导数选择压轴题（解析版）

第2讲导数选择压轴题

一、单选题:

1.(2021・湖北B4联盟)已知大于1的正数。，人满足毕,则正整数〃的最大值为()

A.7B.8C.9D.11

【答案】C

【分析】喀等价于察<g，令〃力=咤，g⑴=。，分别求〃x),g(x)的导数,

eaDcix

，g(x)有最小值g

判断函数的单调性，可求得/(x)有最大值(对根据题意,

“俞’等价于曹2呜’令“上x+2X

即求/(x)M〈g(xL，代入为”-In-,即求

GJx-22

。(五)>0的最大的正整数.对e(x)求导求单调性，可知o(x)单调递减，代入数值计算即可求出结果.

【解析】由题干条件可知：空<5等价于y<?’

令”工)=二，则/⑺=xn~}•Inx(2一〃Inx)Inx(2-nInx)

,r+l

Xx

/")=。，X-，

✓VV*

(2\/2

当,(x)>0时，XG\,en,当尸(x)<0时，XGe",+oo

\/

/2\(

”(x)在l,e"上单调递增，在e〃,+8上单调递减，则/(X)有最大值

62g_〃)nn

令g(")=(x>1)»则g'(x)=,当一时，此题无解，，一＞1,

XJV22

则g'(x)=O，x=],当g'(x)>O,x>],当g'(x)<°,l<x<],

・・・g（力在芸上单调递减，在上单调递增,

i2L2a£

若匹2<J成立，只需/第

hHan<

2

n〃+2

两边取对数可得：/?+2＞（n-2）ln-.〃=2时，等式成立,当〃之3时，有之吟

2n-2

xI2x

令c（x）二三一一In-,本题即求0（x）＞O的最大的正整数.

x22

^，（-y）=2?V~~＜0恒成立，则。（力在艮收）上单调递减，e(8)=[-In4>0,

（X—Z）X

IIQ3

火9）=——ln-«1.5714-1.51＞0,°（10）=——ln5＜0,：・。（力＞0的最大正整数为9.故选C.

722

【点睛】本题考查构造函数法解沃恒成立问题.

方法点暗双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为〃X）＜g（X2），若〃石）2

则复合恒成立的情况.

-X।

2.（2021・湖北B4联盟）已知集合A=,十"，,集合8={x|202Lr+lnx22021},若

bJ

BQA,则实数。的取值范围为（）

A.B.[-e,e]C.[-l,e]D.[-1,1]

【答案】A

【分析】先求出集合8,再根据包含关系可得一"'+"lnx工]在口收）上恒成立即

x

xa-\nx（l＜e-x-In（"、）在[1,出）上恒成立，就a40,0v。K1,。＞1分类讨论后可得正确的选项.

[解析]先考虑不等式202支+Inx22021的解，,:y=202Lt,y=In＞均为（0,+8）上的增函数,

故f(x)=2021x+lnx为(O,+e)上的增函数，故3=[l,+oo).

故［1,+8)为不等式Z-'-r16/lnv<1的解集的子集，即产】1在［l,+oo)上恒成立，

XX

故/一In"X-In("X)在［L+8)上恒成立.

令g(f)=f-hu,则g，()=l」=E故当Ovfvl时,g'⑺<0,故g(。在(0,1)上为减函数;

tt

当经1时，/(。>0,故g(，)在(1，内)上为增函数；

当“W0时，・・・工21,故无“£(0,1］,"］£(0,1),故/2"、在［1,4W)上恒成立，即0之一」一在［1,”)

111人

上恒成立，令S(x)=-上，故“力=一电。【，

\nxln~N

当1〈戈<e时，S'(x)>0,当了>«时・，V(x)<0,故S(x)在［l,e］上为增函数，在［e,+8)上为减函数，

故S(x)=——=-e,故a2-6即-eWaK0.

'/maxIne

若。>0,当OcaWl时，Vx>b故・•・炉—(注意e-'N—Inx恒

成立)，故0<。<1符合题意.

