大学物理：振动与波

振动部分主要内容：谐振动谐振动的表达式及特征量谐振动的矢量图示法谐振动的能量谐振动的合成同方向谐振动的合成相互垂直的谐振动的合成（了解）阻尼振动、受迫振动、共振（了解）7.

振动与波作业7-77-127-157-247-297-337-34振动：描述状态的物理量(如位移、电场强度等)，在某一数值附近作周期性的变化。机械振动：位移

x随时间t的周期性变化（物体在一定位置附近作往复运动）。电磁振动：电场强度、磁场强度随时间t的周期性变化（空间一点的电磁场周期性变化）。I=I0sin(ωt+φ)§7-1

谐振动谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。一．谐振动的特征及其表式1.典型模型——弹簧振子弹簧无质量系统无摩擦2.运动学特征和动力学特征——运动方程动力学特征:物体的合外力与位移成正比而方向相反。运动学特征:物体的位移按余弦规律变化。§7-1

谐振动单摆(simplependulum)重物所受合外力矩：据转动定律，得到

很小时(小于)，可取令

,有qsinmglM-=...!5!3sin53-+-=qqqqqmglM-=qq»sinqqqlgmlmglJMt-=-==222dd。glTpwp22==TrgrmqlO

例一质量为m

的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y

轴，船的位移用y

表示。船所受合力为：3.速度加速度速度加速度速度幅值加速度幅值§7-1

谐振动4.常数A和Φ0的确定00sinfwAv-=f00cosAx=2020)(wvxA+=§7-1

谐振动Φ0所处的象限要结合x0或v0的正负来判断二．谐振动的振幅、频率和相位1.振幅(amplitude)

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A给出物体运动的范围2.周期(period)和频率(frequency)

周期:振动往复一次所需时间§7-1

谐振动频率:单位时间所作振动往复次数圆频率：2π时间所作振动往复次数对于弹簧振子，因有，得:利用上述关系式，改写谐振动运动表式：固有周期固有频率

3.相位(phase)和初相(initialphase)相位：决定简谐运动状态的物理量。初相位：t

=0

时的相位。说明①不同相位表示不同的运动状态;txOA-A

=2

且反映周期性特点。

§7-1

谐振动二者的相位差为：设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：②相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。

=

2k

两振动步调相同xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相

=

(2k+1)

两振动步调相反位移、速度、加速度的相位比较§7-1

谐振动三．谐振动的旋转矢量图示法振幅矢量:一长度等于振幅A

的矢量，在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转,其角速度大小与谐振动的圆频率相等。

M在x-轴上的投影P的运动规律:O简谐运动物理量与振幅矢量A的对应关系：振幅

A的长度圆（角）频率A旋转的角速度相位

A与参考方向x轴的夹角§7-1

谐振动用旋转矢量图画简谐运动的

图(振动曲线)§7-1

谐振动Oxt=0x=-2cm-2AA

例一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m向

X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解:(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：其中A=0.12m,T=2s,初始条件：t=0,x0=0.06m,可得据初始条件得)cos(0fw+=tAx(m))3cos(12.0pp-=tx

由(1)求得的简谐振动表达式得:在t=T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度？(m))3cos(12.0pp-=tx当x=-0.06m时，该时刻设为t1,得因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：21)3cos(1-=-ppt34或3231pppp=-t2332ppp=-t。s83.012=-=Dttt653223pppf=-=Ds83.0=D=Dwft因该时刻速度为负，应舍去34ps11=t设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是23ps83.12=t(3)物体从x=-0.06m向

X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间？四．谐振动的能量以水平弹簧振子为例动能势能系统总的机械能：)(sin212102222fww+==tAmmvEK)(cos21210222fw+==tkAkxEP)(cos21)(sin210220222fwfww+++=+=tkAtAmEEEPK谐振动的机械能守恒。§7-1

谐振动能量平均值（一个周期内的平均能量）上述结果对任一谐振系统均成立。20022241d)(sin211kAttAmTETK=+=òfww2002241d)(cos211kAttkATETP=+=òfw2EEEPK==§7-1

谐振动谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:tOtOx)(sin21022fw+=tAEKk)(cos21022fw+=tkAEP§7-1

