《浅析泰勒公式的应用5300字（论文）》

PAGE浅析泰勒公式的应用摘要公式是数学分析中的一个重要的内容，本文主要介绍了公式的基本内容，并着重从8个方面介绍了公式在数学学科中的一些应用：应用公式求函数的极限、判断级数和广义积分的敛散性、进行近似计算和误差估计、证明不等式、解行列式、证明微分中值问题、证明根的存在性和唯一性、求高阶导数等。通过本文的阐述，会给大家提供一个快捷的方式去学习、理解、掌握泰勒公式及其应用。关键词：公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用目录TOC\o"1-3"\h\u13958引言 16341Taylor公式的概述 110591.1Taylor公式的发展 1322651.2Taylor公式余项的类型 4177661.3用完全归纳法证明Taylor公式 5315082应用Taylor公式求极限 6301832.1解题思想 6133812.2例题分析 695612.2.1例题1 6254772.2.2例题2 7294303应用Taylor公式判断级数和广义积分的敛散性 7113233.1解题思想 7146743.2例题分析 7226003.2.1例题1 756083.2.2例题2 815204应用Taylor公式进行近似计算和误差估计 945664.1解题思想 956574.2例题分析 975834.2.1例题1 9259964.2.2例题2 9245675应用Taylor公式证明不等式 10289465.1例题分析 1061075.1.1例题1 10173175.1.2例题2 1152546应用Taylor公式证明根的存在性和唯一性 11181966.1思路分析 1166656.2例题分析 1148006.2.1例题1 11326456.2.2例题2 13290327应用Taylor公式解行列式 13318367.1解题思路 13240857.2例题分析 139877.2.1例题1 13311428应用Taylor公式证明微分中值问题 15192318.1例题分析 15178118.1.1例题1 15131319应用Taylor公式求高阶导数 1655909.1例题分析 16251629.1.1例题1 163152410总结 1626279参考文献 18引言随着科学技术的进步和发展，在许多领域，利用计算机进行近似计算已经成为一个非常重要的环节，而接下来本论文介绍的正是在近似计算方面起着很大的作用的公式，公式是我们大学数学的一个热点问题，虽然它在书中描述的篇幅不多，但是它在数学分析中起着重要的作用，它可以广泛地应用于各种数学问题，关于它的研究有重要的现实意义，学好公式及其应用将会为我们打开一个研究数学问题的新世界，如果我们能够将公式的计算方法与计算机紧密结合的话，我们做研究将会达到事半功倍的效果。因此，学会如何应用公式来解决问题就显得尤为重要了。1Taylor公式的概述在数学中，公式是一个很强大的公式，它的本质是用多项式来逼近一个比较复杂的函数，如果函数存在连续的导函数，公式就可以用函数在某处的各阶导数值做系数建构一个多项式来近似表达该函数。公式还给出了我们建构的多项式和实际函数之间的偏差。它集中体现了“逼近法”的思想，在近似计算上有特殊的优势，我们还可以利用它求极限、判断级数收敛性和发散性、证明不等式、证明根的存在性和唯一性等。Taylor公式的发展当我们刚开始学习公式的时候，我们会觉得它有一些复杂，不太好理解，但是如果我们去挖掘它的本质，我们会发现它其实是一种让我们在实际问题中，利用多项式函数去逼近一个光滑函数，并得到误差的方法。那么这个伟大的公式是怎样得出的呢？我们在遇到一些复杂的数学问题时，如何去运用它呢？首先介绍一下牛顿插值法的定义：当我们不知道函数具体的表达式，只知道某些点的位置时，我们可以使用代数插值方法给出函数的近似形式。接下来我们把牛顿插值公式和泰勒公式的图像做一个比较。如下图1所示：图1在图1的图像中，取上两个点，对这两个点进行插值，对进行一阶泰勒展开。图2在图2的图像中，很显然，我们可以看出选取的这两个点越接近，泰勒展开与插值越重合。图3在图3的图像中，取上三个等距的点，分别为，，，对这三个点进行插值，对进行二阶泰勒展开。图4在图4的图像中，很显然，我们可以看出三个点越接近，泰勒展开与插值越重合。根据以上的观察，我们可以得到结论：（1）点插值对应泰勒公式的阶展开（2）插值点之间距离越近，插值曲线和泰勒公式越接近，所以我们可以说插值曲线的极限形式就是泰勒公式。