高考备考资料之数学人教A版全国用课件63等比数列及其前n项和

§6.3等比数列及其前n项和第六章数列基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.等比数列的定义一般地，如果一个数列__________________________________________________________________________________________________________________________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，通常用字母

表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________________________________________________________.知识梳理从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比qa1·qn－1(a1≠0，q≠0)3.等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，

，

，G＝

，称G为a，b的等比中项.G2＝ab4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·

(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，

，{an·bn}，

仍是等比数列.qn－mak·al＝am·an5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为

.qn等比数列{an}的单调性【知识拓展】(4)当q<0时，{an}为摆动数列.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(

)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(

)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(

)基础自测123456×××(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.(

)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝

.(

)(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(

)123456×××题组二教材改编2.[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝

，则公比q＝______.答案解析1234563.[P54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.答案123456解析设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.解析27,81题组三易错自纠4.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则

的值为________.答案123456解析解析∵1，a1，a2,4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则

＝________.解析答案123456解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，－116.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB).解析答案123456解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共复制了16次.∴所需时间为16×3＝48(分钟).48题型分类深度剖析解析答案题型一等比数列基本量的运算自主演练解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，√解析答案2n－1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.思维升华典例(2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；题型二等比数列的判定与证明师生共研证明证明

由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.解答(2)求数列{an}的通项公式.解

由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，故an＝(3n－1)·2n－2.若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式.引申探究解答解

由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，

(*)又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，∴当n＝1时(*)式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.思维升华跟踪训练

(2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；证明证明

由题意得a1＝S1＝1＋λa1，由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，解答解得λ＝－1.1.(2017·郑州三模)已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为A.2 B.4C.8 D.16题型三等比数列性质的应用自主演练解析答案√2.(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于A.40 B.60C.32 D.50解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.解析答案√思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.典例(12分)已知首项为

的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；分类讨论思想在等比数列中的应用思想方法思想方法指导思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.规范解答规范解答(1)解

设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，课时作业1.(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则

等于A.－3 B.5C.－31 D.33基础保分练12345678910111213141516答案解析√解析设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.2.(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，解得a1＝－1，故选B.3.(2017·张掖市一诊)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则

的值为A.2 B.4C.8 D.16√解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415164.(2017·山西太原三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是A.Sn＝2Tn

B.Tn＝2bn＋1C.Tn>an

D.Tn<bn＋1√12345678910111213141516解析由题意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an＝3×2n－1，设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，当n＝1时，b1＋b1q＝3，当n＝2时，b1q＋b1q2＝6，解得b1＝1，q＝2，数列{bn}的通项公式bn＝2n－1，由等比数列求和公式有：Tn＝2n－1，观察所给的选项：Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn<an，Tn<bn＋1.5.(2017·广元模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于A.5 B.9C.log345 D.10解析答案12345678910111213141516√解析由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.6.(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A.192里

B.96里

C.48里

D.24里√解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516即第二天走了96里，故选B.解析答案123456789101112131415167.已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则a3＝_____.4解析S4－S2＝a3＋a4＝12，S2＝a1＋a2＝3，∴a3＋a4＝a3(1＋q)＝3a3＝12，a3＝4.解析答案123456789101112131415168.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.4解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4，得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，a6＝a2q4＝1×22＝4.解析答案123456789101112131415169.已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________.2n－11234567891011121314151610.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵an＋Sn＝1，

①∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，

②解答1234567891011121314151611.(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，

(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；解答12345678910111213141516(2)求{an}的通项公式.2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因为{an}的各项都为正数，所以an＋1≠0，12.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝

，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；解答1234567891011121314151612345678910111213141516∵bn＝a2n＋a2n－1，12345678910111213141516解答12345678910111213141516(2)求T2n.∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)13.(2017·新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝_____________.技能提升练解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，答案解析1234567891011121314151614.(2018·徐州质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝

(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝____________.解析由题意，得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…