谐振动§7-2

谐振动的合成§7-2

谐振动的合成一.同方向的谐振动的合成二.垂直方向的谐振动的合成1.同方向同频率的两个谐振动的合成2.同方向不同频率的两个谐振动的合成1.垂直方向同频率的两个谐振动的合成2.垂直方向不同频率的两个谐振动的合成1.同方向同频率的两个谐振动的合成合运动：合运动仍是谐振动，频率与原来相同。

一.同方向的谐振动的合成【问题】合运动的运动形式？§7-2

谐振动的合成旋转矢量图示法2x1A10f21AAA+=f01xx20f2AOX202101202101coscossinsintanfffff0AAAA++=§7-2

谐振动的合成代数方法上式化为合振动仍为简谐振动，频率与原来相同。很明显，矢量法比代数方法简单且直观。令(1)Df=f

20-f10=2kp合振幅最大。(2)Df=f

20-f10=(2k+1)p合振幅最小。【讨论】：21AAA+=2A1AXX1AO2A21AAA-=(3)通常情况下，合振幅介于和之间。21AA+21AA-OAA

例求图中所示的两个谐振动的合振动的表达式OxA1A2A【分析】画旋转矢量图0.08-0.04x/mt/sx1x212O∴合振动的表达式为

*例

N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0,α,2α...,依次差一个恒量α，振动表达式可写成求它们的合振动的振幅和初相。

解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。

根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：taxwcos1=)cos(2aw+=tax)2cos(3aw+=tax])1(cos[aw-+=NtaxN

因各个振动的振幅相同且相差依次恒为

a

，上图中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得1）当时(同相合成)，有1a2a3a4a5aA2）当但不含N的整数倍时，有N个矢量组成一个封闭多边形，显然合振幅为零。2.同方向不同频率的两个谐振动的合成拍现象合运动：x=x1+

x2)cos(),cos(022011fwfw+=+=tAxtAx＋

在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化,第二项是角频率近于

的简谐函数。合振动可视为是角频率为

、振幅为的简谐振动。或

合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的现象——拍现象。拍频:单位时间内强弱变化的次数。§7-2

谐振动的合成1.垂直方向的同频率的谐振动的合成运动轨迹

合运动一般是在

(

x

向)、

(

y

向)范围内的一个椭圆。

二.垂直方向的谐振动的合成§7-2

谐振动的合成【讨论】：(1)f20-f10=p/2，(2)f20-f10=3p/2，质点的轨迹是顺时针旋转。质点的轨迹沿逆时针旋转。§7-2

谐振动的合成(3)f20-f10=0,两个分振动同相位

(4)f20-f10=p,

两个分振动反相位§7-2

谐振动的合成QP

·.2.垂直方向的不同频率的谐振动的合成

-A2yxA1A2O-A1

两振动的频率成整数比，运动轨迹称为李萨如图形（Lissajousfigure）。垂直方向不同频率的谐振动的合成任何一个周期性的振动,都可以分解成频率等于基频整数倍（谐频）的一系列谐振动的和，这就是傅里叶分解。

例：矩形周期振动的傅里叶分解傅里叶分解(Fourieranalysis)矩形周期振动的傅里叶分解周期T=2l

的振动的傅里叶分解非周期函数的傅里叶分解其中，频谱(frequencyspectrum)将傅里叶分解得到的结果画在坐标图上,得频谱图.横坐标:频率纵坐标:振幅乐器的音调由基频决定，音色由谐频的数目和振幅决定。阻尼振动：在回复力和阻力作用下的振动。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼§7-3

阻尼振动受迫振动共振

一.阻尼振动（dampedvibration）【特例分析】在阻力作用下的弹簧振子受力：动力学方程:阻力弹性恢复力阻力系数动力学方程:

阻尼因子固有频率在小阻尼条件下，微分方程的解为:是积分常数，由初始条件决定。、§7-3

阻尼振动受迫振动共振2.阻尼振动的准周期性减幅振动,振幅指数衰减阻尼振动的周期：位移相继两次达到极大值的时间间隔1.阻尼振动的振幅为由于阻尼，振动变慢了。§7-3