第三章 圆锥曲线与方程（知识归纳+题型突破）（解析版）

第三章圆锥曲线与方程（知识归纳+题型突破）1．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程．2．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．3．掌握简单的椭圆的几何性质．4．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用．5．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程．6．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形．7．理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)．8．能用双曲线的简单几何性质解决问题．9．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．10．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．11．理解抛物线的简单几何性质．1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．（1）对定义中限制条件“两个定点”的理解椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆．（2）对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解条件结论2a＞F1F2动点的轨迹是椭圆2a＝F1F2动点的轨迹是线段F1F22a＜F1F2动点不存在，因此轨迹不存在（3）定义的双向运用一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．2．椭圆的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2（1）椭圆标准方程中参数a，b的几何意义1标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，这是椭圆定形的条件，a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图所示的直角三角形F2OM称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义．（2）椭圆的焦点位置椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．3．与椭圆焦点三角形有关的常用公式(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．(2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1Feq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)－2MF1·MF2cos∠F1MF2．(3)设椭圆上任一点M(xM，yM)，焦点三角形的面积S△F1MF2＝c|yM|＝eq\f(1,2)MF1·MF2·sin∠F1MF2＝b2taneq\f(∠F1MF2,2)．4．椭圆的范围、对称性、顶点焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点(1)椭圆的范围实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．由于椭圆方程中两个非负数的和等1，所以椭圆上任一点的坐标适合不等式eq\f(x2,a2)≤1，即－a≤x≤a，同理有eq\f(y2,b2)≤1，即－b≤y≤b，这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足关系式：a2＝b2＋c2．5．椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比eq\f(c,a)称为椭圆的离心率．用e表示，即e＝eq\f(c,a)．(1)椭圆离心率e的取值范围是(0,1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2．(2)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度．由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式：①e＝eq\f(c,a)＝cosα；②e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,A1A2)；③e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)；④e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(如图)．6．直线与椭圆的位置关系及判定一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得一个一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交__2__Δ＞0相切__1__Δ＝0相离__0__Δ＜07．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系：(1)点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(2)点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(3)点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1．8．弦长公式设直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|．9．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．符号语言：|PF1－PF2|＝常数(常数小于F1F2)．10．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2．所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．11．直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系的判断一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．①当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点．②当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点．(1)双曲线的通径过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，将x＝c代入双曲线的方程可得eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(b2,a2)，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，计算得通径长AB＝eq\f(2b2,a)．同理，可求得双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的通径长也是eq\f(2b2,a)．(2)双曲线的焦点弦的最小值若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长eq\f(2b2,a)；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a．12．双曲线的范围、对称性和顶点标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a；半虚轴长：b13．双曲线的渐近线(1)渐近线一般地，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两支向外延伸时，与两条直线eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0逐渐接近，我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线．双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝eq\r(2)．14．双曲线的标准方程与渐近线方程双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形渐近线直线y＝±eq\f(b,a)x直线y＝±eq\f(a,b)x双曲线与渐近线的关系双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交双曲线在渐近线的上、下两个区域，与渐近线无限靠近但不相交15．等轴双曲线的性质(1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；(2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；(3)实轴长和虚轴长相等，离心率e＝eq\r(2)．16．双曲线与椭圆的六个不同点双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e＞10＜e＜1a，b，c关系a2＋b2＝c2a2－b2＝c217．双曲线的离心率定义双曲线的焦距与实轴长的比eq\f(c,a)，叫做双曲线的离心率范围[1，＋∞)双曲线形状与e的关系由等式c2＝a2＋b2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)．因此e越大，eq\f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度．18．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．19．抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种不同的形式标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形焦点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)p的几何意义焦点到准线的距离20．抛物线的简单几何性质图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下21．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切、相交．22．直线与抛物线位置关系的判断方法(1)直线的斜率存在时，设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．①当k＝0时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点．②当k≠0时，判别式Δ＞0⇔直线与抛物线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与抛物线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与抛物线相离，没有公共点．(2)直线的斜率不存在时，设直线l：x＝m，抛物线：y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．