《弹性力学》 课件 第3章 应变理论

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第3章应变理论外力(或温度变化)作用下，物体内部各部分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态，称为变形。本章任务有两个：1、分析一点的应变状态；2、建立几何方程和应变协调方程。2

第3章应变理论§3.1相对位移张量§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量§3.3几种特殊的应变状态§3.4应变分量转换公式§3.5主应变与主方向§3.6最大切应变八面体切应变§3.7应变球张量与应变偏张量§3.8应变协调方程§3.9协调方程与位移单值连续关系§3.10平面应变§3.11极坐标系下几何方程与应变协调方程3

§3.1相对位移张量

在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变化，一般说来各点的位移不同。4

如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移或平动；

如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动。§3.1相对位移张量5

如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化，称为线应变或正应变；一方面表现在微线段间夹角的变化，称为切应变。§3.1相对位移张量6

§3.1相对位移张量

物体在外力的作用下产生变形，同时也产生位置的变化。（一）位移与变形-概念（1）位移在外力作用下，物体各点位置发生变化，即发生了位移。若物体内各点发生位移后仍保持各点初始状态的相对位置，则物体只发生了刚体平移和转动，这种位移称之为刚体位移。（2）变形若物体内各点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时产生了形状和大小的变化，则称物体产生了变形。7

（一）位移与变形-位移矢量§3.1相对位移张量描述物体位置变化的矢量为位移矢量。上述位移矢量包含两部分：刚体位移与变形。8

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量平面Oxy平面内物体相邻两点和。受力后，移动至和。P点到Q点的矢量表示为，

点到的矢量表示为9

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量在移动过程中P点位移分量为：Q点位移分量为：矢量沿坐标轴分量为：矢量沿坐标轴分量为：10

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量分析点P和点Q位移以及矢量和之间关系。将Q点位移分量对P点按泰勒级数展开，可得：即：11

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量根据点P和点Q位移分量表达式：记矢量和变位前后变化量为，则：12

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量因此矢量在变位前后，其位移分量变化量为：于是有：13

（二）相对位移张量§3.1相对位移张量即：点Q与点P之间相对位移分量可用上式表达。其系数矩阵组成的张量称为相对位移张量。二维情况下：表示由当为1和2时对的偏导数组成的张量。三维情况下：14

（一）应变张量-数学定义§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量分解二维相对位移张量，如下：对称张量反对称张量物体变位过程中发生变形的应变张量物体刚体转动位移的刚体转动张量15

（一）应变张量-数学定义§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量三维相对位移张量轴向(纵向)应变：g：切应变g直角改变量六个应变分量§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量17

（二）应变张量-物理意义§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量物体变形：线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOPABvu变形前变形后PABuv注：略去了二阶以上高阶无穷小量。18

（二）应变张量-物理意义§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量PA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化xyOPABuv19

（二）应变张量-物理意义§3.2应变张量、几何方程与刚体转动张量自学刚体转动刚量20

（一）均匀应变§3.3几种特殊的应变状态当位移分量u、v、w是坐标x、y、z的线性函数，由这种位移对应的应变称为均匀应变。均匀应变的位移分量（u、v、w

）用矩阵形式表示为：式中、、、、、、

......均为常数。21

（一）均匀应变以等截面岩石试件的压缩为例，如图所示，试件的下端面与不动的光滑刚体平面相接触，试件内坐标为（、、）点的位移分量为：其中和均为常数，为泊松系数。在变形后，该点的坐标（、、）为：§3.3几种特殊的应变状态22

（一）均匀应变变形前，可在弹性体内找一圆球面方程：变形后，由式解、、并代入式，得：

式为一椭圆球面的方程。可见，变形前的圆球面，经过变形后为椭球面，即圆球面变成椭球面。§3.3几种特殊的应变状态23

（一）均匀应变均匀应变有下列性质：各应变分量在物体内为常数，此即均匀应变。变形后，物体内的平面仍为平面。变形后，物体内任一直线仍为直线。原平行直线变形后仍为平行直线。

两平行直线可视为两平行平面与另一平面的交线，由前述结论可知，两平行平面在变形后仍为两平行平面。它们与变形后的另一平面的交线自然仍为平行直线。正平行六面体变为斜平行六面体。

变形前的正平行六面体，经变形后，平行面仍保持平行，由性质（1）可知，剪应变一般不全为零，即变形前互相垂直的平面，经过变形后不再垂直而变成斜平行六面体。圆球面变成椭球面，证明如上。§3.3几种特殊的应变状态24

