中考数学-等腰三角形(含2种解题技巧)(含答案)

Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第18讲等腰三角形（思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形考点二等边三角形04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用►题型02根据等边对等角求解或证明►题型03根据三线合一求解或证明►题型04在格点图中画等腰三角形►题型05根据等角对等边求边长►题型06根据等角对等边证明►题型07确定构成等腰三角形的点►题型08等腰三角形性质与判定综合命题点二等边三角形的性质与判定►题型01利用等边三角形的性质求解►题型02等边三角形的判定►题型03等边三角形性质与判定综合命题点三热考题型汇总►题型01手拉手模型►题型02与等腰三角形有关的折叠问题►题型03与等腰三角形有关的动点问题►题型04与等腰三角形有关的新定义问题►题型05与等腰三角形有关的规律探究问题►题型06与等腰三角形有关的多结论问题►题型07探究等腰三角形中存在的线段数量关系Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等边三角形★★探索等边三角形的性质定理及其判定定理.【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．等腰三角形性质：1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.等腰三角形的判定：1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.【总结】证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.【易错易混】1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为3．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

5．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

考点二等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.等边三角形的性质：1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；2）等边三角形的三条边相等；3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；2）三个角都相等的三角形是等边三角形.3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【补充】1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形=31．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．14．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．35．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为

04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系.1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．132．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+b−5=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是10cm，其中一边长是2A．2cm B．4cm C．6cm4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为91°，随机选取1个内角，度数为5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据等边对等角求解或证明1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°2．（2024·陕西·中考真题）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是．

3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106° C．76° D．74°4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．►题型03根据三线合一求解或证明1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是．2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．94．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF、CE，求证：四边形

QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04在格点图中画等腰三角形1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画以EF为斜边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；(2)在（1）的条件下，在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.按要求完成下列画图．(1)在图1中画出一个以AB为底的等腰△ABD，使SABD=SABC，点(2)在图2中的边AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法)QUOTE►题型05根据等角对等边求边长1．（2024·广东广州·中考真题）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=．2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．

3．（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是．

4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DEEF的值是►题型06根据等角对等边证明1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．242．（2024·山东·中考真题）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，则F到3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，(1)求证：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．►题型07确定构成等腰三角形的点1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且△ABC是等腰三角形，则这样的点C最多有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数y1=kx(k≠0)的图象交于A(1，2)，B两点，一次函数y2

(1)求反比例函数的解析式；当y1>y(2)在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．►题型08等腰三角形性质与判定综合1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．3．（2024·山东威海·中考真题）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．4．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM命题点二等边三角形的性质与判定►题型01利用等边三角形的性质求解1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（

A．24−123m B．24−83m C．►题型02等边三角形的判定1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上填上一个适当的条件．2．（2022·青海西宁·中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（

A．△AOB是等边三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形3．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（

）A．80πcm2 B．40πcm2 C．4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求QUOTE►题型03等边三角形性质与判定综合1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：（1）∠FDB的度数是；（2）DG的长是．4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，命题点三热考题型汇总►题型01手拉手模型常见模型种类：等腰三角形

手拉手模型等边三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，△ABC,△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的．（填序号）①AD=BE

②BE=7cm③△CFG为等边三角形

④CM=137cm2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．【模型应用】（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点【拓展提高】（4）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，探究AD，BD，CD图示思路

将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接CE，DE，易证△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，在Rt△DCE中，易得CD2+CE2【类比分析】（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程；【拓展延伸】（3）若（1）中的点D在射线CB上，且CD=3BD，请直接写出

4．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是；BD和CE的位置关系是；(2)【类比探究】如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．①求∠DMC的度数；②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．

5．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；

图1(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图2►题型02与等腰三角形有关的折叠问题1．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C'，则DE的最小值为，2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则

3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点EA．8cm B．16924cm C．1674．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．QUOTE►题型03与等腰三角形有关的动点问题1．（2024·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线AD−DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为tst>0，

