第四章 三角形 第7节 锐角三角函数 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第7节锐角三角函数回归教材·过基础【知识体系】【考点清单】知识点1锐角三角函数的定义定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)∠A的正弦:sinA=∠A的对边斜边=a(2)∠A的余弦:cosA=∠A的邻边斜边=b(3)∠A的正切:tanA=∠A的对边∠A的邻边=a技巧提示锐角三角函数只能在直角三角形中使用,如果没有直角三角形,常通过作垂线构造直角三角形.知识点2特殊角的三角函数值∠α三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sinα01231cosα13210tanα0313不存在知识点3解直角三角形1.定义由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形.(直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边长和2个锐角)2.直角三角形的边角关系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)已知三边之间的关系:a2+b2=c2.(2)已知锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,sinB=bc,cosB=3.解直角三角形的几种类型及解法已知条件解法一条边和一个锐角斜边c和锐角AB=90°-A,a=csinA,b=ccosA直角边a和锐角AB=90°-A,b=atanA两条边两条直角边a和bc=a2+b2,由tanA=直角边a和斜边cb=c2-a2,由sinA=知识点4解直角三角形的常见实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tanα=h方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成“北(南)偏东(西)××度”.如图,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)【基础演练】(原创)已知△ABC,∠B=30°,AB=6.(1)如图1,∠C=90°,则sinB=,AC=,BC=,点C到直线AB的距离是.(2)如图2,∠C=45°,则sinB=,AC=,BC=,点C到直线AB的距离是.(3)如图3,∠C=135°,则sinB=,AC=,BC=,点C到直线AB的距离是.真题精粹·重变式考向1锐角三角函数的计算热点训练1.sin30°=.考向2解直角三角形热点训练2.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为()A.21313 B.31313 C.2考向3解直角三角形的应用6年1考3.(2022·福建)如图,衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,则高AD约为(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm4.(2024·福建)无动力帆船是借助风力前行的.如图,这是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆的作用力F为400N.根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用,与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消,f2与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学型:F=AD=400N,则f2=CD=N.(单位:N.参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)热点训练5.如图,小睿为测量公园一凉亭AB的高度,他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°,然后沿EB方向向前走3m到达点G处,在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°.求凉亭AB的高度.(A,C,B三点共线,AB⊥BE,AC⊥CD,CD=BE,BC=DE.结果精确到0.1m)(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)核心突破·拓思维考点1解直角三角形如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC⊥BC,AB⊥AD,CA=CD.若tan∠BAC=33,则tan∠DBC的值是()A.2114 B.13 C.57解题指南根据tan∠BAC=33,得出∠BAC的度数,则在Rt△ACB中,设BC=1,则AC=3.证明△CAD为等边三角形,过点D作DE⊥CA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,则DE∥BC,从而∠DBC=∠FDE.设CF=x,则EF=32如图,∠MON是一个锐角,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=10,DE=12,则sin∠MON=.核心方法三角函数在几何图中的用法1.当所求三角函数(角或边)在直角三角形中时,考虑直接代入锐角三角函数的定义求解.2.当所求三角函数(角或边)不在直角三角形中时,可根据等角的锐角三角函数值相等,进行等量转换或作辅助线构造直角三角形.考点2解直角三角形的应用如图,这是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1m,AB=5m,BC=2m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m.(1)求A,C两点之间的距离.(2)求OD的长度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,5≈2.24)核心方法解直角三角形的实际应用问题的方法要读懂题意,分析背景语言,再理清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下:1.紧扣三角函数的定义,寻找边角关系;2.添加辅助线,构造直角三角形,作高是常用的辅助线添加方法(如图所示);3.逐个分析相关直角三角形,构造方程求解,一般设最短的边为x,先分别在不同的直角三角形中用含x的代数式表示出未知边,再根据两个直角三角形边的数量关系(和、差或相等)列方程求出未知量.在东海一次军事演习中,某潜艇由西向东航行,如图,到达A处时,测得某岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东70°方向,且与潜艇相距500海里,再航行一段时间后于当天晚上6:00到达B处,测得岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东37°方向.上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行,到达岛的正南方向的D处20分钟后使用舰对岸导弹攻击,摧毁假设敌方预警雷达C,求发起攻击的时间.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.6,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)[真情境]图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.(1)求DE的长.(2)设塔AB的高度为h(单位:m).①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);②求塔AB的高度(tan27°取0.5,3取1.7,结果取整数).参考答案回归教材·过基础基础演练(1)12333332(2)1232(3)123233-3真题精粹·重变式1.122.B3.4.128解析:如图,∵∠PDA=70°,∠PDQ=30°,∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°,∠1=∠PDQ=30°.∵AB∥QD,∴∠BAD=∠ADQ=40°.在Rt△ABD中,F=AD=400N,∠ABD=90°,∴F2=BD=AD·sin∠BAD=400·sin40°≈400×0.64=256(N).由题意可知,BD⊥DQ,∴∠BDC+∠1=90°,∴∠BDC=90°-∠1=60°.在Rt△BCD中,BD=256N,∠BCD=90°,∴f2=CD=BD·cos∠BDC=256×cos60°=256×12故答案为128.5.解析:由题意得BC=FG=DE=1.5m,DF=GE=3m,∠ACF=90°.设CF=xm,则CD=CF+DF=(x+3)m.在Rt△ACF中,∠AFC=42°,∴AC=CF·tan42°≈0.9x(m).在Rt△ACD中,∠ADC=31°,∴tan31°=ACCD=0.9x∴x=6.经检验,x=6是原方程的根,∴AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),∴凉亭AB的高度约为6.9m.核心突破·拓思维例1D解析:∵tan∠BAC=33∴∠BAC=30°.∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.设BC=1,则AC=3.∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∴∠DAC=60°.∵CA=CD,∴△CAD为等边三角形.过点D作DE⊥CA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,如图所示.则CE=12AC=32,DE=AD·sin60°=3×32设CF=x,则EF=32∵AC⊥BC,DE⊥CA,∴DE∥BC,∴∠DBC=∠FDE,∴tan∠DBC=tan∠FDE,∴CFBC=EF∴x1=3解得x=35∴tan∠DBC=x1=3变式24例2解析:(1)如图,过点A作AE⊥CB,垂足为E,在Rt△ABE中,AB=5,∠ABE=37°.∵sin∠ABE=AEAB,cos∠ABE=BE∴AE5≈0.60,BE∴AE=3,BE=4,∴CE=6.在Rt△ACE中,由勾股定理得AC=32+6(2)如图,过点A作AF⊥CD,垂足为F,∴FD=AO=1,∴CF=5.在Rt△ACF中,由勾股定理得AF=45−25=25,∴OD=25m≈4.5m.变式1解析:在Rt△ACD中,cos∠ACD=CDAC则CD=AC·cos∠ACD≈500×0.34=170(海里).在Rt△BCD中,tan∠BCD=BDCD则BD=CD·tan∠BCD≈170×0.75=127.5(海里),127.5÷20=6.375(小时),6+6.375+2060=12.375+1即晚上12点42分30秒发起攻击.变式2解析:如图,作CE⊥BD于点E,AF⊥CE于点F,∴∠FEB=90°,∠AFE=90°.又∵∠AHE=90°,∴四边形AHEF为矩形,∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°.在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=CFAC∴CF=9×sin28°≈9×0.47=4.23(m),∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).答:操作平台C离地面的高度约为7.6m.变式3解析:(1)由题意得DE⊥EC,在Rt△DEC中,CD=6m,∠DCE=30°,∴DE=1