北师大版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步检测题(附答案)

第第页北师大版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步检测题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一．选择题（共6小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，AE＝3，那么EC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．62．《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池ABCD中，东西城墙AD长7里，南北城墙AB长9里，南门点E，东门点F分别位于AD，AB的中点处，EG⊥AD，FH⊥AB，GH经过点A，FH＝15里，则EG的长是（）A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里3．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．4．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（）A．10 B．8 C．6 D．55．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a被l1，l2，l3所截得线段AB，BC，直线b被l1，l2，l3所截得线段DE，EF，则下列等式错误的是（）A．ADBE=BECF B．ABBC=6．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：m，若△ABC的面积为4，△DEF的面积为9，则m的值是（）A．32 B．49 C．23二．填空题（共6小题）7．如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为．8．如图，在△ABC中，AC＝2，AB=7，∠ACB＝60°，点D为△ABC外一点，且满足CD∥AB，AC＝AD，则BD的长为9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若EG=22，则FG＝10．如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是（只填写序号）．11．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为．12．如果两个等边三角形的周长的比是1：4，那么它们的面积比是．三．解答题（共4小题）13．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点B，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，ABAF（1）求证：△ABC∽△AFD；（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积．14．如图，在△ABC中，点E在边AC上，且∠ABE＝∠C，AE＝4，AB＝6，点D是BE的中点，连接AD并延长，交BC于点F，EG∥AF，交BC于点G．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）求CGBE15．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．16．问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AD＝3，AB＝5，CD＝1，则AE的长为．问题解决（2）如图2，有一块三角形试验田ECD，面积为14m2.为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田ABE．经实际测量可得∠ABC＝120°，∠ADC＝45°，CD=42m，AB＝10m，求扩建后三角形试验田ABE参考答案与试题解析题号123456答案DCAAAA一．选择题（共6小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，AE＝3，那么EC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】通过证明△ADE∽△ABC，得到ADAB=AEAC，代入数据求出【解答】解：∵AD＝2，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝2+4＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵AD＝2，AB＝6，AE＝3，∴26解得：AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝6．故选：D．2．《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池ABCD中，东西城墙AD长7里，南北城墙AB长9里，南门点E，东门点F分别位于AD，AB的中点处，EG⊥AD，FH⊥AB，GH经过点A，FH＝15里，则EG的长是（）A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里【分析】先利用线段的中点定义可得：AE＝3.5里，AF＝4.5里，再根据垂直定义可得：∠AEG＝∠HFA＝90°，然后根据矩形的性质可得∠BAD＝∠AEG＝90°，从而可得EG∥AB，再利用平行线的性质可得∠G＝∠FAH，从而可得△AEG∽△HFA，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵南门点E，东门点F分别位于AD，AB的中点处，∴AE=12AD＝3.5（里），AF=∵EG⊥AD，FH⊥AB，∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠AEG＝90°，∴EG∥AB，∴∠G＝∠FAH，∴△AEG∽△HFA，∴AFEG∴4.5EG解得：EG＝1.05，∴EG的长为1.05里，故选：C．3．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．A、∵CDAC=24=故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；B、∵ADAB故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；C、∵BDAB故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；D、∵BDBC故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；故选：A．4．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（）A．10 B．8 C．6 D．5【分析】设点A对应的数是a，先证△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质即可求出a的值．【解答】解：如图，设点A对应的数是a，∵AB∥CD，∴△OCD∽△OAB，∴OCOA∴6a∴a＝10，即点A对应的数是10，故选：A．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a被l1，l2，l3所截得线段AB，BC，直线b被l1，l2，l3所截得线段DE，EF，则下列等式错误的是（）A．ADBE=BECF B．ABBC=【分析】利用平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，直线a和b被l1，l2，l3所截，∴ABBC=DEEF，故符合题意的是选项A．故选：A．6．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：m，若△ABC的面积为4，△DEF的面积为9，则m的值是（）A．32 B．49 C．