甘肃省甘谷县第六中学2025届高三第六次质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年甘肃省天水市甘谷六中高三（下）第六次质检数学试卷（2月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.4.已知圆圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.5.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.7.若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（）图1图2A B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.的最大值为110.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆的离心率为B.的周长为4C.椭圆上存点，使得D.若，则11.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知且，若，则__________．13.已知，则______.14.若不等式对恒成立，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是由正数组成的等比数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．16.记的内角，，的对边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）若点在边上，且，求．17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）若函数有两个零点，求实数取值范围.18.在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．19.如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.

2024-2025学年甘肃省天水市甘谷六中高三（下）第六次质检数学试卷（2月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.【详解】因，，所以.故选：B.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用共轭复数的概念，以及复数的乘除运算即可求得结果.【详解】因为，所以．故选：D.3.已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，列式求出夹角的余弦.【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得，由，得，解得，所以.故选：C4.已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解.【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r，则，所以圆的标准方程为.故选：A.5.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式以及双曲线的离心率公式求解.【详解】设点，则，即，又两条渐近线方程为，即，故有，所以．故选:D.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．【详解】解：，定义域为，，令，得，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C，当时，，，，所以，排除B，只有D中图象符合题意；故选：D7.若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性.【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0，故，，则，即，所以，由，当时，等差数列单调递增，则不可能满足且，因此“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.8.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（）图1图2A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式.【详解】，圆台的侧面积为,母线长．圆台的高，则圆台上下底面面积为，由圆台的体积计算公式可得：．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据的性质逐一判断即可.【详解】，故A正确；，所以不是对称轴，故B错误；，所以是的一个零点，故C正确；因为振幅，所以的最大值为，故D错误.故选：AC.10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆的离心率为B.的周长为4C.椭圆上存在点，使得D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用焦半径公式可得，即可知A正确；根据焦点三角形性质可知周长为，即B错误；利用余弦定理可知的最大值为，可得C错误；D正确.【详解】对A，根据椭圆性质可知，故，所以椭圆的离心率为，故A正确；对B，易知的周长为，故B错误；对C，易知，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，所以的最大值为，故C错误；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：AD11.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，由A知，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知且，若，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案.【详解】由已知且，，得，则，故，故答案为：13.已知，则______.【答案】##【解析】【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．【详解】，∴，则，故，，故答案为：14.若不等式对恒成立，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】先将不等式变形为，再把看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于的不等关系，再利用不等关系表达所求式，并求其范围探究最值即可.【详解】由，可得.令，则在上单调递增，所以，由对恒成立，所以，则，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是由正数组成的等比数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果.（2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，得，∵是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以【小问2详解】，所以16.记的内角，，的对边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）若点在边上，且，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解；（2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可.【小问1详解】如图，在中，因为，，，所以．【小问2详解】方法一因为点在边上，且，所以，，又因为，所以中，由余弦定理得，可得．方法二，，，，即．17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案；（2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案.【小问1详解】当时，，所以,，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】，由得，的图象有2个交点，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，且时，，，所以时，，所以的大致图象如下，所以若函数有两个零点，则，所以实数的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.（2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可.【小问1详解】因为点到焦点F的距离为2，所以点到抛物线准线距离为2，抛物线的准线方程为，点的横坐标为，，解得，抛物线的方程为．【小问2详解】如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为，联立，消得，设，又，∵，则直线OP的方程为，联立，消得，令，则，，故的值为．【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可．19.如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；（3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解.【小问1详解】取的中点，连接、，因为，，则，所以，所以，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，又因为，，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，因为为棱上的点，设，其中，所以，，且，设平面的法向量为，则，不妨取，可得，因为线与平面所成角的正弦值为，所以，则，化简可得：，解得：或（舍去）.所以.【小问3详解