人教A版高中数学选择性必修三7.3.1第2课时-离散型随机变量的均值的综合应用-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三7.3.1第2课时-离散型随机变量的均值的综合应用-同步练习1．已知随机变量X的分布列为：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)a设Y＝2X＋1，则Y的均值E(Y)等于()A．－eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)2．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝eq\f(7,3)，X的分布列为X－101Peq\f(1,2)ab则a，b的值分别为()A．a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3) B．a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,4)C．a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,6) D．a＝eq\f(3,8)，b＝eq\f(1,8)3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.224．某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天(共10周)空调的周需求量n(单位：台)，整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，则当周的平均利润为()A．10000元 B．9400元C．8800元 D．9860元5．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：第一班车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；第二班车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4).假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为()A．30B．35C．40D．256．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则()X4a9P0.50.1bA.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.627．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的均值是________．9．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲的得分X的分布列和均值E(X)．10．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1h免费，超过1h的部分每小时收费10元(不足1h的部分按1h计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩(各租一车次)．设甲、乙不超过1h还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，1h以上且不超过2h还车的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，两人租车时间都不会超过3h.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．11．已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为X012Pabc当a增大时，则下列说法中正确的是()A．E(X)增大B．E(X)减小C．E(X)先增大后减小D．E(X)先减小后增大12．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量(单位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)．每天前8小时的销售量15161718192021频数10x15161613y若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为()A．{24,25,28,29} B．{26,27,28,29}C．{20,21,22} D．{25,26,27,28}13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)为()A.eq\f(241,81)B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81)D.eq\f(670,243)14．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，以2为公比的等比数列，相应资金是以700元为首项，以－140元为公差的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为____元．15．将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为________；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为________．16．图1是一颗拥有完美正八面体晶形的钻石，其示意图如图2.设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝2.(1)求P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列及E(ξ)．参考答案与详细解析1．C[根据分布列的性质，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,3)，所以随机变量X的均值为E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的均值为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).]2．C[因为E(Y)＝2E(X)＋3＝eq\f(7,3)，所以E(X)＝－eq\f(1,3)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1×\f(1,2)＋0×a＋1×b＝－\f(1,3)，,\f(1,2)＋a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,6).))]3．B[当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.22；当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]4．D[当n≥20时，X＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000，当n≤19时，X＝500n－100(20－n)＝600n－2000，则X的可能取值为8800,9400,10000,10200，10400，P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1，则当周的平均利润E(X)＝0.1×8800＋0.2×9400＋0.3×10000＋0.3×10200＋0.1×10400＝9860(元)．]5．A[设该旅客候车的分钟数为ξ，则ξ的取值范围为{10,30,50,70,90}，P(ξ＝10)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝30)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝50)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝70)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝90)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，所以ξ的分布列为ξ1030507090Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,16)eq\f(1,8)eq\f(1,16)故E(ξ)＝10×eq\f(1,2)＋30×eq\f(1,4)＋50×eq\f(1,16)＋70×eq\f(1,8)＋90×eq\f(1,16)＝30，即该旅客候车的分钟数的均值为30.]6．ABC[由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.]7．2解析∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.8．4760元解析由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．9．解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，X的可能取值为0，－1,1，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42)，所以X的分布列为X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)因此E(X)＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).10．解(1)由题意得甲、乙在2小时以上且不超过3小时还车概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).(2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40，则P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝10)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝20)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝30)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，所以甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ010203040Peq\f(1,8)eq\f(5,16)eq\f(5,16)eq\f(3,16)eq\f(1,16)故E(ξ)＝10×eq\f(5,16)＋20×eq\f(5,16)＋30×eq\f(3,16)＋40×eq\f(1,16)＝17.5.11．B[因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)，所以0≤a≤eq\f(2,3)，所以E(X)＝0·a＋1×eq\f(1,3)＋2c＝eq\f(1,3)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝－2a＋eq\f(5,3)，所以当a增大时，E(X)减小．]12．B[设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为ξ，购进18份有机蔬菜时利润为η，则ξ的分布列如下表所示：ξ657585Peq\f(1,10)eq\f(x,100)eq\f(90－x,100)所以E(ξ)＝65×eq\f(1,10)＋75×eq\f(x,100)＋85×eq\f(90－x,100)＝83－0.1x.η的分布列如下表所示：η60708090Peq\f(1,10)eq\f(x,100)eq\f(3,20)eq\f(75－x,100)所以E(η)＝60×eq\f(1,10)＋70×eq\f(x,100)＋80×eq\f(3,20)＋90×eq\f(75－x,100)＝85.5－0.2x.由题意知，E(ξ)>E(η)，即83－0.1x>85.5－0.2x，解得x>25，又x＋y＝30且x，y∈N*，则25<x≤29且x∈N*，即x的取值集合是{26,27,28,29}．]13．B[依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，故E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).]14．500解析由分布列的性质可得a1＋2a1＋4a1＝1，所以a1＝eq\f(1,7)，2a1＝eq\f(2,7)，4a1＝eq\f(4,7).因此获得资金X的分布列为X700560420Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(4,7)所以E(X)＝700×eq\f(1,7)＋560×eq\f(2,7)＋420×eq\f(4,7)＝500(元)．15.eq\f(2,15)eq\f(3,5)解析当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有Aeq\o\al(2,2)种，所以共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(种)排列方法，六个字母在3×2的表格中进行排列，共有eq\f(A\o\al(6