所以，泰勒公式是牛顿插值法的极限形式，极限是通过不断缩小插值点的距离来表示的，从而得到泰勒公式。首先，设是一个函数，它在的值已知（和之前的相比，相当于每个点都是等距离间隔的，间隔），令：，也称为一阶差分，，，进一步令：，也称为二阶差分，也称为三阶差分，做了上面的假设之后，我们来看看会变成什么样子：而会变成：同样的就变成了：泰勒断言，当时（相当于把所有点都包含进来进行插值）：（时有）以此类推，大名鼎鼎的公式就出现了：1.2Taylor公式余项的类型公式余项的类型主要有两种：（1）：该Taylor公式的得来是从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的公式。它只需要在某点处有阶导函数就行，它是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶无穷小。（2）：该公式是一个定量的余项，必须在某个区间内存在连续的导函数，有利于计算和估计逼近误差。除此之外，有当的特殊形式1.3用完全归纳法证明Taylor公式设的阶导数在上连续，的阶导数在内存在。，有证明当时，上式显然成立。假定当时成立，现在需要证明当时也成立。假设，是待定的。设由罗尔定理：存在（不妨设）使得，得 考虑到，由完全归纳法的假定当时，则有 联合式子和，记，我们得到2应用Taylor公式求极限2.1解题思想极限理论是数学分析的基础，而求极限的方法很多，题型灵活多变，这也就要求我们需要选用合适的方法求极限。当一个公式涉及到比较复杂的函数（例如复合函数）或更多类型时，使用洛必达法则将很难，求导过程也会越来越烦，需要时间，容易失误，甚至无法求解，使用展开法可以起到很好的作用，因为展开可以将各种函数转换为多项式这种形式，简化运算，在实际应用中考虑到相关函数要展开到的多少次幂，因此，要具体问题具体分析，下面我们举几个例子，用公式的方法求解。2.2例题分析2.2.1例题1求极限思路解析：当时，该极限是型的式子，它满足洛必达法则，所以我们可以选择用这种方法，但是若我们直接用洛必达法则来求极限，需要多次求导，计算复杂，耗费时间耗费精力，而且容易出现错误。因此，我们解这道题目最好的方法就是用泰勒公式展开，先要把分母展开，这样我们就能够确定分子中的函数作展开时应该展到哪一项。解：在处，由佩亚诺型余项的公式展开得因为,，则分母变形做等价无穷小替换又因为所以综上所述，有2.2.2例题2求极限解：当时，有，所以我们只需要作展开时展开到项。所以3应用Taylor公式判断级数和广义积分的敛散性3.1解题思想将复杂问题简单化，当级数的表达项不是由同一种类型函数组成时，运用一般的方法判断级数敛散性会比较麻烦，我们可以选用公式统一级数的一般表达式，并化为最简形式，利用一些放缩等技巧来判断级数的收敛性和发散性。同理，在选用公式判断广义积分的敛散性时，我们可以先把被积函数化为最简形式，进而判断它的敛散性。3.2例题分析3.2.1例题1讨论级数的敛散性思路分析：首先我们来分析一下题目，我们可以看出直接来判断该级数是正向级数还是非正向级数是比较困难的，所以我们不能找到合适的判断敛散性的方法，然而我们可以看出题目中，用公式展开为的幂的形式，开方后正好与呼应，从而更加容易判断敛散性。解：因为所以并且所以该级数是正项级数。又因为所以因为收敛，由正项级数比较判别法可以得出原级数收敛。3.2.2例题2判断无穷积分的敛散性。解：由公式可知，，因此，又因为，所以，原积分收敛。4应用Taylor公式进行近似计算和误差估计4.1解题思想公式集中体现了逼近的思想，所以它可以用来进行近似计算，我们可以根据公式的余数准确的计算出误差，所以我们选用带有拉格朗日余项的公式展开。由拉格朗日余项得知，可以假设，为一个定数，那么它的余项就不会超过，所以我们根据这个式子可以误差估计，并进行近似计算。4.2例题分析4.2.1例题1计算的值，并让其误差不大于.解：令，由泰勒公式展开得到：当时，有所以因此除去从而求得的近似值为：4.2.2例题2计算的值,取，误差不超过多少？解：令，得故，当时，有即所以，误差不超过。5应用Taylor公式证明不等式5.1例题分析5.1.1例题1证明不等式，首先我们先对题目进行一下简单的分析：我们可以看出不等式的左边是一元二次三项式，而右边是无理函数，两边不能直接比较大小，这时可将在处用公式展开，然后再与左边比较，进而判断两者的大小关系。