第五章 一元函数的导数及其应用（知识归纳+题型突破）（解析版）【认准唯一售后微信：duo1413159】-1

第五章一元函数的导数及其应用（知识归纳+题型突破）1、抽象概括能力：能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念.2、推理论证能力：能利用导数对函数的单调性、极值、最大(小)值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题.3、运算求解能力：能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大(小)值.4、直观想象能力：能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数的图象，并由图象进一步认识函数的性质.5、数学建模能力：能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题.1、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)3、导数的四则运算法则（1）两个函数和的和（或差）的导数法则：.（2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.（3）由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即4、复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．5、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）函数在区间内可导，(1)若，则在区间内是单调递增函数；(2)若，则在区间内是单调递减函数；(3)若恒有，则在区间内是常数函数．注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数在区间上可导在内单调递增在内单调递减在内是常数函数6、求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.7、由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.（2）已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点8、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.9、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.题型一导数定义的理解【例1】（2023·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（

）.A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知得，故选：C.反思总结:导数定义理解特别注意自变量改变量，本例中自变量从变化到，自变量改变量为巩固训练1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）利用导数的定义计算值为（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【详解】依题意，令函数，求导得，所以.故选：B2．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则．【答案】【详解】由.故答案为：.题型二复合函数的导数【例2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，3)，(4)，【详解】（1）令，因为，.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.反思总结：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．解题时注意换元法的应用。巩固训练1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：根据导数的运算法则，由，可得.（2）解：根据导数的运算法则，由，可得.（3）解：根据导数的运算法则，由，可得.（4）解：根据导数的运算法则，由，可得.题型三求切线方程（在型）【例3】（2024上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）曲线在点处的切线方程为.【答案】（其他形式的答案只要正确也可）【详解】由题意得，，所以，解得，故，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：反思总结：切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“在型”表示已知点就是切点；巩固训练1．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以．因为，所以切线方程为，即．故选：D.2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的图象在处的切线方程为．【答案】【详解】因为，所以，的图象在处的切线斜率为，又，所以切点为，所以的图象在处的切线方程为：，即．故答案为：.题型四求切线方程（过型）【例4】（2023·全国·高二课堂例题）写出过点，并且和曲线相切的直线方程．【答案】和【详解】当时，上式化为，这样的曲线不存在，故，所以曲线化为，其导函数为设过点的直线与曲线相切于点，则切线的斜率为所以切线方程为由切线过点，所以，解得或当时，切线方程为：当时，切线方程为：因此，过点A有两条切线，方程分别为和，如图所示．

反思总结:切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“过型”已知点一般当做非切点处理；巩固训练1．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）过点作曲线的切线l，则l的方程为．【答案】【详解】设曲线的切点为，又，所以切线斜率，所以切线方程为，即，又因为切线过点，所以，解得，所以切点，所以切线l的方程为：.故答案为：.2．（2023下·高二课时练习）求过且与曲线相切的直线方程．【答案】或.【详解】点不在曲线上，点不是切点，设切点是，由，可得，，即，解得或，切线的斜率或，切线的方程是或，即或.题型五利用相切关系求最小距离【例5】（2023下·四川达州·高二统考期末）已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】要恒成立即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，所以图像关于直线对称，又是曲线上的点，是曲线上的点，所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，由，设与直线的平行且在上的切点为：，则，即，所以曲线上切点为，所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值，即，所以，所以，即实数a的取值范围是：.故答案为：反思总结：最小距离问题可转化为相切问题，求出切线到直线距离即为最小值，利用点到直线的距离公式求解；巩固训练1．（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【详解】

由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..故答案为：.题型六函数与导函数图象间的关系【例6】（2023下·福建莆田·高二统考期末）某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】，，所以轴下方的图象为函数的图象，当时，函数单调递增，所以，故排除CD；根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.故选：A反思总结：导函数看正负，原函数看增减；巩固训练1．（2022上·江苏南通·高三统考阶段练习）为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】导数正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，后正，所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，再根据导数的几何意义是切线斜率，所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，所以应选B，不选C.故选：B.2．（2022下·广东东莞·高二统考期末）设函数的导函数图象如下图，则函数的图象可能为A． B．C． D．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数的单调性从左至右依次为减、增、减，排除A、B选项；由导函数的图象可知，函数为偶函数，即，构造函数，则，所以，（为常数），则函数的图象关于点对称，排除D选项.故选：C.题型七已知函数在区间上单调，求参数【例7】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．【答案】【详解】因为，所以．由的图象在区间上单调递增，可知不等式即在区间上恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递减，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故实数a的取值范围为，则a的最小值为．故答案为：反思总结：已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.巩固训练1．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：.【答案】【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为.故a的取值范围是.故答案为：2．（2023下·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是．【答案】【详解】函数，求导得，依题意，，，即恒成立，显然函数是开口向上的二次函数，因此，解得，所以的取值范围是.故答案为：题型八已知函数在区间上存在单调区间，求参数【例8】（2022下·安徽六安·高二校联考期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.反思总结：已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解巩固训练1．（2022上·山西运城·高二统考期末）若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，可得，由题意可得存在，使得，即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，故选B.2．（2022下·江西·高二校考期中）已知函数存在单调递减区间，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得：函数存在单调递减区间当时，有解，即当时，有解等价于在上有解令，则当时，，当时，则在上单调递减，在上单调递增

