湖北省云学名校联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

湖北省云学名校联盟届高三年级2月联考数学试题85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件根据复数的模的公式求结论.【详解】.故选：D.2.已知集合，则P的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域求出集合，再根据真子集的概念即可求解．【详解】由，解得或，所以，所以P的真子集个数为故选：A.3.已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（）A.1B.C.D.2【答案】B第1页/共20页【解析】【分析】由条件求，再结合等比数列性质求，由此可得结论.【详解】由题意，数列为等比数列，为数列前项积，所以，，则，可得故选：B.4.已知，，且，则（）A.4B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得，进而求得.【详解】因为，解得，则，则，则故选：A5.函数在上不单调，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.第2页/共20页【详解】，因为函数在上不单调，所以函数有零点，所以方程有根，所以函数与因为函数的值域为，所以故选：D6.在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过补形为长方体的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将四面体补形为长方体，则外接球的直径即为长方体的体对角线长，即，因此外接球的半径为，其表面积为故选：B7.近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”“甲和乙选择不同的景点”则（）第3页/共20页AB.C.D.【答案】C【解析】条件概率公式求解即可.【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种，“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”的对立事件是“甲和乙都不前往陆羽故园”，甲不选陆羽故园有5种选法，乙不选陆羽故园也有5种选法，所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种，则，“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况：（1）甲去陆羽故园，乙不去，甲去陆羽故园有1种选法，乙从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法，共种情况；（2）乙去陆羽故园，甲不去，乙去陆羽故园有1种选法，甲从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法，共种情况，所以，所以.故选：.8.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第4页/共20页【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围.【详解】由题可得：，，，又，所以，又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，所以，即，，可得，又，所以双曲线离心率的取值范围是故选：C二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某射击运动员在一次射击中射靶次，命中的环数依次为，，，，下论述中正确的是（）A.平均数是B.中位数是C.众数是D.方差是【答案】AC【解析】平均数判断ABC样本数据的方差判断D.【详解】对于A，平均数是，故A正确；对于B，，，，，从小到大排列为，，，，，故中位数为，故B错误；对于C，众数为，故C正确；第5页/共20页对于D，方差为，故D错误.故选：AC.10.记已知函数，则（）A.的图象关于直线对称B.的最大值为C.在上单调递增D.方程上最多有个解【答案】BC【解析】【分析】结合新定义，化简函数解析式，作函数图象，结合图象逐项判断结论.【详解】当时，；当时，；则，由此可得的部分图象，如图所示，对于A，由图象可知，函数不关于直线对称，故A错误；对于B，由图象可知，的最大值为，故B正确；第6页/共20页对于C，由图象可知，在上单调递增，故C正确；对于D，当时，方程为常数在上有个解，方程在上最多有个解，故D错误.故选：BC.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（）A.函数在无数个点处的曲率为1B.函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同C.函数的曲率半径随着x变大而变大D.若函数在与处的曲率半径相同，则【答案】ABD【解析】【分析】根据新定义结合导函数二次求导，分别判断各个选项即可.【详解】对于A，已知，则，，根据曲率函数，可得当，时，，，此时，所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确；对于B，对于，，，第7页/共20页则，因为，所以为偶函数，所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B正确；对于C，，，则函数的曲率半径，令，求导得，由，得，当时，，则函数在上单调递减，函数在上单调递减，故C错误；对于D，，，则函数的曲率半径，，依题意，，令，，则方程有两个不等正根，，即直线与函数的图象有两个交点，，当时，，当时，，函数在上单调递减，函数值集合为在上单调递增，函数值集合为因此当时，方程有两个不等正根，，第8页/共20页令，令函数，，求导得，函数在上单调递增，，即，令，则，，，又函数在上单调递增，因此，即，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：第一步：提取信息—对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，第二步：加工信息—细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点—如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）第四步：计算，得结论—结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.