专题四 代数推理题(2024年新增题型) 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

专题四代数推理题(2024年新增题型)人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”:为什么说2不是有理数?(1)【阅读与思考】假设2是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得2=pq两边平方得2=pq即p2=.①故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.设p=2s,代入①中,得,即q2=,所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.这个矛盾说明,2不能写成分数的形式,即2不是有理数.(2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考,推理说明32不是有理数1.数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):N奇数4的倍数表示结果1=12-023=22-125=32-227=42-329=52-42……4=22-028=32-1212=42-2216=52-3220=62-42……一般结论2n-1=n2-(n-1)24n=按上表规律,完成下列问题:①24=()2-()2;②4n=.(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数.分下列三种情形分析:①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数,则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数,而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数;②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数,则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=为4的倍数,而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数;③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数.而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数.由①②③可知,猜测正确.阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.用代数推理的方法证明下列两个结论:(1)设abcd是一个四位数,若a+b+c+d可以被3整除,则这个数可以被3整除.(2)已知函数y=x2.求证:当x>0时,y随x的增大而增大.2.对于任意一个三位正整数,十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字,则称这个三位数为“极差数”.例如:对于三位数451,5-1=4,则451是“极差数”;对于三位数110,1-0=1,则110是“极差数”.求证:任意一个“极差数”一定能被11整除.3.一个十位上的数字不为0的三位数m,若将m的百位数字与十位数字相加,所得和的个位数字放在m的个位数字右边,与m一起组成一个新的四位数,则把这个新四位数称为m的“生成数”.若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉,可以得到四个三位数,则把这四个三位数之和记为S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成数”是5580.将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是580,580,550,558,则S(m)=580+580+550+558=2268.(1)写出123的“生成数”,并求S(123)的值.(2)说明S(m)一定能被3整除.参考答案例1解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.提示:假设2是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得2=pq两边平方得2=pq即p2=2q2.①故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.设p=2s,代入①中,得4s2=2q2,即q2=2s2.所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.这个矛盾说明,2不能写成分数的形式,即2不是有理数.(2)假设32是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得32=两边立方得2=pq即p3=2q3.①故p3是偶数,因为只有偶数的立方才是偶数,所以p也是偶数.设p=2s,代入①中,得8s3=2q3.即q3=4s3,所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.这个矛盾说明,32不能写成分数的形式,即3针对训练1.解析:(1)①7;5.②(n+1)2-(n-1)2.(2)4(k2-m2+k-m).例2解析:(1)abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).显然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么abcd就能被3整除.(2)设x1>x2>0,则y1=x12,y2=y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,x1-x2>0,∴(x1+x2)(x1-x2)>0,∴y1>y2,即当x>0时,y随x的增大而增大.针对训练2.证明:设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,∵a=b-c,∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),∴100a+10b+c能被11整除,∴任意一个“极差数”一定能被11整除针对训练3.解析:(1)依题意123的“生成数”为1233,得另四个三位数:233,133,123,123,∴S(123)=233+133+123+123=612.(2)设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a,b,c(都是整数),由题意得2≤a+b≤18.当2≤a+b≤9时,由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+c,∴S(m)=303a+123b+21c=3(101a+41b+7c),即S(m)能被3整除.当10≤a+b≤18时,由m的“生成数”得到四个三位数为100b+1