；本题正确选项：题型九已知函数在区间上不单调，求参数【例9】（2023下·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以，又因为函数在区间上不单调，所以在内有实数根，且无重根，即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内，①若，则，，方程的两个实根0和4均不在区间内，所以；②若，则，，方程在区间内有实根，所以可以为；③若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外，则，即，；④若方程在区间内有两个不相等的实根，则：，∴，∴；综合①②③④得的取值范围是．故答案为：反思总结：已知函数在区间上不单调，使得有变号零点巩固训练1．（2023上·四川泸州·高一校联考期中）“函数在区间上不单调”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为的对称轴为，所以由题意知，，解得，又，所以“在区间上不单调”是“”的必要不充分条件.故选：B.2．（多选）（2023上·福建泉州·高一福建省南安市侨光中学校考阶段练习）若函数在上不单调，则实数的值可以是（

）A．-6 B．-4 C．0 D．4【答案】BC【详解】函数图像开口向上，对称轴为，若函数在上不单调，则故选：BC.题型十含参问题讨论单调性【例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，），讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【详解】因为，其定义域为，所以，当，即时，，所以在上单调递增；当，即时，由得：，所以在上单调递增，得：，所以在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【例11】（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），的定义域为．①当即时，在上递减，在上递增，②即时，在和上递增，在上递减.【例12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，为自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），，①当时，，在递增；②当时，令，即且．令两根，则上，上，所以在递减，在递增．综上：当时，函数在递增，当时，函数在递减，在递增；反思总结：含参数单调区间讨论问题①注意定义域；②求导后有分母通分；③导函数能因式分解则因式分解；④导函数为二次不可因式分解则使用法讨论；巩固训练1．（2023·全国·高三专题练习）已知，判断函数的单调性.【答案】答案见解析【详解】由函数，可得定义域为，且，当时，，则，令，解得；令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，可得；令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，可得或；令，可得，所以在和上单调递增，在上单调递减，；当时，，所以在上单调递增；当时，令，可得或；令，可得，所以在和上单调递增，在上单调递减，.综述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，，所以在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.2．（2023上·河北承德·高三校联考期中）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），所以，令，得．当时，；；所以在上单调递增，在上单调递减．当时，；；所以在上单调递减，在上单调递增．3．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知函数．(1)设，讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），，；①当时，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，解得：或；若，则当时，；当时，；在上单调递增；在上单调递减；若，则在上恒成立，在上单调递增；若，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.题型十一函数图象与极值（点）的关系【例13】（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有三个极值点 B．为函数的极大值C．有一个极大值 D．为的极小值【答案】C【详解】解：，并结合其图象，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错，C正确；故选:C.反思总结：极值点是导函数的变号零点，注意一定要是变号零点；巩固训练1．（多选）（2022下·辽宁锦州·高二统考期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．是的极小值点C．函数在上有极大值 D．是的极大值点【答案】AD【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，故选：AD2．（多选）（2022下·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数在上递减，在上递减B．函数在上递增，在上递增C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】BD【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；故函数在时取得极大值，在时取得极小值，即函数有极大值和极小值；故选：BD．题型十二求已知函数的极值（点）【例14】（2023·全国·高三专题练习）已知为函数的导函数，且，求的极值.【答案】极小值为，无极大值【详解】因为，则，解得，因为，可得，所以，则，可得，由，可得；由，可得.所以，函数的减区间为，增区间为，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.反思总结：求极值点注意在定义域内求解，并结合图象；巩固训练1．（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中）已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【详解】因为不等式的解集为且，所以，且为的二重根，所以，则，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，即.故选：C2．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【详解】函数，由在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取极小值，所以有，由，得，解得，则有，由，得只有一个根，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；故当时，满足题意，所以有极小值，且极小值.故选：A.题型十三根据函数的极值（点）求参数【例15】（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由.(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，则，，故，所以曲线在点处的切线方程为（2）由（1）知，函数在处取得极小值，所以，此时，所以，设，则因在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，满足题意，故，反思总结：根据函数的极值点求参数，如果有多解，请一定记住回代检验答案；巩固训练1．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，，当时，令得或，令得，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点；当时，恒成立，函数不存在极值点，不符合题意；当时，令得或，令得，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极小值点，不符合题意；综上，要使函数在处取到极大值，则实数的取值范围是.故选：C.2．（2023上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围为.【答案】【详解】函数的定义域为R，求导得，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点；当时，由，解得，当时，，当时，，因此为的极值小点，于是，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：题型十四求函数的最值【例16】（2023上·江西·高一统考期中）已知函数，，直线与曲线，都相切.