当a>1时，•・•xa-\nxa<"X-In(e-')在［1,+oo)上恒成立，

3a

故_me<e』一m(e3)=+3e,即_3a<e3+,

设7(。)=*'-3aM>1,则7'(a)=袁“一3>0,故T(a)在仕+⑹上为增函数，

故%)"(1)=人3>(|)—3啜>12>3e+1>3e+/3,故e3a-3a<"3。+3G不成立，故a>1舍

去，综上，一eWaWl.故选A.

【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是

对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化.

3.(2021•浙江绍兴市•高三期末)已知。、bwR,且时工0,对任意x>0均有

(lnx-6z)(x-Z2)(x-tz-Z?)>0,则()

A.avO,Z?<0B.«<0,b>0

C.tz>0*b<0D.a>0,b>0

【答案】B

【分析】推导出lnx-a与x—/符号相同，构造函数/(x)=(x1")(1一〃)(/一。一〃)，然后对四个选项

中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.

XX

【解析】\nx-a=\nx-\nea=\n—,故lnx—a与ln="的符号相同，

e(e

xX

当hiy>O=lnl时，x>e“；当hi-7v0=In1时，x<ea-

ee

，lnx-a与x-e"的符号相同.

.".(lnx-6z)(x-^)(x-«-Z?)>0<=>(x-e<,j(x-/?)(x-«-£>|>0,

令F(x)=(x-e")(x-〃)(x—a-Z?)，，当x>0时，f(x)之0恒成立，

令f(x)=O,可得X1=e",x2=b,xy=a+b.

ab手0,分以下四种情况讨论：

对十A选项，当。<0,〃<0时，则a+hvbvOc",当0</<，时，/(x)<0,小合乎题意，A选项

错误；

对于B选项，当〃<0,匕〉0时,则。+人〈力，

若。+〃>0,若a+b、b、e”均为正数，

①若/=〃，则/(力=(%一〃一人)"一32,当0cxva+8时，/(x)<0,不合乎题意；

②若，=4+〃，则/(X)=(X-Q—〃『(X—人)，当0cx+〃时，/(X)<O,不合乎题意.

③若。+力、b、/都不相等，记仁min{"a+"e"},则当0cxe，时，/(x)<0,不合乎题意.

由上可知'"后。，当、>。归，若使得小)2恒成立'则,=1>0,如下图所示‘

••・当av。，人>0时，且/7=广>0时，当戈>0时，/(“之。恒成立;

对于C选项，当4>0,。<0时，则〃<4+人，

①若时，则当0cxec。时，/(%)<0,不合乎题意；

②当Q+〃:>0时，构造函数g(4)=e“-q-/?,其中a〉0,g'(a)=e"-1>0,

a

函数g(a)在(0,+8)上单调递增：则g(a)>g(O)=l-A>0,,\e>a+b.

当〃+〃<xve“时，由于x—〃>0,则/(力<。，不合乎题意，C选项错误：

对于D选项，当〃>0,人>0时，^b<a+b,此时/?、〃+力、e“为正数.

①当8、a+b、/都不相等时，记ymin{〃,〃+。,/},当0c<，时，/(z)<0,不合乎题意；

②若人=©",则/(x)=(x-b)~(x-o—〃)，当0<无</?时，/(%)<0,不合乎题意；

③当e“=a+b时，f(x)=(x-b)(x-a-by,当0cxvZ?HT,/(x)<0,不合乎题意.

，D选项错误.故选B.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：

(1)分析lnx-〃与x-e"同号；

(2)对8、a+b、/的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证.

4.12021•江苏省天一中学高三二模)若不等式。ln(x+l)—/+2/>0在区间(0,+8)内的解集中有且仅有

三个整数，则实数。的取值范围是

932，932、(9329

，D.------,+co

21n2'而2n2'记I21n2ln5121n2

【答案】C

【分析】由题可知，设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调

性，根据。ln(x+l)-V+2/〉o在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(x)>g(x)在区

间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值范围.

