2015年人教版八年级数学下册全册教案

平行四边形及其性质（一）

一、教学目标

1、理解并掌握平行四边形的定义

2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2

3、理解两条平行线的距离的概念

4、培养学生综合运用知识的能力

二、重点难点和关键

重点：平行四边形的概念和性质1和性质2

难点：平行四边形的性质1和性质2的应用

三、教学过程

复习

1、什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？

2、一般四边形有哪些性质？

3、平行线的判定和性质有哪些?

新课讲解

1、引入

在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如推拉门、汽车防护链、书本等,

都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？

2、平行四边形的定义：

（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）几何语言表述・・•AB〃CDAD〃BC二四边形ABCD是平行四边形

（3）定义的双重性具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形"，反过

来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。

（4）平行四边形的表示：用2符号&表示，如ABCD

3、平行四边形的性质

（1）共性：具有一般四边形的性质

（2）特性：（板书）

角-------►平行四边形的对角相等

边-------►平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

4、两条平行线的距离（定义略）

注意：

（1）两相交直线无距离可言

（2）与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系

5、例题讲解教材B132例1

已知：如图A'B'〃BA,B'C'〃CB,C'A'〃AC.

求证：（1）NABC=NB',/CAB=NA',NBCA=NC'.

（2）ZiABC的顶点分别是△B'C'A'各边的中点.

说明：（1）引导学生利用平行四边形的性质

（2）师生通过讨论共同写出解题过程

6、巩固练习：

（1）在平行四边形ABCD中，NA=50°,求NB、NC、ND的度数。

（2）在平行四边形ABCD中，NA=NB+240,求NA的邻角的度数。

（3）平行四边形的两邻边的比是2：5,周长为28cm,求四边形的各边的长。

(4)在平行四边形ABCD中，若NA：ZB=2：3,求NC、ND的度数。

(5)如图，AD〃BC,AE〃CD,BD平分/ABC,求证AB二CE

(6)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证AF=CE

小结

1、平行四边形的概念。

2、平行四边形的性质定理及其应用。

3、两条平行线的距离。

4、学法指导：在条件中有“平行四边形”你应该想到什么？

作业:教材P⑷2⑴、(2)3、40

平行四边形及其性质(二)

教学目的：

1、知道平行四边形、两条平行线间的距离的概念；会说出并熟记平行四边形对角

相等，对边相等的性质。

2、会度量两条平行线间的距离；会利用平行四边形对边相等，对角相等的性质进

行有关的论证和计算。

3、在由点到直线的距离来定义两条平行线间的距离的过程中，让学生感受知识之

间的联系和发展，培养灵活应用所学知识解决问题的能力

4、渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物

主义观点

5、培养观察、分析、归纳、概括能力.

教学重点：两条平行线间的距离的概念平行四边形的进行有关的论证和计算。

教学难点：探索、寻求解题思路.

