贵州省安顺市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

全市普通高中2024~2025学年度第一学期期末教学质量监测考试高一数学试题注意事项：1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合B，结合韦恩图求出即可得解.【详解】由，得或，则，，由韦恩图知，阴影部分对应的集合表示为.故选：A2.已知角的终边上有一点，，则的值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求解即得.【详解】依题意，.故选：C.3.“”是“函数存在零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数的图象性质判断即可.【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解，而，因此，反之当时，有解，所以“”是“函数存在零点”的充分必要条件.故选：C4.下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】A【解析】【分析】对选项A和B，结合各个选项的条件，利用作差法，即可求解；对于选项C和D，通过取特殊，即可求解.【详解】对于A，由，又，，则，得到，即，故A正确；对于B，因为，又，，则，故，即B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选：A.5.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本函数的单调性，得到，，即可求解.【详解】因为在区间上单调递增，又，所以，又易知是减函数，所以，因为在上单调递增，所以，且，则，故选：A.6.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.的定义域是C.在区间上单调递增D.不等式的解集是，【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用正切函数图象、性质逐项判断.【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误；对于B，由，得，所以函数定义域为，B错误；对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误；对于D，不等式，则，解得，所以不等式的解集是，D正确.故选：D7.已知为正实数且，则的最小值为（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D8.某同学在研究高一数学问题时，给出下列四个问题：（1）对于，都有在区间上恒成立，则函数在区间上是增函数；（2）函数在区间上的最大值为，最小值为，则；（3）从午夜零时算起，时钟的时针和分针一天内会重复的次数是次；（4）函数是偶函数，且在区间上单调递减.你认为正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对（1），根据条件可得在上恒成立，即可求解；对（2），构造函数，可得是奇函数，由奇函数的性质，即可求解；对（3），设经过分钟，分针与时针重合，两针重合的次数为，根据题意有，进而可得，即可求解；对于（4），利用奇偶函数的判断方法及复合函数单调性的判断方法，即可求解.【详解】对于（1），因为对于，都有在区间上恒成立，则，根据单调性的定义，若时，，所以函数在区间上是增函数，故（1）正确，对于（2），由，得到，令，因为，所以的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，又函数在区间上的最大值为，最小值为，所以在区间上，，又，得到，所以（2）正确，对于（3），设经过分钟，分针与时针重合，两针重合的次数为，因为分针每分钟旋转的角度为，时针每分钟旋转的角度为，所以，得到，又时针旋转一天所需的时间为，所以，得到，故（3）错误，对于（4），易知的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，又当时，，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，由复合函数的单调性知，在区间上单调递减，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故（4）正确，故选：C.【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）和第（4），对于第（2），通过构造函数，利用函数的奇偶性求解；对于第（4），将问题转化成复合函数的单调性来处理，再利用三函数的单调性，即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数与函数是同一个函数C.若幂函数在区间上单调递减，则D.函数的零点是【答案】BC【解析】【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解.【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误，对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同，故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，所以，得到，故选项C正确，对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，故选：BC.10.下列选项正确的是（）A.函数是偶函数B.函数的值域为C.若函数的值域为，则实数的取值范围D.若，，则【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦函数的奇偶性判定A；利用同角三角函数关系和配方法求值域判定B；利用对数函数的性质，结合一次函数，二次函数的性质求实数a函的范围，判定C;利用两角和的正弦公式化简整理已知等式，结合给定范围先求得的值，再利用两角差的正弦公式化简变化，进而利用特殊角的三角函数求值，即可判定D.【详解】对于A：，定义域，满足偶函数的定义，故A正确.对于B：，由于的值域为,所以原函数的值域为，故B正确.对于C：若函数的值域为，则函数的值域包含所有正数.当时满足题意；当时，有，解得，综上可知，实数a的取值范围是，故C正确.对于D:因为,若，则，与矛盾，故D错误.故选：ABC11.若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（）A. B.C.的一条对称轴为 D.【答案】ACD【解析】【分析】由函数为偶函数，函数fx−1的图象关于点成中心对称，求出是周期为4函数，利用赋值法、周期性逐项判断可得答案.【详解】因为函数为偶函数，所以，故，所以是图象的一条对称轴，所以，又函数fx−1的图象关于点成中心对称，因为函数fx−1的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，所以函数关于点2,3成中心对称，故，所以，故且，所以，所以，所以，故，所以为周期函数，且周期为4，对于A，由、得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，因为，所以的一条对称轴为，故C正确；对于D，因为，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用已知条件判断出是周期为4的函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“数折聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知D为的中点，，，则此扇面（扇环）的面积是_______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解.【详解】依题意，此扇面面积为.故答案为：13.若，则________.【答案】【解析】【分析】通过令，得，再结合条件，即可求解.【详解】令，则，所以，得到，故答案为：.14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______.【答案】①.1②.【解析】【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和.【详解】依题意，，因此；，当时，，则，解得或；当时，若，则，，由，得，解得；若，则，，由，得，解得或，所以函数的所有零点之和为.故答案为：1；【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求值：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用指、对数的运算，即可求解；（2）利用诱导公式化简得，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.【小问1详解】因为【小问2详解】因为，又，所以.16.已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）若，求函数的定义域及实数的取值范围；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由对数函数的定义列出不等式求出集合A，进而求出的定义域；解含参的不等式求出集合B，再利用集合的包含关系求出范围.（2）求出函数的单调区间，利用集合的包含关系求出范围.【小问1详解】函数中，，解得或，因此，函数中，，即，解得，因此，由或，解得或，所以函数定义域为；由，得，则，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，函数的递增区间为，递减区间为，依题意，，则且，解得，所以实数的取值范围是.17.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若时，的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件得到，再利用的单调区间，即可求解；（2）令，得到，利用的性质，求出的取值范围，结合条件，即可求解.【小问1详解】因为，由，得到，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】因为，令，则，因为，则，所以，则，又因为的最小值为，所以，得到.18.正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?【答案】（1）选择，（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为【解析】【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式；（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】对于，当时，它无意义，所以不合题意，对于，易知是减函数，由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意，所以选，由表中数据可得，解得，，所以当时，.【小问2详解】国道路段长为，所用时间为，所耗电量为，因为，当时，；高速路段长为，所用时间为，所耗电量为，当且仅当即时等号成立.所以：故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.19.已知定义在上的函数（且）.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若，函数，，求函数的值域；（3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断并证明.（2）求出值，判断的单调性，并求出时的范围，再变形并借助二次函数求出值域.（3）化简函数并探讨其性质，进而脱去函数不等