(1)求实数，的值；(2)记，求的最值.【答案】(1)，(2)无最大值，有最小值为.【详解】（1）设直线与曲线的切点为，因为，所以，故，所以切点为，故，设直线与曲线的切点为，因为，所以，解得，所以切点为，故，即；（2）由（1）知：，，则，（），所以，令，易知均在上单调递增，则在上单调递增，又，，故存在，使得，即，，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以无最大值，有最小值为.【例17】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为，则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，．综上所述，．反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；巩固训练1．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．【答案】(1)的极大值为，极小值为(2)【详解】（1）当时，，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值，综上，的极大值为，极小值为；（2），，故，，令得或，因为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以；综上：2．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【详解】（1）因为，所以，则，，故曲线在点处的切线方程为（2）因为，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当，为在区间的极大值且为最大值，又，，，所以在上的最大值为，最小值为.题型十五根据函数的最值求参数【例18】（2023·四川泸州·统考一模）已知是函数的极值点．(1)求的值；(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．【答案】(1)12(2)【详解】（1）因为，所以，因为是函数函数的极值点，所以，，此时，所以在上，在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，故所求的值为12.（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以，所以，所以的取值范围.反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；巩固训练1．（2023·广东·统考二模）已知函数的最小值为0，则a的值为.【答案】/0.5【详解】由，且，令，则，即在上递增，所以在上递增，又，，，，所以，使，且时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以由，得，令函数，，所以在上是增函数，注意到，所以，所以.故答案为：2．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数．(1)讨论的单调性；(2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）因为，所以．①当时，，在上严格递增；②当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；③当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；（2）由（1）可知①当时，，在上严格递增，此时在上的最大值为；②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值只有可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时；③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时，由①②③得，，∴满足条件的a的取值范围是．题型十六利用导函数解决不等式的恒成立问题【例19】（2023上·山东枣庄·高三统考期中）已知函数，．(1)若的最大值是0，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）的定义域为，．若，则，在定义域内单调递增，无最大值；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，为，解得，显然符合题意，所以的值为（2）对任意恒成立，即在上恒成立．设，则．设，则，所以在上单调递增，且，，所以有唯一零点，且，所以．构造函数，则.又函数在上是增函数，所以．由在上单调递减，在上单调递增，得，所以，所以的取值范围是反思总结：恒成立问题优先考虑变量分离法法，在分离变量时注意变量的正负，不等号是否改变；巩固训练1．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数.(1)若求曲线f(x)在处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）不等式可整理为，令，，所以当，单调递增，当，单调递减，所以，又，所以令，则，令，则，令，则，令，则，所以单调递减，，所以，单调递减，，所以，所以，，所以单调递减，，所以.2．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，，在中，，在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.∴即，，，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减.当时，在时有极小值.故符合题意，即为所求.（2）由题意及（1）得，，在中，，即对任意实数恒成立，设，则.当时，，则，故在上单调递增；当时，，则，故在上单调递减；当时，，则，故时有极小值，也就是的最小值，故即为所求.题型十七利用导函数解决不等式的能成立问题【例20】（2023上·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知函数．(1)求函数的极值；(2)证明：当时，，使得．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）易知，,当时，，函数在上单调递减；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，，使得．【例21】（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为函数，所以．设，则，故在上递减．，即，在上单调递减，最小值为．（2）令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，所以，所以，即在上恒成立；又，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．函数在区间上的最大值为．综上，只需，解得，即实数的取值范围是．反思总结：能成立问题优先考虑变量分离法法，在分离变量时注意变量的正负，不等号是否改变；巩固训练1．（2023·全国·高三专题练习）已知函，．(1)求函数的单调区间；(2)设函数为自然对数的底数．当时，若，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是．(2)3【详解】（1）．由，得．此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）当时，由（1）可知，∴，成立，故对恒成立，∵当时，，∴对恒成立，设，则．令，则．当时，，∴函数在上单调递增．而，．∴存在唯一的，使得，即．∴当时，，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增．∴当时，函数有极小值（即最小值），∵,又,∴的最大值是3．2．（2023·四川成都·校联考一模）已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，设函数，求证：有解.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：当时，，则，，则，故当时，在处的切线方程为，即.（2）证明：当时，，，，因为，故不等式有解.题型十八利用导函数解决函数的零点（方程的根）问题【例22】（2023上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知且，函数.(1)若且，求函数的最值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，函数，故，当时，，故在单调减，当时，，故在单调增，所以，又因为，，所以；（2）因为函数有两个零点故有两解，所以方程有两个不同的解，即为函数的图