证明：设，则，所以，当时，余项，所以，5.1.2例题2证明：当时，有不等式解：设，利用泰勒公式展开，可得以及从而即6应用Taylor公式证明根的存在性和唯一性6.1思路分析根的存在性的常用证明思路：零点定理（直接验证函数满足零点定理的条件）、罗尔定理（验证一个原函数满足罗尔定理的条件）根的唯一性的常用证明思路：单调性、反证法6.2例题分析6.2.1例题1设函数在上存在二阶导数，，其中为常数。证明：(1)存在，使；(2)方程在内有唯一实根。证明(1)：因为在上存在二阶导数，即在上连续，且在上存在，所以根据公式我们可以知道：由于，所以并且有由极限的保号性，则存在，当时，所以根据导数的定义有由极限的保号性，存在，使得所以所以由零点定理，在上，可知存在，使得。所以在上用罗尔定理，则有，使得假设除了外函数还有一个非零的零点，则有为函数的零点，则两两使用罗尔定理可得两个一阶导数等于零的点，对一阶导数结果再使用罗尔定理，可得存在二阶导数等于0的点，所以与二阶导数小于0矛盾，因此有且只有一个非零的零点。证明(2)：首先我们先证明根的唯一性：因为，所以曲线在上是严格凸的，又由可知，为在内的唯一的驻点，且取最大值。并且当时，严格单调递增，；当时，严格单调递减，于是在内最多有一个根，且若存在只能在内。接下来我们来证明根的存在性：在处的一阶泰勒公式为取有由零点定理，存在，使，即方程在内有唯一的实根。6.2.2例题2设在上二阶可导，且，对，证明：在上存在唯一实根。分析：题目中的的是抽象的函数，我们不知道具体的表达式，如果我们直接讨论的根会很难，由题目中所给的已知条件，我们可以先考虑将在点处一阶泰勒展开，然后设法利用介值定理进行证明。证明：因为，所以单调减少，又因为，因此当时，有，所以在上严格单调递减，在点处一阶泰勒展开有，根据题目中给的已知信息，，于是有，因此一定会存在，使得，又因为，在上我们可以运用连续函数的介值定理，即至少存在，使得，由的严格单调性知唯一，即方程存在唯一的实根。7应用Taylor公式解行列式7.1解题思路如果我们把一个行列式看作的函数，记作，按公式在处展开，用该方法可求得一些行列式的值。7.2例题分析7.2.1例题1求阶行列式我们先对题目进行一下简单的分析：我们可以将行列式看作为关于的函数，根据公式，按公式在处的泰勒展开,可求得该行列式的值。解：记，按公式在处展开： 所以由上面的式子我们可以得到，时都成立。根据行列式的求导法则，有于是在处的各阶导数为把上面求得的导数带入中，有若，则有，若，则有8应用Taylor公式证明微分中值问题8.1例题分析8.1.1例题1设函数在上有三阶连续导数，，证明在内至少存在一点，使得。思路分析：要证明，可以对使用罗尔中值定理，可是题目中给的有关于条件不够，并且给出的三个函数值一个比一个大，基本不能对使用罗尔定理，导致的结果就是不能得到有关于的结论。所以我们必须找到和之间的联系，因此，我们需要使用泰勒公式这个有利的工具啦。证明：在点处用带有拉格朗日余项的泰勒公式展开得：（介于0与之间）令，则 令，则 将式和式相加得到：即因为在上连续，根据最值定理得，在上必有最大值和最小值，则,,从而。由介值定理可知，存在，使。由罗尔定理可知，，使。9应用Taylor公式求高阶导数9.1例题分析9.1.1例题1求解：由，得根据的性质，得由题意得即所以10总结本文主要通过对例题的讲解来阐明泰勒公式及其应用在解决数学问题的重要作用，通过对例题的讲解，总结出泰勒公式在每一个具体应用中的解题思路，这有利于我们以后更好地解决泰勒公式的问题。通过本论文的论述，使我们能够对泰勒公式及其应用有一个总体上的认识，这将有助于我们掌握泰勒公式方面的知识，对于泰勒公式的研究还在继续，我相信通过以后不断的努力，泰勒公式还会发挥出更多的作用。参考文献[1]杨传林．数学分析解题思想与方法[M]．浙江：浙江大学出版社，2008：69.[2]华东师范大学数学科学学院．数学分析第五版（上册）．北京：高等教育出版社，2019：125.[3]陈刚,杨雪,杨利红.关于泰勒公式及其应用的再认识[J].高等数学研究,2017,20(01):38-41.[4]温少挺,阙凤珍.泰勒公式及其应用技巧[J].数学学习与研究,2016(23):35-36.[5]田振明,赵国瑞,崔庆岳.n元泰勒公式及其在多元函数极限中的应用[J].高等数学研究,2017,20(02):26-28.[6]齐成辉.泰勒公式的应用[J].内江科技,2018,39(12):34-35.[7