2024-2025学年辽宁省葫芦岛市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省葫芦岛市高二上学期1月期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的倾斜角为5π6，则直线l的斜率为(

)A.−3 B.3 C.−2.直线2x−y+3=0与x+ay−1=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(

)A.1,5 B.−1,−1 C.−1,1 D.−2,−13.设e1,e2,e3是单位正交基底，已知向量p在基底a,b,c下的坐标为A.8,7,9 B.7,8,9 C.8,9,10 D.9,10,84.已知双曲线C:y23m+2−x2m=1A.x28−y22=1 B.5.现将包含球A的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球A不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是(

)A.180 B.168 C.120 D.906.过点P2,3的直线l与圆Q:(x−3)2+(y−1)2A.3x+4y−18=0 B.x=2或4x+3y−17=0

C.4x+3y−17=0 D.x=2或3x+4y−18=07.已知集合M=−2,−1,0,1,3，直线Ax+By+C=0中的A,B,C是取自集合M中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为(

)A.40 B.32 C.24 D.238.已知点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上，P到两渐近线的距离分别为d1,dA.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆P:x2+y2+2y=0与圆Q:A.两圆有2条公切线

B.圆P与圆Q的公共弦所在直线的方程是y=2x

C.AB=255

10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1A.三棱锥B−A1MD的体积为定值

B.AM的最小值为355

C.若点M运动到线段B1C中点，则异面直线AM与D1D所成角的正切值是11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=8x的焦点为F,O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Pm,nn2<8m射入，经过抛物线上的点AxA.x1x2=4 B.1AF+1BF=12

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1,∠BAD=9013.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，短轴长为214.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，线段PQ是该三棱柱内切球的一条直径，点M四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知(2x−1)(1)求a6(2)求a1(3)求(2x−1)616.(本小题12分)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：AB1//(2)若AB=1,AA1=2，求直线BB17.(本小题12分)已知抛物线C:x2=2py(1)求抛物线C的标准方程；(2)若D1,1，且Q在抛物线上，求QD(3)若过点M0,3的直线l与圆N:x2+(y−1)2=1相切，且直线l与抛物线C有两个不同的交点18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面PBC,∠ABP=π3，底面ABCD为直角梯形，AB//DC,AB⊥BC,AB=2DC=4，(1)证明：平面ABCD⊥平面PAB；(2)求点C到平面PAD的距离；(3)线段PC上是否存在一点E，使得平面BDE与平面PAD所成角(即两个平面相交时所成的锐二面角)的余弦值为79，若存在，求出PEEC19.(本小题12分)阅读材料：(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点Px0,y0和直线l:Ax0x+Cy0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0(二)极点与极线的基本性质，定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程并写出与点E对应的极线方程；(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D1,0作斜率不为0的直线l,l与椭圆C交于P,Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k1,BQ①k②点M在定直线上．

参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ABD

10.AB

11.ABC

12.213.314.0,1

15.【详解】(1)a(2)令x=1得a令x=−1得a则a1(3)(2x−1)6的通项为令C6rC代入得：6!26−rr!6!26−rr!解得43≤r≤7所以(2x−1)6展开式中系数的最大值

16.【详解】(1)连接B1C，与BC1相交于点因为四边形BCC1B1为矩形，故又D为AC的中点，故DN//AB又DN⊂平面BDC1,A所以AB1(2)取A1C1的中点M，连接DM由于CC1⊥平面ABC，故DM⊥故以D为坐标原点，DA,DB,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：因为AB=1,AA所以A1设平面BC1D则m解得y=0，令z=1得x=4，故m=又B设直线BB1与平面BC所以sinθ=故直线BB1与平面BC

17.【详解】(1)因为抛物线C经过2,2，故22=4p，所以所以抛物线C的方程x2(2)∵Q在抛物线x2=2y∴Q到F的距离与Q到准线的距离相等，设为d．∴QD+QF易知当DQ垂直于准线时，QD+d∴(QD所以QD+QF的最小值为(3)当AB斜率不存在时，x=0，显然不合题意．当AB斜率存在时，设直线l的方程为y−3=k(x−0)，即y=kx+3，∵AB与圆N:x∴3−1k联立直线与抛物线方程得：y=kx+3设Ax∴x∴ABO到AB的距离为ℎ=3S▵OAB

18.【详解】(1)由PA⊥平面PBC,BC⊂平面PBC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，由PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥面PAB，又BC⊂面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAB．(2)由(1)易知PA⊥PB，又∠ABP=π3，过P作PO⊥AB于由面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB,PO⊂面PAB，所以PO⊥面ABCD，过O作Oz//BC，易知Oz⊥AB，故可构建如图示空间直角坐标系．又AB=2DC=4,BC=2则A0,−3,0所以AP=若m=x,y,z是面则m⋅AP=所以点C到平面PAD的距离m⋅(3)同(2)构建空间直角坐标系，易知平面PAD的法向量m设CE=λ于是BE==DB=设n=x,y,z是平面则n⋅BE=因为平面BDE与平面PAD所成角的余弦值为79所以cos⟨整理得81λ2−12λ−5=0，即27λ+53λ−1故CE=1

19.【详解】(1)因为离心率为63又