教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法

教学过程：

1复习:四边形的内向和、外角和定理？

平行四边形的性质定理的内容

2.讲解

练一练：课本例1后练习第1、2题。

说明和建议：要求学生在解答时先画出图形，写出应用平行四边形性质定理求解的

过程

猜一猜：如图4.3-3,〃々，线段AB〃CD〃EF,且点A、C、E在片上，B、D、F在4

上,则AB、CD、EF的大小相等吗?为什么？还能画出与AB等长的线段吗?试一试可以

画出几条？

说明和建议：学生不难猜得结论并加以证明，让学生经历合情推理到逻辑推理的思

维过程。学生通过画图可以进一步感知：夹在两条平行线间的平行线段相等。

问题：如图4.3—3中，线段AB、CD、EF都与直线4垂直，那么又可以得到什么结

论？说明与建议：学生由AB〃CD〃EF,得到AB二CD二EF。教师接着可指出：这说明夹在

平行线间的垂线段相等。然后，引导学生理解两平行线间的距离的意义，即一条直线上

的任一点到另一条直线的距离。

量一量：在图4.3—4中，AB〃CD,量出AB与CD之间的距离。

建议：要求学生先画出表示AN、CD间距离的线段，再量出它的长度。

（1）（2）

图4.3-4

例题解析

例：（即课本例1）说明：（1）因为图中的平行线段多，因此可引导学生用“化繁为

简”的方法，从图4.3—5（1）中分解出图（2）、（3）、（4）o（2）在例中的第2

小题，还可以用平行四边形性质定理2的推论来证明，证明如下：

(A)1：5(B)1：4(C)1：3(D)1：2

平行四边形的性质及判定（复习课）

教学目的：

1、深入了解平行四边形的不稳定性；

2、理解两条平行线叵的距离定义（区别于两点间的距离、点到直线的距亶）

3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3

和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计兑；

4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊

--一般-特殊”的辨证唯物主义观点。

教学重点：平行四边形的性质和判定。

教学难点：性质、判定定理的运用。

教学程序：

一、复习创情导入

平行四边形的性质：

边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行

线间的平行线段相等。

角：对角相等（定理1）;邻角互补。

平行四边形的判定：

边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；

一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）

二、授新

1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法：

2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。

3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。

5、尝试练习：完成习题，解答疑难。

6、深化创新：平行四边形的性质：

边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行

线间的平行线段相等。

角：对角相等（定理1）;邻角互补。

平行四边形的判定：

边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；

组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）

7、推荐作业

1、熟记“归纳整理的内容”；

2、完成《练习卷》；

3、预习：（1）矩形的定义？

（2）矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么？

（3）怎样证明？

（4）例1的解答过程中，运用哪些性质？

思考题

1、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题？根据题设利结论写出已

知求证；

2、如何证明性质定理3的逆命题？

3、有几种方法可以证明？

4、例2的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？

5、例3的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？

跟踪练习

1、在四边形ABCD中，AC交BD于点0,若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形

ABCD是平行四边形。（）

2、在四边形ABCD中，AC交BD于点O,若OC=且，则四边

形ABCD是平行四边形。

3、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是（）

（A）一组对角相等；（B）对角线相等；

（C）两条邻边相等；（D）对角线互相平分。

创新练习

已知，如图，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过0点的直线交BC

和AD于E、F,求证：四边形BEDF是平行四边形。（用两种方法）

达标练习

1、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点0,且与

AB交于E,与CD交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。

2、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是

OA、OC的中点，求证：BM〃DN,且BM=DN。

综合应用练习

“^1、下’列条件中，能做出平行四边形的是（）

（A）两边分别是4和5,一对角线为10；

（B）一边为4,两条对角线分别为2和5；

（C）一角为600,过此角的对角线为3,一边为4；

（D）两条对角线分别为3和5,他们所夹的锐角为450。

推荐作业

1、熟记“判定定理3”；

2、完成《练习卷》；

3、预习：

（1）“平行四边形的判定定理4”的内容是什么？

（2）怎样证明？还有没有其它证明方法？

（3）例4、例5还有哪些证明方法？

平行四边形的判定（二）

一、教学目的和要求

使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的

逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。

二、教学重点和难点

重点：掌握平行四边形的判定定理；

难点：灵活恰当地运用判定定理。

三、教学过程

（一）复习、引入

提问：

1.平行四边形有什么性质？

2.我们学习了哪些平行四边形的判定定理？

我们学习了利用“边”的条件来划定一个四边形是平行四边形，它是平行四边形边

的性质定理的逆定理。那么平行四边形的对角及对角线的性质定理的逆命题是否成立

呢？

（二）新课

平行四边形的判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

已知：如图1,四边形ABCD中==

求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析：四边形的内角和是360。，乂知道对角相等，容易由同旁内角互补来证明两组

对边分别平行。

证明由学生完成。

平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

己知：如图2,四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，且4。=。。，BO=ODo

求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析、证明都可由学生讨论完成，最后指出用一组对边平行且相等来判定最为方便。

例1已知：如图3,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF。

求证：四边形BFDE是平行四边形。

分析：已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由

于E、F在对班线上，显然用对角线互相平分来判定，

证明：连结BD交AC于O。

平行四边形A8CO；.OA=OC,0B=0D

AE=CF

.\AO-AE=OC-CF即EO=OF

・•.四边形A8CD是平行四边形

（对角线互相平分的也边形是平行四边形）

这道题，还可以利用"BE=ADFC,MED=用对边相等或平行来判定平行

四边形，相比之下使用对角线较简便。

例2已知：如图4,DE1AC,BF1AC,DE=BF0=Z.DBC

求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析：1.由于=所以AD〃BC,只要再证AD=BC即可。

