(完整版)现代设计方法基础-2有限元法简介

第一部分有限元法有限元法简介1.1有限元法国内外发展概况1.2有限元法的特点1.3有限元法的应用

1.4有限元法的基本理论1.1有限元法国内外发展概况有限元法的定义（FEM）有限元法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而整体逼近的研究思想求解物理问题。有限元法的基本思想1）离散化——将物体或解域离散为有限个互不重叠仅通过节点相互连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件。2）分片近似——在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数。3）求解方程。基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组以变量或其导数的节点为未知量的代数方程组，进而借助矩阵和计算机求解代数方程组得到原问题的近似解。有限元法的历史20世纪40年代，1943年R.Courant求解扭转问题1956年波音公司的TurnerClough等人分析飞机结构1960年Clough题为“平面应力分析的有限元法”中使用有限元法（theFiniteElementMethod）1963年，J.F.Bessling，Melosh和Jones等人证明了有限元是基于变分原理的里兹法的另一种形式，它可以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。60年代后期，J.T.Oden等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式，并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。1972年，J.T.Oden出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著《非线性连续体的有限元法》。在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交单元的概念。1967年，O.C.Zienkiewice和Y.K.Cheung(张佑启)出版了第一本有关有限元分析的专著《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。近几十年来，有限元法得到了迅速发展，已出现多种新型单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。自动网格划分和自适应分析技术的采用也大大加强了有限元法的解题能力。有限元法的通用性及其在科学研究和工程分析中的作用和重要地位，众多著名公司更是投入巨资有限元分析软件，推导了有限元分析软件的巨大发展。目前在市场上得到认可的国际知名的有限元分析通用软件有ANSYS、MSC/NATRAN、MSC/MARC、ADINA、ABAQUS、ALGOR、COSMOS等，还有一些适用特殊行业的专用软件，如DEFORM、AUTOFORM、LS-DYNA、VPG、ROMAX等。1.3有限元的特点有限元法经过几十年的发展，已成为一种通用的数值计算方法。它具有鲜明的特点，具体表现在以下方面：基本思想简单朴素，概念清晰易理解有限元法的基本思想就是集合离散和分片插值，思想朴素简单，概念清晰容易理解。用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背景。厚实的理论基础，数值计算稳定、高效有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考相关资料。边界适用性强，精度可控和早期的其他数值计算方法（如差分法）相比，有限元法具有更好的边界适用性。由于有限元法的单元不限于均匀规则单元，单元形状有一定的任意性，单元大小可以不同，且单元边界可以是曲线或曲面，不同形状单元可以进行组合，所以，有限元法可以处理任意复杂边界的结构。同时，由于有限元法的单元可以通过增加插值函数的阶次来提高有限元解得精度，避免了里兹法在整个计算区域构造逼近函数，难以满足局部区域的计算精度的问题。因此，理论上讲，有限元法可通过选择单元插值函数的阶次和单元数目来控制计算精度。计算格式规范，易于程序化有限元法计算格式规范，用矩阵表达，易于计算机程序化。计算方法通用，应用范围广有限元法是一种通用的数值计算方法，应用范围广，不仅能分析具有复杂边界条件、线性和非线性、非均质材料、动力学等结构问题，还可以推广到解答数学中的其他边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题。理论上讲，只要是用微分方程表示的物理问题，都可用有限元法进行求解。1.3有限元法的应用1.3.1有限元法的应用范围桁架：鸟巢，长333米，宽298米，用掉约11万吨的钢材，能提供9.1万个座位，总投资约35亿元。鸟巢是一个大跨度的曲线结构，有大量的曲线箱形结构，内部结构相当复杂，其三维扭曲像麻花一样的加工，在建造后的沉降、变形、吊装等问题逐步解决，相关施工技术难题还被列为科技部重点攻关项目。

