统计规律课件

多粒子体系的热运动

§19.2

近独立子系的统计规律一.研究对象：大量近独立粒子组成的体系子系：体系内的粒子经典描述量子描述近独立：不计入相互作用势能但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡难点：近独立子系的最概然分布经典粒子：麦克斯韦-玻尔兹曼分布费米子：费米-狄拉克分布玻色子：玻色-爱因斯坦分布了解子系模型经典粒子：用确定的描述其运动状态彼此可以区分量子粒子：用全同波函数描述其运动状态彼此不可以区分（例：势阱中粒子）费米子玻色子（例：电子）自旋为半整数，遵从泡利不相容原理（例：光子）自旋为整数，不遵从泡利不相容原理§19.3

M-B

统计在理想气体中的应用重点：将M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律理想气体压强公式：为分子平均平动动能式中理想气体温度公式由得

实际上，每个分子的速率可以具有从零到无限大之间任意可能的值。

个别分子的速率是偶然的，大量分子的速率是有一定分布规律的。

对给定气体，当温度恒定时方均根速率也是恒定的.一、麦克斯韦分子速率分布定律条件：理想气体，平衡态（热动平衡）宏观：微观：各分子不停运动且频繁碰撞，1.内容：平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在v—

v

+dv

间的概率为:分布函数：分子速率在

v

附近单位速率区间的概率

处在温度为T

的平衡态下的气体，处于v

附近的单位速率区间的分子数占总分子数的比率（百分比）。2.麦克斯韦速率分布曲线讨论:

1）气体分子速率可取的一切值，但v很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。令数量级：Ovf(v)vp物理意义：Ovf(v)vp若将分为相等的速率间隔，则在包含的间隔中的分子数最多。最概然速率是速率分布曲线极大值所对应的速率。问：是不是速率恰好等于最概然速率的分子数最多？与总分子数的百分比是多少？解：速率分布是连续的，谈论速率恰好为某一值的分子数或概率都是毫无意义的。零窄条：分子速率在v——v+dv

区间内的概率部分：

2)

曲线下的面积讨论：vvf(v)OOf(v)v+dvOvvf(v)v1v2总面积：归一化条件Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2练习：的物理意义?单位体积内，处于速率间隔内的分子数；附近速率间隔内的分子数m一定,3)分布曲线随m,T

变化讨论：曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦

T一定,曲线峰值左移，总面积不变，曲线变尖锐。3.分子速率的三种统计平均值一般情况：Ovf(v)vp2vp1m1m2>m1T一定同理：1）平均速率2）方均根速率3）最概然速率（最可几速率)三者关系：Ovf(v)vp④练习:①②③(1)下列答案中正确的是：Ovf(v)v0SASB解：因为

由题意说明Ovf(v)v0SASB（2）解一：解二：哪一种解法对？解：区间的分子数为该区间内分子速率之和为所以该区间分子的平均速率为4.实验验证（高真空技术的发展促进验证精度的提高）教材:1955年密勒.库什实验介绍:1934年葛正权实验不同v分子到达P所用时间不等,沉淀于玻片上不同位置,用光学方法测玻片上铋厚度分布可推知分子速率分布。实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。O：铋蒸汽源P：绕中心轴转动的圆筒内贴玻片O

例题处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子(“电子气”模型),设导体中自由电子数为N,电子速率最大值为费米速率且已知电子速率在v—v+dv

区间概率为：①画出电子气速率分布曲线②③解:②由归一化条件③①Ovf(v)vF无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律麦氏分子速度分布定律保守力场中，粒子不再均匀分布二、玻尔兹曼分布重力场中粒子按高度分布规律粒子按势能分布规律或：在空间小体积速度在的分子数：对所有速度积分得体积元两点修正变量间隔改为分子数密度：重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。恒温气压公式高度计原理解：一般取海平面处气压为760mmHg讨论：由该例题可以看出，当高度上升12.4m时，气压平均下降1mmHg。例：测得黄山玉屏楼气压为625mmHg，气温17

C，空气的平均摩尔质量

=28.910-3kgmol-1，气温恒定求：此处海拔高度三.能均分定律理想气体内能各种平均能量按自由度均分1.模型的改进推导压强公式：理想气体分子——

质点讨论能量问题：考虑分子内部结构——

质点组大量分子系统：各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。分子热运动平动转动分子内原子间振动2.自由度确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度1）质点：只有平动，最多三个自由度受限制时自由度减少飞机t=3轮船t=2火车t=1例：决定质心位置t=3过质心转轴方位刚体相对于轴的方位r=3最多6个自由度:i=t+r=6定轴刚体:i=r=12）刚体3）气体分子单原子分子—自由质点i=t=3质心位置t=3双原子分子—

轻弹簧联系的两个质点xyzOCm2m1多原子分子（原子数n)最多可能自由度i=3n平动t=3转动r=3振动s=3n-6刚性多原子分子t=3r=3s=0i=63.

能均分定律分子的平均总动能:由M-B统计得,在温度T的平衡态下，物质(固，液，气)分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能定性说明：由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为由温度公式每个自由度上的平均平动动能：平均平动动能平均转动动能平均振动动能平均总动能注意:能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整体性质，对个别分子或少数分子不适用。2）理想气体内能：（分子数N）模型：分子间无相互作用~无分子相互作用势能分子动能：原子振动势能：4.理想气体的内能1）实际气体的内能：（分子数N）所有分子的动能：微振动：采用谐振动模型所有分子内原子振动势能：分子间相互作用势能：与体积

有关与T,V有关模型：刚性分子~无振动自由度分子数为N

的理想气体的内能为对1mol刚性分子理想气体单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子温度T的单值函数练习：P.63619.3.8；平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能平衡态下，物质分子的平均平动动能平衡态下，物质分子的平均总动能平衡态下，1mol理想气体内能19.10

指出下列各量的物理意义P63919-12:刚性双原子分子气体1)

N=?2)3)4)四.分子碰撞的统计规律只能求统计平均值，寻求其统计规律。分子速率分布平均动能按自由度分布都是依赖分子间频繁碰撞实现的每个分子1秒内与其它分子相撞次数连续两次相撞间经过的时间间隔连续两次相撞间通过的路程均不确定1.分子平均碰撞频率1)

模型的改变：是否需要象计算E

那样考虑内部结构？思考：是否可以象求

p那样视为质点？单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数分析分子碰撞的过程

分子间相互作用rFOr0斥力引力合力分子间最小距离d

与分子初动能有关，其统计平均值—分子的有效直径。分子相撞——视为直径为d

的刚性小球的弹性碰撞

两分子相碰过程（经典模型）rFOr0斥力引力合力2)

推导公式：“跟踪”一个分子A，认为其它分子不动，A以平均相对速率相对其它分子运动。时间

t

内，A通过的折线长以折线为轴的曲折圆柱体积圆柱内分子数A球心轨迹：折线质心与折线距离<d

的分子将与A相碰；质心与折线距离>d

的分子将不与A相碰单位时间内平均碰撞次数平均碰撞频率一般：平均相对速率ABABAB1)

定义分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。2)常温常压下：为分子有效直径的数百倍注意：2.分子平均自由程练习：P.63919-18在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认为气体分子不动。设气体分子的有效直径为d，电子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求：1.电子与气体分子的碰撞截面2.

电子与气体分子碰撞的平均自由程（气体分子数密度为n）1)碰撞截面2)设气体分子不动，电子平均速率单位时间内与电子相碰的气体分子数：平均自由程：练习：P.63919-184．讨论理想