第六章 圆 第1节 与圆有关的概念及性质 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第1节与圆有关的概念及性质

回归教材·过基础

【知识体系】

【考点清单】

知识点1圆的有关概念及性质常．考．

动态:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形

圆的定义叫作圆,其固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径.

静态:到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆

同心圆圆心相同、半径不等的圆叫作同心圆

等圆能够重合的两个圆叫作等圆(半径相等)

半圆圆分成两条相等的弧,每一条弧都叫作半圆

弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫作优弧,小于半圆的弧叫作劣弧

弦连接圆上任意两点的线段叫作弦

直径经过圆心的弦叫作直径

弦心距圆心到弦的距离叫作弦心距

圆心角顶点在①的角叫作圆心角

圆周角顶点在圆上,并且两条边都与圆相交的角叫作圆周角

圆的性质对称性;旋转不变性

在运用圆周角定理时,

一条弦对应两条弧,对应两个一条弧只一个圆心角,但却对应着

易错警示一定要注意“在同圆或

圆周角且这两个圆周角互补无数个圆周角

等圆中”的条件

知识点2垂径定理及其推论轮．考．

1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.推论:平分弦(不是直径)的直径②于弦,并且平分弦所对的两条弧.

知识点3弧、弦、圆心角之间的关系常．考．

1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧③,所对的弦④.

2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.

3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.

知识点4圆周角定理及其推论常．考．

1.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的

⑤.

2.圆周角定理的推论

(1)推论一:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

(2)推论二:半圆(或直径)所对的圆周角是⑥,90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)推论三:圆内接四边形的对角⑦.

知识点5圆的内接多边形常．考．

1.定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫作这个圆的内接多边形,

这个圆叫作这个多边形的外接圆.

2.三角形的外心:三角形⑧的圆心叫作这个三角形的外心.

3.外心的性质:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.三角形的外心是三角形三

边⑨的交点.

4.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

5.圆内接四边形的对角互补.

技巧提示

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角).

【基础演练】

1.如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度

数是()

A.50°B.100°C.130°D.150°

2.如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC=42°,则

∠OED的度数是()

A.61°B.63°

C.65°D.67°

3.(2024·泉州模拟)如图,在四边形ABCD中,AC=AD,∠ABD=90°,过A,B,D三点的圆与CD交于

点E.

(1)求证:E是CD的中点.

(2)若CD=2BC,求证:∠BCD=2∠ADB.

真题精粹·重变式

考向1圆周角定理及其推论

1.(2020·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于

BD()

A.40°B.50°C.60°D.70°

热点训练

2.如图,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,F是弧DE上一点,且与

点D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为()

A.115°B.118°C.120°D.125°

考向2圆性质综合运用

3.(2019·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,

且DF=DC,连接AF,CF.

(1)求证:∠BAC=2∠DAC.

(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.

5

热点训练

4.如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC为直径,DE⊥AB交AB于点E,交☉O于点F.

(1)延长DC,FB相交于点P,求证:PB=PC.

(2)如图2,过点B作BG⊥AD于点G,交DE于点H,连接BD.若AB=,DH=1,∠OHD=80°,

求∠EDB的度数.3

考向3垂径定理及其应用

热点训练

5.如图,若AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OC=OD,则∠ABD的度数为()

1

2

A.90°

B.95°

C.100°

D.105°

参考答案

回归教材·过基础

考点清单

①圆心上②垂直③相等④相等⑤一半⑥直角

⑦互补⑧外接圆⑨中垂线

基础演练

1.C2.B

3.证明:(1)如图,连接AE.

∵A,B,D三点共圆,且∠ABD=90°,∴AD为直径,

∴∠AED=90°,即AE⊥CD.

又∵AC=AD,∴CE=DE,

即E是CD的中点.

(2)如图,连接BE.

∵CD=2BC,CE=DE,∴CB=CE,

∴∠CEB=∠CBE,

则∠BCD=180°-∠CEB-∠CBE=180°-2∠CEB.

又∵∠AEB=∠AEC-∠CEB=90°-∠CEB,

∴∠BCD=2∠AEB.

∵=,∴∠AEB=∠ADB,

∴∠ABBCADB=2∠ADB.

真题精粹·重变式

1.A2.C

3.解析:(1)证明:∵BD⊥AC,∴∠AED=90°.

在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠ADE.

在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,

∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠ADE=180°-2(90°-∠CAD)=2∠CAD.

(2)∵DF=DC,

∴∠BFC=∠BDC=∠BAC.

11

22

由(1)得∠DAC=∠BAC=∠FBC,

1

2

∴∠BFC=∠FBC,∴CB=CF.

又∵BD⊥AC,

∴AC是线段BF的中垂线,AB=AF=AC=10.

又∵BC=4,

设AE=x,则5CE=10-x,∴AB2-AE2=BC2-CE2,100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,

∴AE=6,CE=4,BE=8.

∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,

∴△ADE∽△BCE,

∴DE===3,BD=11,AD=3.

AE·CE6×4

BE8

如图,作DH⊥AB,垂足为H,则5

DH=BD·sin∠ABD=11×=,

333

55

BH=BD·cos∠ABD=11×=,

444

55

∴AH=AB-BH=10-=,

446

55

∴tan∠BAD===.

DH3311

AH62

4.解析:(1)证明:∵AC是☉O的直径,

∴∠ABC=90°.

又∵DE⊥AB,∠DEA=90°,

∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,

∴∠F=∠PBC.

又∵四边形BCDF是圆内接四边形,

∴∠F+∠DCB=180°.

又∵∠PCB+∠DCB=180°,

∴∠F=∠PCB,

∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.

(2)如图,连接OD.

∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,

∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.

又∵BC∥DF,DH=1,

∴四边形BCDH为平行四边形,

∴BC=DH=1.

在Rt△ABC中,

AB=,tan∠ACB==,

AB

BC

∴∠A3CB=60°,3

∴B