高考数学人教A版理科第一轮复习高考大题专项练六

高考大题专项练六高考中的概率与统计1.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).(1)①请根据图示,将2×2列联表补充完整;优分非优分总计男生女生总计50②据此列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?(2)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.附:P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2=n(2.为了了解某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和利润z的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y关于x的线性回归方程y^=b(2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润z取到最大值?(保留两位小数)参考公式:b^3.(2017江苏,23)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<n(4.某制药厂对A,B两种型号的产品进行质量检测,从检测的数据中随机抽取10次,记录如表(数值越大表示产品质量越好):A7.99.08.37.88.48.99.48.38.58.5B8.29.58.17.59.28.59.08.58.08.5(1)画出A,B两种型号的产品数据的茎叶图;若要从A,B两种型号的产品中选一种型号产品投入生产,从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由;(2)若将频率视为概率,对A种型号产品今后的三次检测数据进行预测,记这三次数据中不低于8.5的次数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(xix∑i=18(wiw∑i=18(xix)(yi∑i=18(wiw)(yi46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi,w(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题:①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^6.(2017全国Ⅰ,理19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^3σ^,μ^+3σ^附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.008≈0.答案：1.解(1)①根据图示,将2×2列联表补充完整如下:优分非优分总计男生92130女生11920总计203050②K2的观测值k=n=50×(9×因为3.125>2.706,所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该学科成绩与性别有关”;(2)将男女生成绩的优分频率f=2050=0.4视作概率,设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,优分人数为X,则X服从二项分布B(3,0.故所求概率为P(X=2)+P(X=3)=C32×0.42×0.6+C33×0.43=2.解(1)x=3,y=5,∑i=15xi=15,∑i=1∑i=15xiyi=62.7,∴b^=1.23,a^=8.∴y关于x的线性回归方程为y^=8.691.23x(2)∵z=x(8.691.23x)2x=1.23x2+6.69x.∴当x≈2.72时,年利润z最大.3.解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:p=Cm(2)随机变量X的概率分布为:X111…1…1PCCC…C…C随机变量X的期望为:E(X)=∑k所以E(X)<1=1=1(n-1)Cm+=1(n-1)=1(n-1)=…=1(=Cm即E(X)<n(4.解(1)A,B两种型号的产品数据的茎叶图如图,∵xA=110(7.8+7.9+8.3+8.3+8.4+8.5+8.5+8.9+9.0+9.4)xB=110(7.5+8.0+8.1+8.2+8.5+8.5+8.5+9.0+9.2+9.5)sA2=110[(0.7)2+(0.6)2+(0.2)2+(0.2)2+(0.1)2+0+0+0.42+0.52+0.92sB2=110[(1)2+(0.5)2+(0.4)2+(0.3)2+0+0+0+0.52+0.72+∵xA=xB,sA2(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.A种型号的产品不低于8.5的频率为510若将频率视为概率,则ξ~B3,∴P(ξ=k)=C3k12∴ξ的分布列为:ξ0123P1331∴E(ξ)=0×18+1×38+2×38+5.解(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.因为d=108.8c^=y-d^w=56368所以y关于w的线性回归方程为y^=100.6+68w因此y关于x的回归方程为y^=100.6+68x(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y^=100.6+6849=576.年利润z的预报值z^=576.6×0.249=66.32②根据(2)的结果知,年利润z的预报值z^=0.2(100.6+68x)x=x+13.6x+20.12所以当x=13.62=6.8,即x=46.24故当年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.6.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1P(X=0)=10.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.