在桁架柱内柱受力最大的部位，为了有效控制构件的最大壁厚，减小焊接工作量，使连接构造比较合理，在设计中采用了高强度的Q460钢材。这是国内在建筑结构上首次使用Q460规格的钢材；而这次使用的钢板厚度达到110毫米，是以前绝无仅有的，在国家标准中，Q460的最大厚度也只是100毫米。国家大剧院，主体钢结构上部是空间网壳结构!世界最大穹顶。国家大剧院整个壳体钢结构重达6475吨，东西向长轴跨度212.2米，是目前世界上最大的穹顶。北京最深建筑国家大剧院地下最深处为-32.5米，相当于往地下挖了10层楼的深度，成为北京最深的建筑。每月电费就需要100万元人民币，可建16所希望小学。国家大剧院这一项建设投入比“希望工程”15年的募资还多。国家大剧院总投资3.24亿美元,可以建5473×2＝10496所希望小学。塔科马海峡桥(TheTacomaNarrowsBridge)1940年11月7日，美国华盛顿州；主跨853m，全长1524m，位居世界第三；刚建成四个月；在微风（风速19m/s，据说可抗60m/s）作用下；经过剧烈扭曲震荡后，吊索崩断，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中······塔科马海峡桥在重力作用下的变形图（mm）塔科马海峡桥在重力作用下的应力（Mpa）板壳-手机有限元分析

板壳-手机有限元分析

板壳轻卡车架有限元分析正常扭转制动

正常工况下轻卡车架等效应力图（Mpa）正常工况下轻卡车架变形图（mm）车架前轮悬空的VonMises应力图（Mpa）车架后轮抬高时的Mises应力图（Mpa）车架制动时的Mises应力图（Mpa）自卸车有限元分析正常动载时钢板弹簧等效应力图正常动载时钢板弹簧变形图（mm）紧急制动时钢板弹簧等效应力图急转弯时钢板弹簧等效应力图组合工况时钢板弹簧等效应力图实体单元——轮毂疲劳寿命有限元分析实体单元——

世贸大楼分析实体单元——华晨金杯底盘强度分析实体单元——电饭煲的热分析实体单元——发动机内的热固耦合分析实体单元——轮间差速器有限元分析轮边减速器有限元分析单倍载荷下驱动桥的变形图（mm）单倍载荷下驱动桥的应力图（Mpa）装载机有限元分析铲斗的等效应力图（Mpa）前车架的等效应力图（Mpa）大摇臂的等效应力图（Mpa）连杆的等效应力图（Mpa）聚升臂的等效应力图（Mpa）后车架的等效应力图（Mpa）副车架的等效应力图（Mpa）装载机的第一阶振型装载机的第二阶振型装载机的第三阶振型驾驶室侧推侧撞撞假人飞机着陆火车碰撞两火车相撞两火车相撞轿车侧碰轿车撞人碰撞时安全气囊打开C-NCAP试验评分项目（满分48分，每项16分）

附加评分项目（满分3分）前排安全带提醒装置（1.5分）侧气囊和气帘（1分）

ISOFIX装置（0.5分）总分星级≥50分5+（★★★★★☆）≥45且＜50分5（★★★★★）≥40且＜45分4（★★★★）≥30且＜40分3（★★★）≥15且＜30分2（★★）＜15分1（★）碰撞试验研究领域静平衡问题特征值问题动态问题结构力学和宇航工程学杆系、板壳结构的分析；复杂或组合结构的分析；二维和三维应力分析结构稳定性分析；结构的固有频率和振型；线性粘弹性阻尼应力波的传播；动态响应；耦合热弹性力学与热粘弹性力学土力学、基础工程学二维和三维应力分析；填筑和开挖问题；边坡稳定性问题；土壤与结构的相互作用；隧道涵洞、大坝等分析；流体在土壤和岩石中渗流土壤—结构组合物的固定频率和振型土壤与岩石中的非定常渗流；应力波在土壤和岩石中的传播；土壤与结构的动态相互作用热传导固体和流体中的稳态温度分布固体和流体的瞬态热流流体动力学、水利工程学和水源学流体的势流；流体的粘性流动；多孔介质和蓄水层中的定常渗流湖泊和港湾的波动；容器中流体的晃荡流体的非定常流动；波的传播；多孔介质和蓄水层中的非定常渗流电磁学静态电磁场分析时变、高频电磁场分析生物力学工程问题人体的脊柱、头骨、骨关节、牙移植等应力分析响应分析1.4.2有限元法在产品开发中的应用理论分析、科学实验、科学计算三大科学研究方法工程领域:有限元分析