2.由于DE平行且等于BF,可证DB与EF互相平分，但要使DB与AC互相平分,

还需证AE—CFo

经过比较两种证法，第一种较简便。

证明：•;NADB=4DBC：.AD//BC

Zl=Z2

DELAC,BF1AC

ZDEA=ZCFB=90°

又DE=BF

AADE三NCBFAD=EC

二.四边形A8CD是平行四边形。

（三）巩固练习

1.如图5,四边形AECF是平行四边形，ZB=ZDo

求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析：N3=NO已经使四边形ABCD有一组对角相等了，所以应该再考虑的第二

个条件是证明另一组对角相等。

证明：•.•四边形AECF是平行四边形

CF//AENDCB+N8=180。，NDAB+N。=180°

•;ND=NB:.NDCB二NDAB

二.四边形A8C。是平行四边形。

由于D、B点分别是原平行四边形AECF对边AE、CF延长线上的点，所以可得

CD//AB,只要再证AD//BC即可。

2.如图6,平行四边形ABCD中，BE=DF,AG=CH。

求证：四边形GEHF是平行四边形。

此题与例1有相似之处，可以用两种判定方法来判定平行四边形都较简便c

证法（一）：

连结EF交AC于。点。

•.•平行四边形48CO

・•.A8平行且等于

EB=DF

A£平行且等于。尸

，四边形是平行四边形

EO=OF,AO=CO

乂•：AG=CH,：.OG=OH

.•.四边形G石”尸是平行四边形。

证法（二）：

•••AE平行且等于CT

Zl=Z2

又-AG=CH

\AEGN\CFH

/.EG=HF,ZAGE=ZCHF

/.180o-Z4GE=l80°-ZCHF

即:NEGH=ZFHGEG//FH

四边形是平行四边形。

（四）小结

我们学习了平行四边形的定义，性质、判定、画法。平行四边形的性质和判定尤为

重要，同学们要掌握好。

照仅物洲坪行

性质陶附幼冽血

平?叫a形边监刑1得

判定阳的盼哪।落

xwsatw

希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，比较

・下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。

（五）作业

1.已知：AC是平行四边形ABCD的对角线，于M，ON」/C于N。求证：

四边形BMND是平行四边形。

2.如图7,BD、CE互相平分于M,A、B、C在同一直线上，且AB=BC。求证:

AE//BDo

图7

3.已知：如图8,平行四边形ABCD中，A£LBQ,BM_L4C,CNJ_BQ,QF_L4C。

求证：MN//EFo

图8

4.已知：如图9,AB//DC,=ZADC,AE=CF,BE=DF0求证：EF与AC

互相平分。

WI9

矩形的性质（一）

教学目标

1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.

2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

3、渗透运动联系、从量变到质变的观点.

教学重点和难点

重启是矩叁的性质；难点是性质的灵活运用.

教学过程设计

一、用运动方式探索矩形的概念及性质

1、复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质.

2、复习平行四边形和四边形的关系.

3、用教具演示如图4-29中，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，

并理解矩形与平行四边形的关系.

分析：

（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程.

（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“匹个角都

是直角的行四边形是矩形”来定义矩形.

（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它

自己特殊的性质（个性）.

（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质.

①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）.

②角:四个角是直角（性质定理1）.

③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）.

4、证明矩形的两条性质定理及推论.

引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，

规范证明两条性质定理及推论.指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直

角三角形很重要的一条性质.

二、应用举例

例1已知：如图4-30,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD

的长及A到BD的距离AE的长.

分析：

（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可

以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，

边：

角：两锐角互余.

边角关系：30。角所对的直角边等于斜边的一半。

（2）利用方程的思想，解决直角三角形中的计算。设AD=xcm,则对角线长（x+4）cm,由

题意，x2+82=（x+4）2.解得x=6.