(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．(2)当点E与点C重合时，求t的值．(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．(2)随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．3．（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．4．（2023·重庆·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．70．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．►题型04与等腰三角形有关的新定义问题1．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（不与点B重合），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，连接CE，则CE________BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=________°；(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=120°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，M、N分别是底边BC、DE的中点，请直接写出MN与CE的数量关系（用含3．（2024·山东济宁·二模）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=AE，∠ACB与∠DCE为“同源角”．(1)如图1△ABC和△CDE为“同源三角形”，∠ACB与∠DCE为“同源角”，请你判断AD与BE的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，求sin∠EMD(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．►题型05与等腰三角形有关的规律探究问题1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B

74．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点A13,0，A32,0，A54,0，A7

2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线l:y=3x上取点A1，使OA1=1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B3．（2021·四川达州·中考真题）在平面直角坐标系中，等边ΔAOB如图放置，点A的坐标为1,0，每一次将ΔAOB绕着点О逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到ΔA1OB1A．−22020,−C．22020, ►题型06与等腰三角形有关的多结论问题1．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ=342．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当

3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是．►题型07探究等腰三角形中存在的线段数量关系1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．(1)求证：AE=BC；(2)探究AF与CF的关系，并说明理由；(3)若AD=8，CD=6，求OG的长．2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM=DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH=2∠BAM，点E在线段BH上，且HE=AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG=∠MAH，EG交AH于点F．

(1)线段AM与线段AN的关系是______．(2)若EF=5，FG=4，求AH的长．(3)求证：FH=2BM．

3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G.利用面积证明：DE+DF=CG．(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的长．(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=34．（2024·湖北十堰·模拟预测）问题探究：在综合实践活动课上，小明将△ABC绕点A顺时针旋转任意角α至△AB'C'（如图1），第三边BC所在直线与对应边B'C'所在直线相交于点O，发现夹角∠COC'与α有直接的关系：当α为锐角时，∠CO迁移应用：如图2，当α=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转角α至△ADE（点B在AE上）时，若点C恰好在DB延长线上，试探究AC，拓展实践：若△ABC中，∠ABC=45°（如图3），将△ABC绕点A顺时针旋转角α至△ADE（点B在AE上）时，若点C恰好在DB延长线上，试问： 第四章三角形第18讲等腰三角形（思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形考点二等边三角形04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用►题型02根据等边对等角求解或证明►题型03根据三线合一求解或证明►题型04在格点图中画等腰三角形►题型05根据等角对等边求边长►题型06根据等角对等边证明►题型07确定构成等腰三角形的点►题型08等腰三角形性质与判定综合命题点二等边三角形的性质与判定►题型01利用等边三角形的性质求解►题型02等边三角形的判定►题型03等边三角形性质与判定综合命题点三热考题型汇总►题型01手拉手模型►题型02与等腰三角形有关的折叠问题►题型03与等腰三角形有关的动点问题►题型04与等腰三角形有关的新定义问题►题型05与等腰三角形有关的规律探究问题►题型06与等腰三角形有关的多结论问题►题型07探究等腰三角形中存在的线段数量关系

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等边三角形★★探索等边三角形的性质定理及其判定定理.【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．等腰三角形性质：1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.等腰三角形的判定：1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.【总结】证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.【易错易混】1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．【答案】6【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，∵6+6>2，∴能构成三角形，∴第三边长为6；当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，∵2+2<6，∴不能构成三角形，舍去；综上，第三边长为6，故答案为：6．2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为【答案】35【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据AB=AC，∠A=40°，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺规作图过程可知BG为∠ABC的角平分线，由此可得∠ABG=∠GBC=1【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根据尺规作图过程，可知BG为∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案为：35°．3．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF平分∠BAC，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴点F到直线AB，AC的距离相等，∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3．故选：C．4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

【答案】4【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得DE∥BC,BC=2DE=4,得出∠C=∠AED=∠BEC,【详解】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠C=∠BEC,∴BE=BC=4,故答案为：45．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【答案】见解析【分析】根据勾股定理可得AB=5【详解】解：如图所示，

