3，连结，过点作于点，在中，，设，则，在和中，，∴，∵，∴，解得：，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，②当点在点上方时，如图4，连结，过点作交的延长线于点，在中，，设，则，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：的长为．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．（1）由题意可得，，可证；（2）由，可得，代入数值即可求出的长．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，，又，．（2）由（1），，即，即，．7．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的判定与性质．（1）先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）先由等腰直角三角形性质得，，设，则，再由相似三角形的性质得，即，解方程即可．【详解】（1）证明：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，由（1）知为等腰直角三角形，∴，，设，则，由（1）知，∴，∴，解得：，∴．8．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能得到是解决此题的关键．(1)根据矩形的性质证明，然后即可证明；(2)根据勾股定理求出的长，再求出三角形的面积，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得三角形的面积，进而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：四边形为矩形，，，，，，，，；（2）四边形为矩形，，在中，，，，，，，，四边形的面积．9．(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而即可得到结论；(2)根据已知条件得到，由(1)知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，在与中，，，，，，，；（2）解：四边形是正方形，，，，由(1)知，，，，，，，，，，，，四边形是正方形，，，由勾股定理得，，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质的综合运用是解决此题的关键．10．(1)(2)(3)【分析】（1）如图所示，过点作于点，过点作于点，解，，进而等面积法求得，再求得，在中，求得，进而即可求解；（2）证明，设得出，过点作，，设与交于点，证明得出，进而得出，又，即可得出结论；（3）连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接，可得，进而可得四点共线时取得最小值，最小值为，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，得出，根据四点共线，是等腰直角三角形，连接，在上截取，得出在的一部分弧上运动，过点作于点，当在上时，面积取得最小值，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而求得，根据得出，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，∵是等边三角形，点是中点，，∴，，∴，，∵，∴，∴∵∴，∵，∴，在中，∴（2）证明：∵是等边三角形，，∴又∵，∴∴设∴∴∵∴，如图所示，过点作，，设与交于点，∴，又∵∴，∴，∵∴，∴，∴又∵，∴，∴∴∴（3）解：如图所示，连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接，∵，∴∴，即∴∴四点共线时取得最小值，最小值为如图所示，∵是等边三角形，∴，∵等腰，∴，，∴如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则∵等腰，∴,∴，又∵,∴∴，∵∴∴∵四点共线∴，连接，在上截取，∵，∴∵∴∴∵∴在的一部分弧上运动，如图所示，过点作于点，当在上时，面积取得最小值，∵∴过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，∴，∵∴∴是等腰直角三角形，∴，在中，如图所示，作∴，∴，∴∴∴【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，求一点到圆上的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．(1)(2)见解析【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据已知条件设，则，，，证明，，根据相似三角形的性质得出，，，，过点作于点，设，则，在，中，根据勾股定理可得，由此建立方程求出，然后根据余弦的定义可得，于是得解；（2）取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作．【详解】（1）解：四边形是菱形，，，，设，则，，，，，，，，，，，又，，，，即：，，，，，，，如图，过点作于点，设，则，在，中，，，解得：，；（2）解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作，理由如下：如图，设交于点，是的中点，是的中点，，又，是平行四边形，，，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，在与方向上的分向量分别为，．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求角的余弦值，向量的线性运算，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行公理的推论等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．12．(1)见解析(2)或6【分析】（1）由两对应角相等（，），证明．（2）当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．①当点P在线段上时，如图1所示．由三角形相似（）关系计算的长；②当点P在线段的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段的中点，从而可以求出．本题考查相似三角形的性质和判定，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，等腰三角形的性质；解题的关键是根据定理进行证明．【详解】（1）解：∵，∴∵过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点，∴，在与中，；（2）解：在中，，，由勾股定理得：，∵为钝角，∴当为等腰三角形时，只可能是，①当点P在线段上时，如题图1所示，由（1）可知，，∴，即，解得：∴②当点P在线段的延长线上时，如题图2所示，∵，∴∵，，∴．∴．∴，点B为线段中点．∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为或6．13．(1)见解析(2)【分析】此