（3）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、

斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEXDB=ADXAB,解得AE=4.8cm.

例2如图4-31（a）,在矩形ABCD中，两条对角线交于点0,ZA0D=120°,AB

=4.求：

（1）矩形对角线长；（2）BC边的长；（3）若过0垂直于BD的直线交AD于E,交BC

于F（图4-31（b））.求证：EF=BF,0F=CF；（4）如图4-31（c）,若将危形沿直

线MN折叠，使顶点B与D重合，M,N交AI）于M,交BC于N.求折痕MN长.

分析：

（1）矩形ABCD的两条对角线AC,BD把矩形分成四个等腰三角形，即AAOB,ABOC,

△COD和ADOA.让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路.

（2）由已知NAOD=120°及矩形的性质分解出基本图形“含30°角的直角三角

形”，经过计算可解决（2）,（3）题.

（3）第（4）题是用“折叠”方式叙述已知，利用轴对称的知识可以得到：折痕MN

应为对角线BD的垂直平分钱，即为第（3）题中的EF.根据第（3）题结论：MN=BC=2NC=

例3已知：如图4-32（a）,E是矩形ABCD边CB延长线上一点，CE=CA,F为

AE中点.求证：BF1FD.

证法一如图4-32（a）,由已知“CE二CA,F为AE中点」，联想到“等腰三角形三合一”

的性质.

连结FC,证明Nl+N2=90,问题转化为证明Nl=N+3,这可通过△AFDgABFC（SAS）

来实现.

证法二如图4-32（b）,由求证“BF_LFD”联想“等腰三角形三线合一”，构造以DF

为底边上高的等腰三角形，分别延长BF,DA交于G,连结BD,转化为证明aBDC为等腰

三角形以及F为GB中点，这可通过4AGFgZ\EBF（ASA）及GD二EC=AOBD来实现。

三、师生共同小结

矩形与平行四边形的关系，如图4-33.指出由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条

件：一个角是直角.

矩形的概念及性质。

矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。

四、作业：课本第149页2,4题，第160页第2,5题。

补充题：

1、如图4-34,E为矩形ABCD对角线AC上一点,DEJ_AC于E,ZADE:ZEDC=2:3,

求：ZBDE的度数.（答：18。）

2、如图4-35,折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD,再折叠使A落在对角线BD上

A'位置上，折痕为DG。AB-2,BC-lo求；AG的长。（答5T2）。

矩形的性质（二）

教学目的：

1、理解并掌握矩形的定义；掌握矩形的性质定理1、2及推论；3、会用这些定理

进行TT关的论证和计算；

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；

3、在教学中渗透事物总是相互联系乂相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：矩形的性质定理1、2及推论。

教学难点：定理的证明方法及运用。

教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法。

教学用具：小黑板、投影仪、圆规、三角板、矩形木架一个。

一、复习创情导入

1、复习：

（1）平行四边形的对角相等；

（2）平行四边形的对角线互相平分；

?矩形的角有什么特点呢？

?矩形的对角线有什么特点呢？

二、授新

1、提出问题

（1）矩形的定义？

（2）矩形的性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明

（3）矩形的性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明

（4）矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？

（5）例1的解答过程中，运用哪些性质？

2、H学质疑：H学课本P83-85页，完成预习题，并提出疑难问题。

3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳：

（1）矩形的定义：它具备两个性质（）

⑵矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角。

已知：在矩形ABCD中，ZA=90°,

求证：NB二NC=ND=90°。（邻角互补）

（3）矩形的性质定理2：矩形的对角线相等。

已知：矩形ABCD,对角线AC、BD,

求证AC二BD。（证明三角形全等）

（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：直角三角形ABC中，ZB=90°,OA=OC,求证：OB二,AC。

2

5、尝试练习：

（1）跟踪练习1—4O

⑵运用所学解决实际问题：

例1：已知；如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOD=120°,AB=4cm,求

矩形对角线的长。

解：四边形ABCD是矩形，

所以AC=BD（矩形的对角线相等）Ap---ziD

又因为OA=OC=1/2BD,

所1以OA=ODo

所以ZAOD=120°,B------------C

所以NODA=/OAD=l/2（1800-1200）=30°。

乂因为NDAB=90°（矩形的四个角都是直角）

所以BD=2AB=2X4cm=8cm.