4

【解析】设函数,f(x)=〃ln(x+l),g(x)=x3-2x2,Vg'(x)=3%2-4x,，g'(x)=0,.•/=0或%=司,

44f

・.・0<x<时，/(x)vO,或工<0时，g(x)>0,g(0)=g(2)=0,其图象如下：

JJ

当演。时，/(x)>g(x)至多一个整数根:

f(3)>g(3)

当〃〉0时，/0)>g(幻在(。,48)内的解集中仅有三个整数，只需<1,八］八

17(4),,g(4)

4zln4>33-2x32932

<a,.故选C.

aIn5^4--2x4221n2hr5

【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结

合思想和解题能力.

5.(2021.江西八校4月联考)已知函数/3)Jnx+1-M有两个零点以〃，且存在唯一的整数

x

与£(劣份，则实数机的取值范围是()

D.(。罕

【答案】B

【分析】由题意可知加二”1.构造函数〃。）=吗［。＞0）,利用导数研究函数〃*）的单调性及极

x~x~

值，又X=1时，〃。）=。；当X'”时，/7（x）f0,作出函数〃（幻的图像，利用数形结合思想即可求

e

解.

2

■幻,IT、L*、lnx+1-wix-八，曰lnx+1

【解析】由题尽/(x)=-----------=0>得m=----—,

x厂

lnx+1.、八、十曰〃/、x-2x(lnx+l)l-2(lnx+l)一(21nx+l)

设n(x)=——(x>0),求导h(x)=------------=------:----=------；----

XXXX

令力'(幻=0,解得

A-c

当n-C时，〃⑴单调递增；当时，h\x)<0,单调递减;

U、人、匕4/V

故当丫_“6时，函数取得极大值，且入（”）=£

A—c2

又4二，时，/?（x）=0；当x—＞田时，Inx+l＞。,/＞0,故〃（x）f0：

作出函数大致图像，如图所示:

••・存在唯一的整数与G（a,b），使得》=机与/?0）二丝把

的图象有两个交点，由图可知：〃（2）Wmv〃（l）,

x

故选B.

4

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

（D直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

6.(2021.河南焦作市•高三三模)已知曲线G：/(x)=皓'在x=0处的切线与曲线G：

且(幻=生X(4£2在X=1处的切线平行，令力(X)=/(X)g(R),则〃(此在(0,+8)上()

X

A.有唯一零点B.有两个零点C.没有零点D.不确定

【答案】A

也f求导，根据两曲线在X=1处的切线平行，由导数的几何意

【分析】先对函数/(x)=x/和g(x)=

义求出。，得到函数〃(x)=/(x)g(x)="lnx,对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在(0,+3)

上的最值，即可确定函数零点个数.

【解析】:/(x)=靖，,ra)=(l+x)，,又8(工)=纳"，，g'(x)=a-a\nx

X

由题设知,由⑼=g'⑴,即(1+0)/=伫”

々=1,则力(/)=/(x)g(x)=xex•=exInx,

X

.\「-(xlnx+l)《

••n(x)=elnx+—=----------，x>0»

令m(x)=xlnx+l,x>0,则加(x)=lnx+l,

(n，

当了e0,-时，m(x)<0,即函数〃?(x)=xlnx+l单调递减；

\e)

当工e-,+oo\bJ-,〃j(_r)>0,即函数/〃(％)-xlnx+1单调递增;

]A]

・•・在(0,+8)上加(x)的最小值为机-=1一一>0,Am(x)>0,则力'(司>0,，/[(力在(0,+功上单

\^/e

调递增，且〃(i)=o.〃(工)在(0,+。)上有唯一零点，故选A.