23．抛物线的通径(1)定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，得AB＝2p，故抛物线的通径长为2p．(2)通径是所有焦点弦中最短的弦．(3)通径在反映抛物线开口大小上的作用：抛物线的通径AB(如图所示)的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，即抛物线的开口越小．题型一求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的椭圆的标准方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1．(3)法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a＞b＞0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．法二：(待定系数法)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．思维升华1．待定系数法求标准方程的步骤(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．易错提醒当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．巩固训练1．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴的交点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1【答案】A【解析】因为BF2＝F1F2＝2，所以a＝2，c＝1，由a2＝b2＋c2可得b2＝3，所以所求椭圆的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故选A．2．过点(－3,2)且与椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆E的方程是()A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1【答案】A【解析】由题意得椭圆C的焦点坐标为(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，c＝eq\r(5)．设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，把点(－3,2)代入，得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，①∵椭圆C与椭圆E有相同的焦点，∴a2－b2＝5，②由①②得a2＝15，b2＝10，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1，故选A．题型二椭圆的定义及其应用【例2】(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12(2)设F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5 B．4C．3 D．1【答案】(1)C(2)B【解析】(1)设另一焦点为F．由F在BC边上及椭圆的定义得BF＋BA＝CF＋CA＝2a＝2eq\r(3)，所以△ABC的周长为BC＋BA＋CA＝(BF＋CF)＋BA＋CA＝4eq\r(3)．故选C．(2)由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)．∵PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，又F1F2＝2eq\r(5)，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq\f(1,2)·PF1·PF2＝eq\f(1,2)×4×2＝4．思维升华解决与椭圆焦点三角形有关问题的思路画出图形，观察图形，充分利用椭圆的定义，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分析解决问题．巩固训练1．若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6 B．7C．8 D．9【答案】B【解析】根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10，因为PF1＝3，所以PF2＝7．2．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若F2A＋F2B＝12，则AB＝________．【答案】8【解析】由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知AB＝F1A＋F1B，所以在△F2AB中，F2A＋F2B＋AB＝4a＝20，又F2A＋F2B＝12，所以AB＝8．题型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．【解析】如图所示，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有CQ＝MQ＋CM．又点M在AQ的垂直平分线上，则MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5＞AC＝2．又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝eq\f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4)．故点M的轨迹方程为eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1．思维升华与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法．1．定义法如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(也称相关点法)．巩固训练1．已知△ABC的两个顶点分别为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则点C的轨迹方程为()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)【答案】A【解析】依题意得CA＋CB＝10＞8，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b2＝9．又A，B，C三点不共线，∴点C不在x轴上，∴点C的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．故选A．2．已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．【答案】x2＋eq\f(y2,2)＝1【解析】设Q(x，y)，由于Q是OP中点，故P(2x,2y)，代入椭圆方程得eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，化简得x2＋eq\f(y2,2)＝1．即Q点的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,2)＝1．题型四根据椭圆方程研究其几何性质【例4】(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,0．8 B．10,6,0．8C．5,3,0．6 D．10,6,0．6(2)(多选)已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为()eq\a\vs4\al(A.4,C.6)eq\a\vs4\al(B.\r(34),D.\r(33))【答案】(1)B(2)AB【解析】(1)把椭圆的方程写成标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，eq\f(c,a)＝0．8．故选B．(2)∵2c＝6，∴c＝3．当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2．由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25．由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq\r(34)．综上可知，实数m的值为4或eq\r(34)．故选A、B．思维升华1．由椭圆方程讨论其几何性质的步骤(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个坐标轴上；(2)由标准形式求出a，b，c，写出其几何性质．2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置；(2)椭圆的范围决定椭圆的大小；(3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度；(4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．巩固训练1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(1,4) D．4【答案】D【解析】椭圆x2＋my2＝1化为标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1．焦点在x轴上，所以长轴长2a＝2，短轴长2b＝2eq\r(\f(1,m))，所以2eq\r(\f(1,m))＝1，解得m＝4．故选D．2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq\f(1,2)，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．【解析】椭圆方程可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1．(1)当0＜m＜4时，焦点在x轴上，a＝2，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(4－m)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3，∴b＝eq\r(3)，c＝1，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2eq\r(3)，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－eq\r(3))，B2(0，eq\r(3))．(2)当m＞4时，焦点在y轴上，a＝eq\r(m)，b＝2，∴c＝eq\r(m－4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，c＝eq\f(2\r(3),3)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为eq\f(8\r(3),3)，4，焦点坐标为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，顶点坐标为A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(4\r(3),3)))，A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))，B1(－2,0)，B2(2,0)．