23【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可得答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：m，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝1：m2，∵△ABC的面积为4，△DEF的面积为9，∴1：m2＝4：9，∴4m2＝9，∴m＝±32∵m＞0，∴m=3故选：A．二．填空题（共6小题）7．如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为32．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方．【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，∴两个三角形的相似比为1：4，∴两个三角形的面积比为1：16，∵较小的三角形面积为2，∴大三角形的面积，32．故答案为：32．8．如图，在△ABC中，AC＝2，AB=7，∠ACB＝60°，点D为△ABC外一点，且满足CD∥AB，AC＝AD，则BD的长为13【分析】作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，DH⊥AB交BA的延长线于点H，因为CD∥AB，所以CF＝DH，而AC＝AD，即可根据“HL”证明Rt△AHD≌Rt△AFC，由∠ACB＝60°，求得∠CAE＝30°，因为AC＝2，AB=7，所以CE=12AC＝1，求得AE=3，则BE=AB2−AE2=2，所以BC＝3，由S△ABC=12×7CF=12×3【解答】解：作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，DH⊥AB交BA的延长线于点H，则∠AEC＝∠AEB＝∠AFC＝∠H＝90°，∵CD∥AB，∴CF＝DH，在Rt△AHD和Rt△AFC中，AC=ADCF=DH∴Rt△AHD≌Rt△AFC（HL），∵∠ACB＝60°，AC＝2，AB=7∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝30°，∴CE=12∴AE=A∴BE=A∴BC＝BE+CE＝2+1＝3，∵S△ABC=12×7CF∴CF＝DH=3∴AF＝AH=A∴BH＝AB+AH=7∴BD=B故答案为：13．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若EG=22，则FG＝2【分析】由平行线等分线段定理推出G是CD中点，判定EG是△DBC的中位线，得到BC＝2EG＝42，由线段中点定义求出AE：AB＝3：4，判定△AEF∽△ABC，推出EF：BC＝AE：AB，求出EF＝32，即可得到FG的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∵E是BD中点，∴G是CD中点，∴EG是△DBC的中位线，∴BC＝2EG＝2×22=42∵D是AB中点，∴BD=12∵BE=12∴BE=14∴AE=34∴AE：AB＝3：4，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC＝AE：AB，∴EF：42=∴EF＝32，∴FG＝EF﹣EG＝32−22故答案为：2．10．如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是②（只填写序号）．【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．【解答】解：由题意可知：AB＝1，AC=12+∴△ABC的三边之比是AB：AC：BC=1：2同理：①△CDB的三边之比是CD：BC：BD=1：5∴△CDB与△ABC不相似，不符合题意；②△DEB中，DE：BD：BE=2：22∴△DEB与△ABC相似，符合题意；③△CEB中，CB：CE：BE=5∴△CEB与△ABC不相似，不符合题意，故答案为：②．11．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，∴△ABC与△DEF面积的比为：1：9，∵△ABC的面积为1，∴△DEF的面积为9，故答案为：9．12．如果两个等边三角形的周长的比是1：4，那么它们的面积比是1：16．【分析】由两个等边三角形相似，然后根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵等边三角形的三个内角都相等，且等于60°，∴两个等边三角形的三个内角都等于60°，∴两个等边三角形相似，∵两个等边三角形的周长的比是14∴两个等边三角形的边长的比是14∴两个等边三角形的面积比是1：16，故答案为：1：16．三．解答题（共4小题）13．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点B，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，ABAF（1）求证：△ABC∽△AFD；（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积．【分析】（1）由∠BAF＝∠DBC可得∠AFD＝∠ABC，进而由ABAF（2）证明△ADE∽△BCE，得到S△ADE【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AC、BD相交于点B，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF，即∠AFD＝∠ABC，又∵ABAF∴△ABC∽△AFD；（2）解：∵△ABC∽△AFD，∴∠ADE＝∠ACB，又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∵AD＝2，BC＝5，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得：S△ADE∵S△ADE＝4，∴S△BCE＝25．14．如图，在△ABC中，点E在边AC上，且∠ABE＝∠C，AE＝4，AB＝6，点D是BE的中点，连接AD并延长，交BC于点F，EG∥AF，交BC于点G．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）求CGBE【分析】（1）由∠ABE＝∠C，∠EAB＝∠BAC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△ACB；（2）由DE＝DB，EG∥AF，得FGFB=DEDB=1，则FG＝FB=12BG，由△ABE∽△ACB，AE＝4，AB＝6，得BECB=ABAC=AEAB=46=23，则【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠C，∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB．（2）解：∵点D是BE的中点，∴DE＝DB，∵EG∥AF，∴FGFB∴FG＝FB=12∵△ABE∽△ACB，AE＝4，AB＝6，∴BECB∴BE=23CB，AC∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5，∴CGFG∴CG1∴CGBG∴CG=55+8CB=∴CGBE∴CGBE的值是1515．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值；（2）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况．【解答】解：（1）当PQ∥BC时，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x，∴4x20解得：x=10即当x=103，PQ∥（2）能，①当△APQ∽△CQB时，有APCQ即：4x3x解得：x=10∴AP＝4x=409（②当△APQ∽△CBQ时，有APBC即：4x20解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），综上所述，当AP=409cm或20cm时，△APQ与△16．问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AD＝3，AB＝5，CD＝1，则AE的长为125问题解决（2）如图2，有一块三角形试验田ECD，面积为14m2.为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