广东省四校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（含答案）

姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.）1．下列求导结果正确的是（）A．logax'C．ln2x'=2．甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（）A．12 B．24 C．64 D．813．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（）A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%4．(x2−A．80 B．40 C．10 D．−405．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（）A．35 B．115 C．7156．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元．销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足y=−16x3+aA．7万斤 B．8万斤 C．9万斤 D．10万斤7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PA|BA．4951000 B．9951000 C．10118．某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（）A．240种 B．120种 C．156种 D．144种二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9．随机变量X的分布列为（）X012Pm1n若E(X)=1，则（）A．n=14 B．D(X)=12 C．10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为82种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11．已知函数fx=xsinx，A．fxB．fxC．在区间π2,π上，D．过0,0作y=fx三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.）12．1+yx(x+y)8的展开式中13．若随机变量X∼Nμ,σ2，且P(X<0)=P(X>4)=0.2，则14．已知函数fx=xex−mx+m2四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）15．已知2x−15（1）求展开式第3项的二项式系数；（2）求a1（3）求a116．已知函数f(x)=x（1）求a的值；（2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值．17．甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节．具体面试方案如下：甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为35（1）设甲答对的问题个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（2）请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大？18．在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；（2）已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）19．已知函数fx（1）讨论fx（2）当a=2时，证明：不等式fx

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、logaB、sin C、ln D、e2x故答案为：A．【分析】利用基本初等初等函数的导数以及复合函数的求导法则逐项计算判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，每人有4种报名方法，根据分步计数原理，可知共有4×4×4=64种不同的报名方法.故答案为：C.【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率为：P=C31故答案为：A.【分析】根据独立重复实验的概率公式求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：由二项式(x2−令10−3r=4，可得r=2，所以展开式中x4的系数为(故答案为：B.【分析】本题考查二项展开式的通项公式.先利用二项展开式的通项公式进行展开可得：Tr+1=(−2)5．【答案】D【解析】【解答】解：记抽取黄球的个数为X，由题意，可得X的取值为1,2，

则P=PX=1故答案为：D．【分析】记抽取黄球的个数为X，由题意可知X的可能取值为1,2，根据超几何分布的概率公式求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：设销售利润为f(x)，

因为f(3)则f(x)所以当x∈(0,8)时，f故f(x)在(所以x=8时，f(故答案为：B．【分析】先由已知求参数a，再利用导数研究单调性，最后确定销售利润最大时每年需种植莲藕的量.7．【答案】C【解析】【解答】解：设事件A为检验结果呈现阳性，事件B为此人患病，因为PABP=4.75%+1−0.05所以PB故答案为：C.【分析】先设事件，利用条件概率和全概率公式求得PAB8．【答案】D【解析】【解答】解：因为负责人甲､乙发言顺序必须相邻，所以将甲乙捆绑看做一个元素，又因为丙不能在第一个与最后一个发言，所以丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有A4故不同的安排方法共有3×48=144种.故答案为：D.【分析】由题意，将甲乙捆绑，再确定丙的位置，排序求解即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意，可得m+n+12=10×m+1×12+2n=1B、D(X)=1C、D(2X+1)=4D(X)=2，故C错误；D、E(2X+1)=2E(X)+1=3，故D正确．故答案为：ABD.

【分析】根据分布列的性质及期望公式列方程组，求出m、n的值，再求出方差，最后利用期望、方差的性质求出E(2X+1)、D(2X+1)即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑，则不同的排法有A4B、若最左端排甲，则有A44=24种排法；

C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有A3D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A5故答案为：ABD.【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.11．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、函数fx=xsinx的定义域为R，定义域关于原点对称，且满足fxB、若存在非零常数T，使得fx+T令x=π2，则π2令x=0，则TsinT=0，因为T≠0，所以sinT=0，即cos若cosT=1，则π2+T=π2，解得T=0，舍去；

若cos所以若存在非零常数T，使得fx+T=fx即fx−π=fx，令x=而fπ2=π2使得fx+TC、f(x)=xsinx，x∈R，则令gx=sin当x∈π2,π，g'x又f'π2故f'(x)=0在π2所以当x∈π2,x0当x∈x0,π时f所以f(x)有且只有一个极值点，且是极大值点，故C错误；D、设切点横坐标为t，则切线方程为y−tsin将0,0代入，得t2cost=0，解得t=0或t=若t=0，则切线方程为y=0；若t=π2+kπ故答案为：AD.【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数f(x)=xsinx为偶函数即可判断A；根据周期性的定义即可判断B；根据导数判断其单调性，易知12．【答案】84【解析】【解答】解：二项式x+y8展开式的通项为Tr+1=C8则1+yx(x+y)8的展开式中含故1+yx(x+y)8展开式中故答案为：84.【分析】先写出二项式x+y8展开式的通项，即可求展开式中x13．【答案】0.3【解析】【解答】解：因为随机变量X∼Nμ,σ2所以P0<X<4=1−2×0.2=0.6，

则故答案为：0.3.【分析】由题意，根据正态分布的性质求解即可.14．【答案】2e,+【解析】【解答】解：函数f(x)=xex−mx+m2在(0,+∞)上有两个零点，等价于f易知函数g(x)恒过点(12,0)，设g(x)与h(x)因为h'(x)=ex(x+1)当切线经过点(12,0)时，解得a=1由函数图象特征可知：函数f(x)=xex−mx+则实数m的取值范围是(2e,+∞故答案为：(2e,+∞【分析】原问题等价于函数h(x)=xex与函数15．【答案】（1）解：二项式2x−15展开式的通项公式为T令5-r=3，解得r=2，则展开式的第3项的二项式系数为C5（2）解：由2x−15令x=0，可得a0令x=1，可得a5则a1（3）解：由2x−15令x=1，可得a5令x=−1，可得−a两式相减可得2(a1+【解析】【分析】（1）写出二项式2x−15（2）分别令x=0和x=1，求a1（3）分别令x=1和x=−1，两式相减，求a116．【答案】解：（1）f(x)=x3+3x2因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f'(1)=0，即3+6−a=0，解得经检验，符合题意，故a的值为9；（2）由（1）得f(x)=x3+3令f'(x)>0，解得−4<x<−3或令f'(x)<0，解得则f(x)的单调递增区间为[−4,−3)，1,4，单调递减区间为(−3,1)，故函数f(x)的极大值为f(−3)=27，极小值为f1又因为f−4=20，f故f(x)的最大值为76，最小值为−5.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导函数，根据函数f(x)在x=1处取得极值，得f'1=0（2）由（1）可得f'17．【答案】解：（1）由题意可知X的所有可能取值为1，2，3，

则P(X=1)=C31C2则X的分布列为X123P331所以E(X)=1×3D(X)=(1−（2）设乙答对的题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知Y∼B(3,3则E(Y)=3×因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)，所以甲的方差小，甲比较稳定，所以甲同学竞聘成功的可能性更大【解析】【分析】（1）由题意可知X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，即可求X的分布列、数学期望和方差；（2）设乙答对的题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知Y∼B(3,318．【答案】（1）解：由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，第1次抽到的是正品有C41种抽法；第2次抽到的是次品有C2当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有C4当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有C4若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有C4综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.（2）解：由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：①4次抽到的均为正品，共有A4②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有C2所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.【解析】【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，再利用两个计数原理和排列组合数求解即可；（2）利用分类加法计数原理，结合排列组合知识求解即可.19．【答案】（1）解：函数fx=alnx−x当a≤0时，f'x<0恒成立，则函