题型五根据椭圆的几何性质求其标准方程【例5】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是eq\f(4,5)．(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．(3)经过点M(1,2)，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．【解析】(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知得2a＝10，故a＝5．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)依题意可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且OF＝c，A1A2＝2b，则c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．(3)法一：由题意知e2＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,2b2)＋eq\f(x2,b2)＝1．将点M(1,2)代入椭圆方程，得eq\f(1,2b2)＋eq\f(4,b2)＝1或eq\f(4,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝eq\f(9,2)或b2＝3．故所求椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．法二：设所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1＞0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2＞0)，将点M的坐标代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．思维升华已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标准方程的形式；(2)由所给的几何性质充分挖掘a，b，c所满足的关系式，建立关于a，b，c的关系式或方程(组)解出a，b的值；(3)写出椭圆的标准方程．巩固训练1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,3)，则椭圆C的方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1【答案】D【解析】依题意，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8．故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1．2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝eq\f(2,3)，则椭圆的标准方程是____________．【答案】eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝eq\f(2,3)，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以OF＝c，AF＝a＝3，所以eq\f(c,3)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1．题型六求椭圆的离心率【例6】设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】法一：由题意可设PF2＝m，结合条件可知PF1＝2m，F1F2＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3)．法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以PF2＝eq\f(b2,a)．又由∠PF1F2＝30°可得F1F2＝eq\r(3)PF2，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．思维升华求椭圆离心率及范围的两种方法直接法若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a．再代入公式e＝eq\f(c,a)求解方程法若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围巩固训练1．焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f(b,3)，则椭圆的离心率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】由三角形的面积相等，得eq\f(1,2)×2c×b＝eq\f(1,2)×(2a＋2c)×eq\f(b,3)，得a＝2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选C．2．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．【答案】eq\r(3)－1【解析】如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N．∵NF2＝OF2＝c，∴NF1＝eq\r(F1F\o\al(2,2)－NF\o\al(2,2))＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c．由椭圆的定义可知NF1＋NF2＝2a，∴eq\r(3)c＋c＝2a，∴a＝eq\f(\r(3)＋1c,2)．∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．题型七直线与椭圆的位置关系的判断【例7】(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是________．【答案】(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))【解析】(1)把x＋y－3＝0代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得eq\f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0．∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离．故选C．(2)直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以eq\f(12,5)＋eq\f(12,m)≤1，即m≥eq\f(5,4)，又0＜m＜5，故m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))．思维升华直线与椭圆的位置关系的判断判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想的运用．巩固训练1．(多选)无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1交点情况满足()A．没有公共点 B．一个公共点C．两个公共点 D．无法确定【答案】BC【解析】因为y＝kx＋2过定点(0,2)，且椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的上顶点也为(0,2)，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C．2．直线l：y＝kx＋2与椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1有公共点，则k的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))【解析】联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋2，))整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．因为直线l与椭圆C有公共点．所以Δ＝(8k)2－24(2k2＋1)≥0，解得k≥eq\f(\r(6),2)或k≤－eq\f(\r(6),2)．题型八弦长及中点弦问题【例8】过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，若该弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求弦AB的长．【解析】(1)设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1)．又M为AB的中点，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得x2－4x＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，所以AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)·eq\r(42－4×0)＝2eq\r(5)．思维升华1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．2．解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系巩固训练1．(多选)已知直线y＝3x＋2被椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－2 D．y＝－3x【答案】AC【解析】作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出B、D中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选A、C．2．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为()eq\a\vs4\al(A.\f(\r(30),3),C.\f(\r(10),3))eq\a\vs4\al(B.\f(2\r(6),3),D.\f(\r(15),3))【答案】A【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B在椭圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②))②－①，得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(2,4)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，又弦AB的中点为(－1，－1)，所以直线AB的斜率为－eq\f(1,2)，所以直线方程为y＝－eq\f(1,2)(x＋1)－1，联立椭圆方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根据弦长公式得AB＝eq\f(\r(30),3)．故选A．3．直线y＝x＋2交椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1于A，B两点，若AB＝3eq\r(2)，则m的值为________．【答案】12【解析】由椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1，则顶点为(0,2)，而直线y＝x＋2也过(0,2)，所以A(0,2)为直线与椭圆的一个交点，设B(xB，yB)，则AB＝eq\r(xB－xA2＋yB－yA2)＝eq\r(1＋k2)|xB－xA|＝eq\r(2)|xB|＝3eq\r(2)，解得xB＝±3，所以B(－3，－1)或B(3,5)(舍去)，把B(－3，－1)代入椭圆方程得eq\f(9,m)＋eq\f(1,4)＝1，故m＝12．