如图①，AC=AB=12+22如图②，AD=AB=12+22=5如图③，AE=AB=12+22【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．考点二等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.等边三角形的性质：1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；2）等边三角形的三条边相等；3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；2）三个角都相等的三角形是等边三角形.3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【补充】1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形=31．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由矩形ABCD得到AD∥BC，继而得到∠AEB=∠EBC，而△EBC是等边三角形，因此得到∠AEB=∠EBC=60°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠AEB=60°，故选：C．2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得∠EBC+∠DCB=180°，从而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．【详解】解：∵l∥∴∠EBC+∠DCB=180°，即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∵∠ABE=21°，∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，∴∠ACD=39°，故选：B．3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而得到OA=AB=1，判断出△AOB为等边三角形是解题的关键．【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=1，故选：C．4．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边三角形，据此求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等边三角形，∴BC=CD=1故选：A．5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为

【答案】10【分析】由菱形ABCD中，∠B=60°，易证得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=10，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系.1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x1=3，x2=7，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为【详解】解：由方程x2−10x+21=0得，x1∵3+3<7，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3+7+7=17，故选：C．2．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+b−5=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【答案】11或13/13或11【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得a,b的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+b−5=0，∴a=3，b=5，当a=3为腰时，周长为：2a+b=6+5=11，当b=5为腰时，三角形的周长为a+2b=3+10=13，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是10cm，其中一边长是2A．2cm B．4cm C．6cm【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，可以分为2cm【详解】解：依题意，当2cm则其腰长是(10−2)÷2=4(cm能够组成三角形；当2cm则其底边是10−2×2=6(cm∵2+2=4<6∴不能够组成三角形；故该等腰三角形的底边长为2cm故选：A．4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为91°，随机选取1个内角，度数为【答案】91°或44.5°【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，判断出91°的角是顶角是解题的关键．根据91°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵91°>90°，∴91°的角一定是顶角，∴底角的度数为1∴随机选取1个内角，度数为91°或44.5°．故答案为：91°或44.5°．5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为．【答案】54°或126°【分析】本题考查了等腰三角形的内容，要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．解决等腰三角形的问题时分类讨论是解决问题的关键．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=36°，CD为高，即∠ADC=90°，此时∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=180°−90°−36°=54°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=36°，CD为高，即∠ADC=90°，

此时∠BAC=∠D+∠ACD=90°+36°=126°，综上，等腰三角形的顶角的度数为54°或126°．故答案为：54°或126°．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据等边对等角求解或证明1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得∠C=180°−∠BAC【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠C=180°−∠BAC∵DA⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠ADB=∠C+∠CAD=115°．故选：B2．（2024·陕西·中考真题）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是．

【答案】90°/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，结合三角形内角和定理，可证明2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，再根据等腰三角形的性质可知∠OBC=∠OCB，由此即得答案．【详解】∵∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角，∴∠BOC=2∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴2∠A+∠OBC+∠OBC=180°，∴2∠A+2∠OBC=180°，∴∠A+∠OBC=90°．故答案为：90°．3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106° C．76° D．74°【答案】D【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，确定∠AEB=74°，再由对顶角及平行线的性质即可求解【详解】解：∵等长的支架AD,BC交于它们的中点E，∠BAE=53°，∴AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，∴∠AEB=180°−∠ABE−∠BAE=74°，∴∠AEB=∠CED=74°，∵FG∥BC，∴∠GFD=∠CED=74°，故选：D4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．【答案】11【分析】如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，易证BF=BG=AC=6，设EC=EF=x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，则(x+6)2=x2【详解】解：如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，∵CD为△ABC的中线，∴BD=AD，而∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG，∴BG=AC，∠ACD=∠G，∴AC∥∵EC=EF，∴∠ACD=∠CFE，而∠CFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=BG=AC=6，设CE=EF=x，在Rt△BCE中，B则(x+6)2解得：x=7∵∠BCA=90°，BC=8，AC=6，AD为△ABC的中线，∴AB=62+∵∠ACD=∠G，∴AC∥∴∠CBG=180°−∠ACB=90°，∵AC=BG,BC=BC，∴△ACB≌∴CG=AB=10，设CF=y，∵AC∥∴△CEF∽△GBF，∴CFFG∴y10−y解得y=14∵CD=1∴DF=CD−CF=故答案为：115【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构建全等三角形与相似三角形．►题型03根据三线合一求解或证明1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是．【答案】60°或120°【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；【详解】解：如图，当AD⊥BC时，延长AD交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=20°+40°=60°；如图，当AD⊥BC时，延长DA交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=180°−20°−40°=120°，故答案为：60°或120°2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．【答案】C【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．【详解】解：连接AD，如图：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC∴△ADE≌△CDF，∴S又∵S△ABC∴S故选：C4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作AD⊥BC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=12BC．根据sinB=ADAB=【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故选B．4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性质得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判断；C.由对称的性质得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性质即可判断；D.过O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由对称性质得∠BOH=∠COH同理可证∠AOM=∠BOH，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由对称得∠AOB=∠DOC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意；C.由对称得△OAB≌△ODC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，∴OE=OF，结论正确，故不符合题意；D.过O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由对称得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可证∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，结论正确，故不符合题意；故选：B．5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF、CE，求证：四边形