（3）跟踪练习5o

（4）达标练习1—-4o

6、深化创新：

通过今天的学习：

（1）矩形的判定有什么依据？

（定义：有一个角是直角的平行四边形）（两个条件）

（2）矩形有哪些性质？（矩形是平行四边形（定义））

定理1：矩形的四个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

7、推荐作业：

（1）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；

（2）如何证明?

（3）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；

（4）如何证明？

（5）例2的解答中，运用了哪些性质及判定？

预习思考题：

（1）矩形的定义？

(2)矩形的性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？

(3)矩形的性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？

(4)矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？

(5)例1的解答过程中，运用哪些性质或判定？

跟踪练习题：

(1)矩形的定义中有两个条件：一是,二是。

(2)有一个角是直角的匹边形是矩形。()

(3)矩形的对角线互相平分。()

(4)矩形的对角线o

(5)矩形的一边长为15cm,对角线长17cm,则另一边长为,该矩形

的面积为。

创新练习题：

(1)矩形的对角线把矩形分成()对全等的三角形。

(A)2(B)4(C)6(D)8

达标练习题：

(1)已知矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为60°,则矩形的边

长分别为、、、.

(2)已知【矩形的一条对角线与一边的夹角为300,则矩形两条对角线相交所得的四

个角的度数分别为、、、o

(3)矩形的两条对角线的夹角为600,对角线长为15cm,较短边的长为()

(A)12cm(B)l()cm(C)7.5cm(D)5cm

(4)在直角三角形ABC中，ZC=900,AB=2AC,求NA、NB的度数。

综合应用练习：

(1)已知：矩形ABCD中，BC=2AB,E是BC的中点，求证：EA1EDO

(2)如图，矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=AE,求证：NCBE的度数。

推荐作业：

1＞熟记定义、性质；

2、完成《练习卷》；

3、预习：

(1)矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；如

何证明？

(2)矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；如

何证明？

(3)例2的解答中，运用了哪些性质及判定？

矩形的性质(三)

一、教学目的和要求

使学生掌握矩形的定义和性质，理解并掌握矩形和平行四边形的联系和区别，使学

生能应用以上知识解决有关问题，培养学生的逻辑推理能力。

二、教学重点和难点

重点：掌握矩形的性质

难点：利用矩形的性质解决问题

三、教学过程

（-）复习、引入

提问：

1.什么叫平行四边形？

（学生回答后强调任何定义都具有可逆性，即是定义，又是判定。）

2.叙述平行四边形的性质和判定定理，（再强调分析命题的条件与结论的关系）。

（二）新课

这一节课我们要研究特殊的平行四边形。演示教具，使平行四边形的一个内角变化

成直角，指出，它仍然满足平行四边形的定义，所以它仍是平行四边形，由于角特殊，

因此是特殊的平行四边形——矩形。（板书课题）

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是平行四边形，但角特殊，它首先具有平行四边形的一切性质，还具有本身的

特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。

如图1,矩形ABCD中,NBAD=90°

AABC=/BCD=NCDB=/BAD=90°

在AA8C和APC8中，AB=DC,/ABC=/DCB,BC=BC

;4BC=bDCB:.AC=BD

：.OA=OC,OB=OD

.\AO=OC=BO=OD

这样我们很容易得到矩形除平行四边形性质之外的两条性质，它与矩形的角和对角

线有关，与边无关。

A___r

国

BC

图1

矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角。

矩形性质定理2：矩形的对角线相等。

从匕图中我们可以看到由于矩形的四个角是直角，所以有四个全等的直角三角形；

由于矩形的对角线互相平分且相等，所以图形中不存在四个等腰三角形。在用好矩形性

质的同时，也要注意用好特殊三角形的性质。

同时得到推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1已知：如图2,矩形ABCD中，E是BC上一点，OELAE于F,若AE=BC。