1990年10月,美国波音公司开始在计算机上对新型客机B-777进行“无纸设计”，仅用了三年半的时间一个新产品的问题有60%以上可以在设计阶段消除有限元法（FiniteElementMethod，简称：FEM）计算原理、软件、硬件相互关联、缺一不可目前国际上有90%的机械产品和装备都要采用FEM进行分析，进而进行设计修改和优化。什么是计算机辅助工程（CAE）CAE=在产品的研发过程中，利用计算机进行建模及性能仿真分析性能仿真的内容涉及产品（或系统）的力学性能（变形，应力）、热学性能、流动性能、振动特性和噪声控制等可替代大多数昂贵而费时的物理样机实验，即用数字化样机取代传统的物理样机实验广泛应用于各工业领域为什么要采用CAE波音777的研发过程中采用CAE数字化样机技术，节省了大量物理样机试飞次数，仅一次试飞即获得成功，每次物理样机实验需花费1亿美元CAE技术在汽车工业中的应用，使新车开发周期由原来的5~6年缩减到现在的1~2年为什么要采用CAE美国NASA的喷气推进实验室（JPL）应用CAE技术成功地实现了火星探测器“勇气号”、“机遇号”在火星上的软着陆仿真分析。仿真结果预测到由于制动火箭和火星风的相互作用，使探测器在着陆时可能出现翻滚，从而改进了技术方案，保证了登陆成功在机械工程中的应用在土木工程中的应用在航空工程中的应用在毕业设计中的应用—有限元分析在毕业设计中的应用—虚拟样机设计先进的产品研发系统流程方案设计

建模物理建模，数学建模，计算建模

仿真计算机仿真，解析方法，实验方法

结果可视化照片，录像带，计算机图形，虚拟现实

详细设计

物理样机制造

物理样机测试

批量生产

虚拟样机分析

CAE方法体系机械系统物理模型：结构模型，机构模型数学模型：偏微分方程，常微分方程数学模型：物体运动：常微分方程，铰约束：代数方程解析法：材料力学，弹性力学等数值法解析法：理论力学，机械原理等数值法有限差分法FDM有限元法FEM边界元法BEM有限体积法FVM无网格法Meshfree多体动力学或虚拟样机结构模型机构模型CAE方法体系—数值分析工具箱

“如果仅有一把锤子，解决问题的方法只能是用钉子”

有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各个学科及各个工程领域。技术最成熟，商业软件十分丰富。如ANSYS,NASTRAN,MAC,LS-DYNA,ABAQUS,ADINA…CAE方法体系—数值分析工具箱

有限差分法：最早的数值分析方法，使用结构化网格，不需要域积分，建模、计算简单。适于分析几何形状简单的问题，尤其是流动性问题。商业软件很少。CAE方法体系—数值分析工具箱

有限体积法：一种特殊形式的有限元法（欧拉结构化网格）。多用于分析流体动力学问题。被大多数商业流体分析软件采用，如FLUENT,CFX…CAE方法体系—数值分析工具箱

边界元法：仅在分析域的边界上划分网格，适于分析无界、连续介质问题，如声学问题和波的传播问题。商业软件很少。CAE方法体系—数值分析工具箱

无网格法：是一种最新的数值分析方法。多用于分析受网格划分的限制，采用有限元法而不易解决的问题。如大变形、裂纹扩展、爆炸等，商业软件很少。CAE方法体系—数值分析工具箱