在二项式的展开式中，常数项为____.【答案】24【解析】【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于零即可得解.第9页/共20页【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，展开式中的常数项为.故答案为：.13.曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则_____.【答案】0【解析】【分析】结合求导公式求，由条件结合导数的几何意义列方程求.【详解】由题意得，则，因为，所以，因为曲线与曲线在点处的切线互相垂直，所以，即，解得故答案为：.14.表示不超过x的最大整数，例如，已知函数与的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是___.【答案】【解析】的定义化简应方程恰有两个解，对方程进行换元变形转化为相对熟悉的两个函数，一个一次函数可确定所过定点，一第10页/共20页个分段函数，然后数形结合因为这两个函数图像恰有两个交点，确定直线的斜率取值范围，解不等式求出k的取值范围.【详解】，，令，则，直线过定点，斜率为.，，如图，作出函数和的图象，其中，，，，，，，，依题意，或，或，或，即实数k的取值范围是故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中，，底面，平面底面，M是延长线上一点，且，D为中点，连接.（1）证明：平面；第11页/共20页（2）取中点Q，求与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】至点N，使得M为的中点，连接CN，连接与交于点E，连接，由中位线性质分别得到，，从而，根据线面平行的判定即可证明；（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，分别证得和，再以为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求线面角的方法求解即可.【小问1详解】证明：延长至点N，使得M为的中点，连接CN，连接与交于点E，连接在中，，分别是和的中点，，在中，，M分别是和的中点，，，又平面，平面，平面；【小问2详解】在三棱柱中，因，即，又平面底面，平面底面，底面，第12页/共20页所以平面，所以同理，故，，两两垂直.以为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，，，，，即，，，设平面的一个法向量为，，令，则，，得，，，，设与平面夹角为，，即与平面夹角的正弦值为.16.设.（1）求的单调递增区间；第13页/共20页（2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）化简可得，令，即可得单调递增区间；（2）利用和角的范围求得角，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得的取值范围，即为周长的取值范围.【小问1详解】，由，得，的单调增区间为，【小问2详解】因为，可得，第14页/共20页由题意知A为锐角，则，由正弦定理可得，则，，所以，因为，解得，则，所以，则，所以，即周长的取值范围为.17.已知：.（1）证明：有两个极值点，；（2）对（1）中的两个极值点，，若，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1结论；（2）结合（1）化简不等式，利用导数研究函数的单第15页/共20页调性，由此可得结论.【小问1详解】令有个零点、又不妨设，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增有个极值点，为函数的极大值点，为函数的极小值点，【小问2详解】结合（1）可得∴令，，在单调递增又.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点和上顶点分别为P，Q且直线l经过交C于A，在x轴上方两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的倍.（1）求C的方程；第16页/共20页（2）求面积的最大值；（3PAPB与y轴分别交于MN的外接圆是否经过点N说明理由?【答案】（1）（2）（3）经过点，理由见解析【解析】1）由题意建立的等量关系，求解即可；（2，l的方程为本不等式求面积的最大值即可；（3）求得直线AP的方程为，从而得到点M，N的坐标，则，，求解数量积证明.同理证得即可.【小问1详解】依题意有，，，，因为，则，解得，故有，解得，，则椭圆方程为【小问2详解】设，，l的方程为，第17页/共20页联立得，，由韦达定理有，，则，于是令，，，时取等号，则，故面积的最大值为【小问3详解】的外接圆经过点，理由如下：直线AP的方程为，令，则，故，同理可得，第18页/共20页则，，故有.，故，同理可证，于是的外接圆经过点.19.的方法.（1）现在用这种方法生成数列，满足：，，求后三项中每一项都不小于前一项的概率；（2）利用这种方法生成数列，，，.满足：，用表示未连续出现三次的概率，试求出的递推公式；（3）利用这种方法生成数列，满足：①，，；②当出现“”时，操作停止，求和至多相差一项的概率（当时，）.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由条件确定满足条件的数列的总个数，再求后三项中每一项都不小于前一项的数列的个数，结合古典概型概率公式求结论；（2）考虑第次，第次，第次的取值情况，结合概率乘法公式及加法公式求解；（3）先求数列，第时才出现的概率，再结合概率公式求和至多相差一项的概率.第19页/共20页【小问1详解】满足条件的数列共有个，从中任选个数（允