求证：CE=EFo

图2

分析：CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分，若AF=BE,则问题解决，而

证明AF=BE,只要通过AA8E=ADE4,在矩形中容易构造全等的直角三角形。

证明：•••矩形ABC。NB=90°

:.AD//BCZ1=Z2

DF1AE...NDFA=90°

NB=NAFD

在A/WE和AOFA中

Z1=Z2/B=/DFAAD=AE

\ABE兰\DFA

AF=BE「.EF=EC

此题还可以证明AQEFNAOEC,得至|JEF=EC

例2已知：如图3,矩形ABCD中，AE_LB。于E,且ND4E=3/84E。

求：/C4E的度数。

分析：由已知ND4E=3/B4E可得/84£=22.5。，/。4七=67.5。0而所求NC4E是

NE4O的一部分，就要研究NOA。与其它角的关系。因为OA=OD,所以NOAO=

ZADB0把题目中的已知条件与矩形的性质=90。结合起来，得到基本

图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出=,于是得到

NOAO=N3AE=22.5。，求/。七的度数也就显然了。

图3

解.•••矩形A8CO/BAD=90°

•・•AE1BD4BAE+/EAD=NE4。+ZADB=90°

ZBAE=ZADB

-AC=BD,OA=-AC,OD=-BD

22

OA=OD..ZOAD=ZADO

ZBAE=ZOAD

•••/DAE=3ZBAE/BAD=90°

ZDAE=67.5°ZBAE=22.5°

ZOAD=22.5°，ZEAC=ZDAE-ZOAD=45°

例3已知：如图4,矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过O点交AD于

E,交BC于F,且EF=BF,EF1BDo求证：CF=OF。

图4

分析：欲证CF=OF,只要/R7O=NFOC,由矩形可知NR7。=N五B。。由

OF=-BF

Rt\BOF二Rt\DOE,可得至ljOE=OF,又因为EF=BF,有2，由于E尸_L8。，

于是NP5O=30°,进一步ZBOC=120°,又有NBOF=90°,

2F0C=ZFCO=30°

证明：•••矩形ABC。，:.OB=OD

AD//BCZ1=Z2,Z3=Z4

\EOD=\FOBOE=OF=-EF

2

•/EF=BFAOF=-BF

2

又•/EF1BDZFBO=30°

BD=AC,OB=-BD,OC=-AC

22

OB=OC4OCB=/OBF=30°

ZBOC=180°-ZOBF-ZOCB=120°

ZCOF=NBOC-ZFOC=120°-90°=30°

/.ZCOF=zLOCF:.CF=OF

（三）巩固练习

1.如图5,在矩形ABCD中，OE'CE，NAOE=30。，DE=4,求这个矩形的周长。

（答案：16+46）

BEC

图6

在矩形中若存在矩形对角线，那就一定要利用矩形对角线的性质，即相等又平分,

转化成等腰三角形，利用等边对等角的性质。

2.已知：如图6,矩形ABCD中，AE平分交BC于E,若NC4E=15"

求：N80E的度数。（提示：要充分利用等腰RfAABE,等边A4O8的性质）

解：•.•矩形ABCD,AE平分NBAD

ZBAE=-^BAD=45°

2

vZCAE=15°ZZ?4C=60°

OA=OB

.•.AAOB是等边三角形

AB=OB,ZABO=60°

•••ZABC=90°vAEB=90°-NBAE=45°

/.AB=BEOB=BE

NOBE=AABE-ZABO=30°

ZBOE=-（180°-30°）=75°

（四）小结

今天我们主要学习了矩形的定义及性质，矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形

的四个角都是直角，对角线相等。由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形，等腰三

角形，所以我们还要把直角三角形，等腰三角形，等边三角形的性质、判定好好复习一

下，这对于解决矩形问题是大有好处的。

（五）作业

1.已知：矩形ABCD,M是BC的中点，BC=2ABo求证：MA1MDO

2.矩形的对角线的一个交角是60。，一条对角线长为8cm。求矩形的边长。

3.已知：如图7,MBC的两条高线BE、CF；M为BC中点，N为EF中点。求证:

MN上EF.

图7图8

4.已知：如图8,矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF,CF=CA,

求证：BEIDE.