基于多体系统动力学的虚拟样机技术：针对复杂机械系统的整机性能优化技术。所建立的复杂机械系统包括机-液-控的耦合。商业分析软件包括ADAMS,SIMPACK,DADS…与CAE相关的课程材料力学，弹性力学，流体力学，热力学等理论力学，机械原理，机械振动计算机三维造型（SolidEdge,Pro/E,SolidWork,UG等软件的使用）有限元分析（FEM）(有限元理论及软件的使用如ANSYS,ABAQUS,LS-DYNA…)虚拟样机理论及应用（多体系统动力学理论及虚拟样机软件的使用如ADAMS）无网格法理论及应用CAE应用现状现有先进产品开发技术包括:CAD/CAE/CAM/PLM(ProductLifecyeleManagement)CAD已普及（要求每个工程师必须掌握）CAM/PLM仍处于研发阶段CAE在发达国家及一些大公司中利用CAE技术优化产品设计以降低成本，缩短研发周期已达80%~95%CAE的应用已含盖机械工程的各个方面（包括运动分析，动力学分析，强度及稳定性分析，液压传动分析，振动和噪声的控制等）CAE方面的专业人才短缺（包括发达国家）CAE的未来CAD/CAE/CAM/PLM的软件被广泛应用，其价格低廉（“CAE计算器”）每个工程师都具备CAE的知识和能力大规模、多尺度、多场耦合分析，虚拟工程CAE全球化（如中国、印度的工程师承接美国的CAE项目）在线分析：基于新一代的高速因特网实现软件共享，协同分析打好基础，做好准备，适应未来发展的需要问题1：设计一个构件，主要考虑哪些力学性能？1、强度脆性材料断裂塑性材料永久变形2、刚度达到许用变形3、稳定性受压构件失去平衡4、振动特性共振、响应过大5、疲劳特性材料交变载荷下突然断裂此外：碰撞、可靠性、蠕变等等。传统结构设计流程DesignManufactureTestRedesignCAE(ComputerAidedEngineering)Design(CAD)VirtualTest(CAE)RedesignManufactureTestRedesign有限元法是CAE的核心部分。现代产品设计流程美国科学院技术委员会资料CAE技术可提高产品质量5-15倍、增加材料利用率25%、降低工程技术成本13%-30%、降低人工成本5%-20%、缩短产品设计试制周期30%-60%、增加分析问题广度和深度的能力3-3.5倍等。

有限元法课程重要性1、机械制造业中新产品开发和设计70%以上采用有限元方法。2、机械工程、车辆工程、土木工程、航空航天、材料加工工程90%以上的论文采用有限元法作为分析工具3、有限元方法在80%以上的论文中起到决定性的作用。

2025/3/11112时间必须降低成本必须降低质量必须提高Ｑ有限元方法的使用问题2：产品开发的目的113有限元方法投入的目的对于实际结构存在的情况的预测对现有部件的补充检验按照目标优化结构（例如：减轻质量）114预测的效果减少耗资高的实验及早发现开发中的错误使用寿命计算成为可能115检验进行强度检验现象说服性验证实验116优化的效果节省原料．质量和成本操作性改善降低生产时间检验其它可能的原料合适性立体车库变形应力彩图工程中的应用立体车库变形位移图奥运鸟巢的有限元模型大型货轮的结构分析汽车相撞的动态分析122

定义：是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。什么是有限元（ＦＥＭ）Finite-Element-Method2025/3/11123历史发展（１）1941为了解决简单的棒和圆盘的问题Hrennikoff发明了晶格式的方法1954

Argyris继续开发，由Ostenfeld使用的矩阵公式；Clough,Turner,MartinandTopp1956Clough创造了“有限元方法”的概念2025/3/11124历史发展（２）1963举办第一个计算机的会议1967第一本由Zienkiewicz/Cheung编著的“有限元方法”的教学书到今天通个计算机工业的发展，有限元方法的普及和简化，新的运用领域的开发，使有限元方法取得巨大的迅速发展未来主要开发一体化的方案

CAD+FEM=CAE有限元法的产生与基本思想数学模型：对物理问题的数学描述。微分方程边值问题：由微分方程和相应边界条件构成的定解问题。126求解方法：1.解析法-〉精确解2.数值法-〉近似解

a.差分法

b.变分法

c.有限元法

128有限元模型真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义129自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构 位移热

温度电 电位流体压力磁 磁位

方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ130节点和单元节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷131节点和单元(续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递

...AB........AB...1node2nodes132节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点

单元类型变化的。J