四川省叙永第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

叙永一中2025年春期2024级“开学考试”数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果.【详解】，又，所以.故选：B.2.“”是“”的（）A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义计算即可.【详解】显然由不能推出，此时可以为0，即不满足充分性；而可以推出，满足必要性.故选：A3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.与 B.与（且）C.与 D.与【答案】B【解析】【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项.【详解】A．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数；B．与的定义域均为，且即为，所以是同一个函数；C．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数；D．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数，故选：B.【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.4.命题“，”的否定为（）A， B.，C， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题“”的否定为：.故选：B.5.下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可.【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；对于B，为非奇非偶函数，故B错误；对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确；对于D，为偶函数，故D错误.故选：C.6.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．【详解】由已知，，所以，即，∴，故选：D．7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，进而化简，然后用基本不等式求得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.故选：B.8.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，则在上也是减函数，则在上为减函数，.所以，所以.故选：C二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.9.下面说法正确的有（）A.化成弧度是B.终边在直线上角的取值集合可表示为C.D.若角为第四象限角，则，【答案】AD【解析】【分析】化度为弧度判断A；求出角的集合表示判断B；求出正弦值判断C；确定正余弦值的符号判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，终边在直线上的角的取值集合可表示为，B错误；对于C，，C错误；对于D，角为第四象限角，则，，D正确.故选：AD10.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B错误；对于C，由，得，则，，C正确；对于D，由，得，则，D错误.故选：AC11.函数满足：.已知当时，，则（）A. B.为周期函数C.为偶函数 D.方程恰有3个解【答案】BCD【解析】【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可.【详解】A：在中，令中，有，所以本选项不正确；B：由，所以由，所以是周期为的周期函数，因此本选项正确；C：时，，而，显然当时，函数偶函数，又因为函数的周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确；D：因为函数的周期为，且为偶函数，所以函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点，因此方程恰有3个解，所以本选项正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过原点，则_________．【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值.【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得.故答案为：.13若，且，则______．【答案】6【解析】【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.【详解】由可得，故，由于，故，故答案为：614.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案.【详解】因为在上均为增函数，则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则，可得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集运算求解；（2）根据子集关系列式运算得解.【小问1详解】，．【小问2详解】因为成立，．由得，解得.所以实数的取值范围为.16.已知不等式的解集为．（1）求，的值；（2）若不等式对于均成立，求实数取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以和是关于的方程的两根，由根与系数的关系知，，解得，；【小问2详解】由（1）知，不等式对于均成立，当时，不等式为恒成立，当时，应满足，解得综上，实数的取值范围是．17.已知.（1）化简；（2）若是第三象限的角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化角,约分化简即可；（2）由诱导公式得，根据同角三角函数平方关系及角的范围得,代入数值得.【小问1详解】；【小问2详解】因为，所以，又是第三象限的角，所以，故.18.某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：①；②；③；④.10152025305055605550（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值.【答案】（1）选择模型②，（2），441（万元）【解析】【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式；（2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值.【小问1详解】由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②，由，可得，解得，由，解得，所以与时间的变化的关系式为.【小问2详解】由（1）知：所以.当时，由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数，所以函数的最小值为，综上，当时，函数取得最小值441（万元）.19.经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．（1）已知函数，且，求的值；（2）证明函数图象的对称中心为；（3）已知函数，求的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由知，，根据易求的值；（2）根据题意，要证函数图象的对称中心为