矩形的判定定理1、2

教学目的：

1、理解并掌握矩形的判定定理I、2：会用这些定理进行有关的论证和计算：

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：矩形的判定定理1、2

教学难点：定理的证明方法及运用

教学程序

一、复习创情导入

我们已经学习了矩形的性质：

其中矩形的判定方法有：（定义）（两个条件）

性质有；定理1，矩形的四个角都是宜角；

定理2,矩形的对角线相等；

推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半。

二、授新

1、提出问题

（1）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；

如何证明？

（2）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；

如何证明？

（3）用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别

（4）例2的解答中，运用了哪些性质及判定？本题中得到矩形的另一边的长，有

没有其它方法？

2、自学质疑：自学课本P85-87页，完成预习题，并提出疑难问题。

3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳

（1）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

已知：在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=900,

求证：四边形ABCD是矩形。

（方法指导：右一个角是900的平行四边形是矩形。）

（2）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

已知：在平行匹边形ABCD中，AC=DB,

求证：平行四边形ABCD是矩形。

（方法指导：平行四边形的邻角互补，同时三角形全等，邻角相等）

（3）小结：用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别？

定义：有一个角是直角平行四边形

定理1：三个角是直角四边形

定理2：对角线相等平行四边形

5、尝试练习

（1）跟踪练习1-6；

（2）达标练习2；

（3）例2：已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O三角形AOB

是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积。

解题指导：A：判定矩形■一直角三角形中勾股定理得到矩形的长

B：判定矩形一一含3（）0角的直角三角形得到矩形的长；

（4）达标练习1；

（5）其它;

6、深化创新

小结：用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别？

定义：有一个角是直角平行四边形

定理1；三个角是宜角四边形

定理2：对角线相等平行四边形

7、推荐作业

（1）熟记判定方法及其联系和区别；

（2）完成《练习卷》；

（3）预习：（1）菱形的定义，它应具备哪两个条件？；

（2）定理1的内容及证明方法？：

（3）定理2的内容及证明方法？；

（4）菱形的面积公式？

（5）例3、例4的解答过程中运用了哪些性质及判定

跟踪练习题

（1）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求

证；如何证明？

（2）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求

证；如何证明？

（3）用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别？

（4）例2的解答中，运用了哪些性质及判定？本题中得到矩形的另一边的长，有

没有其它方法？

跟踪练习题

（1）有一组对角是直角的四边形一定是矩形。（）

（2）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形。（）

（3）对角线互相平分的四边形是矩形。（）

（4）对角互补的平行四边形是矩形。（）

（5）有三个角是是矩形，有一个角是是矩形。

（6）两组对边分别平行，且对角线的四边形是矩形。

创新练习题

（1）满足下列条件（）的四边形是矩形。

（A）有三个角相等（B）有一个角是直角

（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线相等且互相平分

达标练习题

（1）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三

角形，求证：四边形ABCD是矩形。

（2）回答：怎样用刻度尺，检查一个四边形是不是矩形。

综合应用练习

已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N,求证：四边

形PQMN是矩形。

推荐作业

（1）熟记判定方法及其联系和区别；

（2）完成《练习卷》;

（3）预习：（1）菱形的定义，它应具备哪两个条件？；

（2）定理.1的内容及证明方法？：

（3）定理2的内容及证明方法？；

（4）菱形的面积公式？

（5）例3、例4的解答过程中运用了哪些性质及判定？

矩形的判定（一）

教学目标：掌握矩形的判定定理，能综合运用矩形的知识解决有关问题.

教学重点和难点：矩形的判定方法的理解和灵活运用.

教学过程设计

一、逆向联想、研究矩形的判定方法

1、复习矩形与平行四边形及I四边形的从属关系

2、复习矩形的定义，并指出由平行四边形得到矩形需添加一个独立条件，思考：

由四边形得到矩形需要添加几个独立条件？

3、复习矩形的性质，并指出性质定理1可改为“矩形中三个角是直角”这样的三

个独立条件.

4、在复习提问的同时，逐步完成下图：

5、逆向探索矩形的判定方法.

（1）猜想矩形性质的逆命题成立。

①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形.

（2）证明猜想，得到两个判定定理.