【答案】证明见解析【分析】先根据等腰三角形的性质，得到AD垂直平分BC，进而得到EB=EC，FB=FC，BD=CD，再利用平行线的性质，证明△EBD≌△FCDAAS，得到BE=FC，进而得到EB=BF=FC=EC，即可证明四边形BECF【详解】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB=EC，FB=FC，BD=CD，∵CF∥∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD，在△EBD和△FCD中，∠BED=∠CFD∠EBD=∠FCD∴△EBD≌△FCDAAS∴BE=FC，∴EB=BF=FC=EC，∴四边形EBFC是菱形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04在格点图中画等腰三角形1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底AE=1，高ℎ=3，因此四边形ABDE即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画以EF为斜边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；(2)在（1）的条件下，在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，【答案】(1)图见解析(2)图见解析，CD=【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰直角三角形的特征，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键．（1）利用网格，结合等腰直角三角形的性质，取格点D，连接DF、DE即可；（2）结合已知条件，取格点C，连接AC、BC、CD，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求作；（2）解：如图，Rt△BAC由勾股定理得：CD=14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.按要求完成下列画图．(1)在图1中画出一个以AB为底的等腰△ABD，使SABD=SABC，点(2)在图2中的边AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法)【答案】(1)图见解析，4+4(2)见解析【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等．（1）以AB为底的等腰△ABD，则点D在AB的垂直平分线上，结合SABD=SABC，即点C到AB的距离等于点D到AB的距离，即可确定点D的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出（2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得∠BEA=90°，即可得出BE⊥AC．【详解】（1）解：如图：点D即为所求．则AD=BC=2故△ABD的周长为AB+2AD=4+45（2）解：如图：BE⊥AC．理由：如图：∵AF=CG=3，AB=AG=4，∠BAF=∠AGC=90°，∴△BAF≌△AGC，∴∠GAC=∠ABF，∵∠GAC+∠BAC=∠ABF+∠BAC=90°，即∠BEA=90°，∴BE⊥AC．QUOTE►题型05根据等角对等边求边长1．（2024·广东广州·中考真题）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=．【答案】5【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，AD=BC=2，BC∥AD，进而得出∠BAE=∠EBA，再由等角对等边的性质，得到BE=AE=3，即可求出【详解】解：在▱ABCD中，BC=2，∴AD=BC=2，BC∥∴∠CBA=∠BAE，∵BA平分∠EBC，∴∠CBA=∠EBA，∴∠BAE=∠EBA，∴BE=AE=3，∴DE=AD+AE=2+3=5，故答案为：5．2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．

【答案】25+2【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出AF=AB=4，再证明△BCF∽△ACB，根据相似三角形的性质求出CF，最后由线段和差即可求出AC的长．【详解】解：如图，连接BD交AC于点F，

∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠BCD=5−2×180°5∴∠BCA=∠BAC=180°−108°∴∠ABF=108°−36°=72°，∵∠AFB=∠CBD+∠BCA=36°+36°=72°，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=4，∵∠BCF=∠ACB，∠BAC=∠CBF，∴△BCF∽△ACB，∴BCAC即4CF+4解得CF=25−2或∴AC=CF+AF=25故答案为：253．（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是．

【答案】4【分析】由∠B=∠ADB可得AD=AB=4，由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC，从而可得DC=AB=4．【详解】解：∵∠