（二）刚性位移若应变张量中六个应变分量均为零，则微单元体的体积和形状都不变，此时物体所发生的位移称为刚性位移。§3.3几种特殊的应变状态25

（二）刚性位移求，应求:u是x的常函数位移分量：§3.3几种特殊的应变状态26

（二）刚性位移类似方法求：可得：其中，均为常数。同理可得：其中，分别表示刚体沿x、y、z

轴的平移常数，用表示。§3.3几种特殊的应变状态27

（二）刚性位移其中：p、q、r为物体绕各坐标轴的转角。§3.3几种特殊的应变状态28

（三）纯应变若应变分量不等于零，而转动分量、、均等于零，这样的应变叫做纯应变。由为零，可得：此三等式是全微分的条件，这时必存在一个函数（x，y，z），使得：§3.3几种特殊的应变状态29

（三）纯应变即：因而函数称为位移矢量的势函数，则位移旋度为零，即：纯应变也称为无旋应变§3.3几种特殊的应变状态30

§3.4应变分量转换公式应变分量转换公式用于求解不同坐标系下应变张量分量之间关系。P点应变状态在坐标系Oxyz中，可用以下应变张量表示：P点应变状态在坐标系中为：31

§3.4应变分量转换公式若计：则，应变分量转换公式可写作：注意，转换矩阵中每行或每列元素平方和为1。32

（一）主应变与主方向§3.5主应变与主方向问题：对于某一点而言，是否存在一个坐标系，使得该点应变状态只有正应变分量，而剪应变分量为零。根据斜截面应变公式：为常数。上述方程组存在非零解，故系数矩阵行列式为零。33

（一）主应变与主方向§3.5主应变与主方向即特征方程为：式中：

、、为应变张量的第一、二、三不变量。对某一点，其应变张量不变量不随坐标变化而变化，为常数。特征方程的三个解为主应变，主应变代回方程，与方向余弦之和为1联立，可得主方向。34

（二）基本性质§3.5主应变与主方向主应变性质：不变性、实数性、极值性主方向性质：正交性在主方向空间：35

（三）示例§3.5主应变与主方向假设某物体内位移场如下式：式中，A为常数，确定：在点P（1,1,0）处主应变。解：根据上节示例，得：36

（三）示例§3.5主应变与主方向在点P（1,1,0）的应变张量为：特征方程为：即：可得：37

§3.6最大切应变八面体切应变在材料屈服强度研究中，有时采用基于应变的表达式。与§2.7节类似，可以得到最大剪应变与八面体剪应变。（一）最大剪应变选取主方向为坐标轴方向，设主应变为、、，已知，则法线为的斜截面上应变矢量大小为：正应变为：剪应变为：当法线变化时，剪应变随之变化。最大剪应变是在约束下的条件极值。38

（一）最大剪应变与§2.7节求解最大剪应力方法相同，可得最大剪应变为：（二）八面体剪应变八面体是由法线与主轴等夹角的八个面组成的体。八面体正应变为：八面体剪应变为：由斜截面应变公式可得：§3.6最大切应变八面体切应变39

§3.7应变球张量与应变偏张量（一）应变张量分解平均主应变：各个方向主应变大小相同，故称之为应变球张量。表示物体受各向同向外部作用使得物体体积大小发生变化。称之为应变偏张量。表示物体受到外部各方向差异作用使得物体形状发生变化。40

（二）应变偏张量不变量应变偏张量具有对称性，可以求得应变偏张量的主偏应变和主方向。按照求解主偏应力和主方向方法，可以求得偏应变张量的特征方程为：式中，特征方程的三个解为主偏应变，主偏应变带回方程，与方向余弦之和为1联立，可得主方向。偏应变张量与应变张量主应变大小之差为平均主应变。偏应变张量与应变张量主方向一致。§3.7应变球张量与应变偏张量41

§3.8应变协调方程（一）应变协调物体变形后仍保持其连续性和整体性。应变协调与不协调的情况：42

（二）应变协调方程在二维情况下，有2个位移分量（、），但有3个应变分量(

、、），因此3个应变分量不独立。根据几何方程：可得：§3.8应变协调方程43

（二）应变协调方程类似地，三维情况下：§3.8应变协调方程44

（一）单连通体（域）和多连通体（域）定义如果物体所占的区域只有一个连续边界，就称此物体为单连通体（域）；反之，如果物体所占的区域多于一个连续边界，就称此物体为多连通体（域）。也可以把单连通体定义为没有孔洞的物体，把多连通体定义为开有一些孔洞的物体，图3.9-1为平面单连通体，图3.9-2为平面多连通体，图3.9-3为一个锚环，它是一圆环环绕与其共面但不相交的轴旋转而成的物体。它是空间多连通体的一个例子。图3.9-1单连通体图3.9-2平面多连通体图3.9-3空间多连通体§3.9协调方程与位移单值连续关系45