（3）由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法分为两类：

①从四边形出发增加三个特定的独立条件；

②从平行四边形出发增加一个特定的独立条件.

一、应用举例

例1下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）对角线相等的四边形是矩形；（X）

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（V）

（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（X）

（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（J）

（5）四个角都相等的四边形是矩形S；（V）

（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（X）

（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（J）

（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.（X）

说明：

（1）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与定理不同，则需要利用定义

和判定定理证明或举反例，才能下结论.

例2已知［K1\BCD的对角线AC和BD相交于点0,AA0B是等边三角形,AB=4cm.求

这个平行四边形的面积.

分析：首先根据aAOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD

是矩形（如图个4-37）,再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为

例3已知:如图4-38在ABCD中,M为BC中点,NMAD二NMDA.求证:四边形ABCD是矩

形.

分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABMgDCM（SSS）即可实现。

例4已知：如图4-39（a）,ABCD的四个内角平分线相交于点E,F,G,H.求证:

EG=FH.

分析：要证的EG,FH为四边形EFGH的对角线,因此只需证明四边形EFGH为矩形,

而题目可分解出基本图形：如图4-39（b）,因此，可选用“三个角是直角的四边形是

矩形”来证明.

练习已知：如图4-40,在△ABC中，NC=90°,CD为中线，延长CD到点E,使

得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.

三、师生共同小结

矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定.

常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理.遇到具体题目，可根据条

件灵活选用恰当的方法.

四、作业

课本第160页第34题，第192页第8题.

矩形的判定（二）

教学目的：使学生掌握矩形的判定定理，并用矩形知识解决有关问题.

教学重点：矩形的判定方法.

教学难点：矩形判定的应用

教学过程：

-复习提问

1.什么叫平行四边形？什么叫矩形？

2.矩形与平行四边形有什么区别与联系？

二引入新课

矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看

这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是

最重要和最基本的判定方法.今天我们研究矩形有儿个判定定理.

大家都知道，矩形的特别之处在于它的角是直角，能否从角的特点来判定矩形呢？

给出矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.…（投影）

分析定理1：因为四边形的内角和等于360。，因此第四个角一定也是直角，只要再证

出它是平行四边形就可由定义证明此定理成立.（由学生自己证明）.

我们再考虑矩形的性质定理2,它是从对角线的角度来说明的，那么，是否可以从

对角线上来判定矩形呢？

给出矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.…（投影）

分析定理2：因为平行四边是条件，所以只需证有一个角为直角即可.

为加深学生对判定定理2的理解，可.举反例：如：两条对角线相等的四边形，是

不是矩形？两条对角线相等且互相平分的四边形是不是矩形？（学生可自行画图观察）

可知，由对角线相等推不出四边形是平行四边形，巩固学生对定理2的印象和理解.

阅读书本147页例

例1：已知：如图,矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AO、BO、CO、DO上的点且AE=BF=CG=DH,

求证：四边形EFGH为矩形.…（投影）

分析♦：由于E、F、G、H四点是在对角线上取的点，与对角线联系密切，故可采

用“对角线相等的平行四边形是矩形”来证此题.

证明：略.

菱形的性质（一）

教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算;

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、口算能力、逻辑思维能力；

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：菱形的性质定理1、2。

教学难点：定理的证明方法及运用。

教学程序：

一、复习创情导入

我们已经学习了矩形的性质：

性质有：定理1，矩形的四个角都是直角；

定理2,矩形的对角线相等；

推论，直角二角形斜边的中线是斜边的一半。

其中矩形的判定方法有：定义：有一个角是直角平行四边形

定理1：三个角是直角的四边形

定理2：对角线相等的平行四边形

二、授新

1、提出问题

（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？

（2）性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。

（3）性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证

明吗？

（4）菱形的面积公式是什么？如何证明这个公式？

（5）例3的解题过程中运用了哪些性质和判定？

（6）例4的解题过程中运用了哪些性质和判定？求对角线的长度有没有其他方法？

2、自学质疑：自学课本P88-91页，完成预习题，并提出疑难问题。

3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳

（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。

已知：菱形ABCD,求证：AB=BC=CD=DAo

指导：邻边相等+对边相等+等量代换。