第四章 三角形 第6节 相似三角形 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第6节相似三角形回归教材·过基础【知识体系】【考点清单】知识点1比例线段1.性质:(1)若ab=c(2)合比性质:若ab=cd,则a±bb(3)等比性质:如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+m2.黄金分割:点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段BC和AB的比例中项,即BCAC=ACAB=知识点2平行线分线段成比例1.基本事实两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.2.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.3.主要的几种形式图1图2图3如图1,当l3∥l4∥l5时,有ABBC=DEEF,ABAC如图2,当DE∥BC时,有ADDB=AEEC,ADAB如图3,当DE∥BC时,有ABAE=ACAD=技巧提示可通过一组平行线快速找到一组相似三角形.知识点3相似图形的性质与判定1.定义:(1)相似多边形:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比.(2)相似三角形:如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个三角形叫作相似三角形.2.相似三角形的性质:(1)对应角相等,对应边成比例.(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.3.相似三角形的判定:(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.(3)三边对应成比例的两个三角形相似.4.几种基本相似三角形图形:(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”);(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”);(3)“垂直型”的相似三角形[有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型(也称‘射影定理型’)”“三垂直型”].核心方法判定两个三角形相似的常规思考过程:1.先找两对对应角相等,一般这个条件比较简单;2.若只能找到一对对应角相等,则判断相等角的两夹边是否对应成比例;3.若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;4.若题目出现平行线,则直接运用基本定理得出相似的三角形.知识点4位似图形1.定义:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫作位似图形,这个点叫位似中心.2.位似的性质:(1)位似图形的对应边成比例,对应角相等,它们的周长之比等于位似比,面积之比等于位似比的平方;(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(3)对应点的连线都经过位似中心.3.作图步骤:①确定位似中心;②确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点;③描出新图形.技巧提示给出位似比,但没有给出位似中心的情况下,一定要分两个方向,多种情况进行讨论,不要漏解.【基础演练】1.如图,在△ABC中,AB=10,D,E分别是AB,AC上的点,连接DE.(1)若DE∥BC,AEAC=25,则AD的长为,DEBC=,△ADE与△ABC的周长之比为,S(2)若∠AED=∠B,写出图中的相似三角形:.(3)已知AC=12,且△ADE与△ABC相似,若AE=5,则AD的长为.2.如图,在△ABC中,AB=10,E是AC边上的一点,连接BE,∠ABE=∠ACB.(1)若AC=12,则AE=.(2)若AEAB=23,S真题精粹·重变式考向1平行线分线段成比例热点训练1.如图,在△ABC中,DE∥BC,ADDB=23,若AC=6,则EC=A.65 B.C.185 D.考向2相似三角形的性质与判定6年1考2.(2023·福建)阅读下列材料,回答问题.任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:测量过程:(ⅰ)在小水池外选点C,如图4,测得AC=am,BC=bm;(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM=a3m,CN=b求解过程:由测量知,AC=am,BC=bm,CM=a3m,CN=b∴CMCA=CNCB=13∴△CMN∽△CAB,∴MNAB=1又∵MN=cm,∴AB=②m.故小水池的最大宽度为***m.(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容.(2)小明求得AB用到的几何知识是.(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).考向3图形的位似热点训练3.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是.考向4相似三角形的应用热点训练4.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度,他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米,此时旗杆影长为7.2米,则旗杆的高度为米.参考答案回归教材·过基础基础演练1.(1)4252∶54(3)6或252.解析:(1)25(2)∵∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABE∽△ACB,∴AEAB2=S△ABE∴232=S△ABES△∵S△BEC=5,∴S△ACB-5∴S△ABC=9.真题精粹·重变式1.C2.解析:(1)①∠C=∠C;②3c.(2)相似三角形的判定与性质.(3)测量过程:(ⅰ)如图,在小水池外选一点C,用测角仪在点B处测得∠ABC=α,在点A处测得∠BAC=β;(ⅱ)用皮尺测得BC=am.求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△CBD中,cos∠CBD=BDBC即cosα=B