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明

对于单连通体，为什么满足了（3.9-1）所示的协调方程后位移函数就单值连续呢？（3.9-1）§3.9协调方程与位移单值连续关系46

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明由式（3.9-2）其中由式（3.9-3）给出，由（3.9-4）给出。（3.9-3）（3.9-4）§3.9协调方程与位移单值连续关系47

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明由式（3.9-3）和（3.9-4）二式可得：（3.9-5）（3.9-6）（3.9-7）§3.9协调方程与位移单值连续关系48

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明上面三式分别是位移分量、、的微分方程。若应变分量和转动分量已知，求上面三式的积分，就可分别求得位移分量、、。现在来证明：在求上述积分时，必须满足应变协调方程（3.9-1）式。

从数学分析上可知，方程是可以积分的。§3.9协调方程与位移单值连续关系49

如果A、B、C存在关系：（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明即：全微分的条件，也是线性积分与积分路线无关的条件。对单连通域，满足这个条件后，所得积分是单值的。把上述积分的条件（3.9-8）式运用于（3.9-5）式，此时则可积分的条件为：§3.9协调方程与位移单值连续关系50

利用（3.9-5）式，并经整理后，可把上式写为：（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明由（3.9-4）式不难验证：利用（3.9-9）式，化简的第三式，将式重写如下：（3.9-9）§3.9协调方程与位移单值连续关系51

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明类似地，将可积分条件（3.9-8）式分别运用于（3.9-6）、（3.9-7）两式，分别可得下面两组可积分条件：从、、式得三个转动分量、、对坐标、、的九个偏导数，如果应变分量已知，则转动分量可以确定。§3.9协调方程与位移单值连续关系52

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明现将、、三式所示的偏导数重新排列如下：§3.9协调方程与位移单值连续关系53

进一步对、、三式分别运用可积分条件（3.9-8）式，[例如，对式运用可积分条件]，并稍加整理，可分别得到如下三式：（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明§3.9协调方程与位移单值连续关系54

（二）单连通体（域）协调方程与位移单值连续关系证明在、、三式所示的关系中，有些关系是相同的，如：式的第三式与的第二式相同。式的第二式与的第一式相同。式的第三式与的第一式相同。所以仅有六个关系式是不同的，这不同的六个关系式完全与应变协调方程（3.9-1）相同，因此应变协调方程、、的必要和充分的可积分条件，也是（3.9-5）至（3.9-7）三式的必要和充分的可积分条件。因而在单连通域里如六个应变分量已知，并满足应变协调方程，则保证可以求得正确的位移分量。§3.9协调方程与位移单值连续关系55

§3.10平面应变（一）平面应变概念平面应变是指有且仅有一个主应变为零的状态。例如，荷载作用在无限长挡土墙上，由于在墙厚方向约束无限大，因此，墙厚方向应变分量全部为零。设墙厚方向为z，则应变张量可表示为：56

（一）平面应变概念对具有以下特征的构件，可作为平面应变问题处理：（1）构件纵向（如Z轴方向）的尺寸远大于横向（如x,y轴方向）尺寸；（2）与纵向（z轴）垂直的各横截面的尺寸和形状相同；（3）所有外力均与纵轴（z轴）垂直，并且沿纵轴（z）轴没有变化；（4）物体的约束（支承）条件不随Z轴变化。长直堤坝、隧道圆柱形长管（受油压、水压）作用圆柱形长辊轴（受垂直与轴的均匀压力）§3.10平面应变57

（一）平面应变概念-对比平面应力对具有以下特征的构件，可作为平面应力问题处理：（1）构件纵向（如Z轴方向）的尺寸远小于横向（如x,y轴方向）尺寸；如等厚度薄板；（2）外力作用于周边上，并于xoy平面平行，体积力垂直z轴；（3）由于板的厚度很小，故外力可看作沿着z轴均匀分布，且为常量。yzxytba§3.10平面应变58

（二）应变分量转换公式若坐标轴逆时针旋转，求旋转后应变分量表达式：ɛɛ§3.10平面应变59

（二）应变分量转换公式（三）主应变与主方向任意斜截面上剪应变为：§3.10平面应变60

（三）主应变与主方向主方向上剪应变为零，即：可得：或代入正应变分量，得到主应变大小为：§3.10平面应变61