题型九利用双曲线的标准方程求参数【例9】求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；(2)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，求a的值．【解析】(1)若焦点在x轴上，则方程可化为eq\f(x2,\f(k,2))－eq\f(y2,k)＝1，所以eq\f(k,2)＋k＝32，即k＝6；若焦点在y轴上，则方程可化为eq\f(y2,－k)－eq\f(x2,\f(－k,2))＝1，所以－k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝32，即k＝－6．综上所述，k的值为6或－6．(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1．思维升华方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．(2)对于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．巩固训练1．已知方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2【答案】B【解析】∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)＞0．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＞0，,|k|－2＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＜0，,|k|－2＜0.))解得k＞5或－2＜k＜2．2．(多选)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】AB【解析】由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2．又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3．故选A、B．题型十求双曲线的标准方程【例10】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq\r(2)，2)；(3)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．【解析】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1．(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20． ①∵双曲线经过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1． ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．法二：设所求双曲线的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16)．∵双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0．∵点P，Q在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1．思维升华1．求双曲线标准方程时有两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤巩固训练1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B．eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0【答案】C【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，双曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故选C．2．以椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq\r(10))的双曲线的标准方程为____________．【答案】eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq\r(2)．设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1．题型十一求双曲线的离心率【例11】(1)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是()A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\r(2)或eq\r(3) D．1＋eq\r(3)(2)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由题意，知F(－c,0)，A(a,0)，设B(0，b)，则AF2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，AB2＝a2＋b2，BF2＝b2＋c2．由△ABF为等腰三角形，得AF＝BF，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形，得c2－2a2－2ac＝0，又e＝eq\f(c,a)，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±eq\r(3)，又双曲线中e＞1，所以e＝1＋eq\r(3)．(2)由题意，得双曲线的渐近线为bx±ay＝0，∵双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，∴圆心到渐近线的距离大于半径，即eq\f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2＞9a2，∴e＝eq\f(c,a)＞eq\f(3\r(2),4)．思维升华求双曲线的离心率或其取值范围的思路(1)求解双曲线的离心率一般有两种方法．①由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2))，其中a＞0，b＞0．②依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝eq\f(c,a)转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对所得解进行取舍．(2)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和eq\f(c,a)＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a．双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．巩固训练1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(5),2)【答案】D【解析】由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b．设b＝k，则a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2)．2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P使得eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．【答案】(1，eq\r(2)＋1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理，得eq\f(PF2,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,sin∠PF2F1)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,PF2)，即PF1＝eq\f(c,a)PF2，则点P在双曲线的右支上，且点P不在直线F1F2上，画出示意图如图所示．由双曲线的定义知，PF1－PF2＝2a，则eq\f(c,a)·PF2－PF2＝2a，即PF2＝eq\f(2a2,c－a)．又由双曲线的性质知，PF2＞c－a，则eq\f(2a2,c－a)＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，所以e2－2e－1＜0，解得－eq\r(2)＋1＜e＜eq\r(2)＋1．又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，eq\r(2)＋1)．题型十二求双曲线的标准方程【例12】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y．(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4)．∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y．(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15．∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x．思维升华求抛物线标准方程的方法(1)直接法：直接利用题中已知条件确定参数p．(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p．当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．巩固训练1．已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是()A．y2＝2ax B．y2＝4axC．y2＝－2ax D．y2＝－4ax【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，所以可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)．由题意知，－eq\f(p,2)＝a，故p＝－2a．所以抛物线的标准方程为y2＝4ax．故选B．2．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝eq\f(8\r(3),3)y D．x2＝eq\f(16\r(3),3)y【答案】A【解析】由双曲线的离心率为2知，e＝eq\f(c,a)＝2，∴c＝2a，从而a2＋b2＝4a2，即b2＝3a2，因此，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x．易知抛物线C2的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))．依题意，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，解得p＝8(负值舍去)，∴抛物线C2的方程为x2＝16y．故选A．题型十三由抛物线的几何性质求其标准方程【例13】求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．【解析】∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，eq\f(p,2)＝4，∴p