【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定

函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.(有时也需要利用数形结合的方法进行判断)

Ixln^Lx>0,

7.(2021・陕西下学期质检)已知函数/(力=，11Mz)1、。关于工的方程「⑺+以小|=°"WR)

有8个不同的实数根，则，的取值范围是()

21

A.——e,+ooB.-e

eee

C.°o,——D.(2,+8)U［-s,-wj

【答案】C

【分析】根据分段函数得解析式，利用导数研究函数/(X)的性质，作出函数/(R)的图象，将方程有8个

不同的实数根转化为方程〃/+M+I=()在值,n存在两个不同的实数根或在化+81和仿二［上各有1

5e)le；k

个根，进而得到/的取值范围.

【解析】当x>0时，/(x)=|xlnx|.令尸(x)=xlnx,则尸(x)=lnx+l.

令9(x)=0,则x=/R(：)=T，/(/)=:，

故当x〉()时，函数/(x)在0*)上单调递增，

在［jlJ上单调递减，在(1,+?)单调递增；

当工<0时，易知函数在上单调递减，

在(-L-g)上单调递增，在(一:，°)单调递减.

乂/闫Wj

U故可画出函数/(工)的大致Z图象如图所示，

令m=/(x),则已知方程可化为+rm+1=0.

观察图象可知，当"?>一时，只有2个交点；当机=一时有3个交点；当一一时，有4个交点;

ee4e

当加=1时有5个交点；当时，有6个交点.

44

\f1(1、

要想满足题意，则只需使得方程加2+〃〃+1=0在存在两个不同的实数根或在一,+8和0,二上

14ej(eI4J

各有1个根.方程〃，+.+1=0的两根之积为1，令g(m)=1+〃%+l,

g\~<0,17

由题意只需｛解得/<-一，故选C.

4，

g(4)<0,

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令凡丫)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，包上是连续不断的曲线，且<〃)•/(〃)<(),还必须结合函

数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

Inx,x>1

8.(2021•天津十二区联考)已知定义在R上的函数/(幻=fTe,若函数/)=/%)+以恰有

2个零点，则实数〃的取值范围为()

A.-oo,——kJ网51次)B.-1,--JU{0}U(1,+00)

e)

D.(-co,-l)u{0}u-J

【答案】B

【分析】函数％(x)=/(x)+依恰有2个零点，转化为直线)'=一⑪与>=/3)的图象有两个交点，作出

函数/(工)的图象及直线>=一5视察它们交点个数，对函数/(力要分类讨论，求在原点处或过原点的切线

斜率.

【解析】如图，数形结合，观察直线了=一，比与曲线)，=/(不)的位置关系.

2

当x£(-00,0],/(X)=x-xyf\x)=2A--l,,f(0)=-1,故在(0,0)处的切线方程为y=r.

当xe[0,1],/U)=-x2+x,同理可得在(0,0)处的切线方程为必=工•

当上£(l,+oo),/(x)=Inx,f(x)=

X

设切点为亿Inr),其中，>1,则过该点的切线方程为)，

/

代人(0,0),得，=6,故过(d1)的切线方程为)，3='x.

e

可得当一4£(一8,-1)502(%1)时，有两个交点，即函数)』左。)恰有两个零点.

此时a6u(0}u(l,oo),故选B.

解.

9.(2021•安徽江南十校3月联考)当x>l时，函数y=(lnx)2+a]ru+l的图象在直线产x的下方，则实数。的

取值范围是()

A.(-00,e)B.(-00,--------------)

2

4〃一5

C.(-00,z、)D.(-00,e-2)

2

【答案】D

【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到。的取值范围.

y-1y-1

【解析】由题意知，a<-----1),构造函数/(力=---------------1),

larIm

F7X)=――1―凹,令g(x)=x-l-hu,则^(x)=l-->0,.g(x)>lg(l)=0,故当1vxve

xlrrxx

0'j,F(x)<O,F(x)单调递减；当x>e时，尸'(力>0,F(x)单调递增，F(x)..F(e)=e-2,

:.a<e—29故选D.

10.(2021•浙江金华市•高三期末)己知函数/(x)=d+ar”，a、bsR.再、七武"?,〃)且满足

/(%)=/(〃)，/(£)=/(〃?)，对任意的工€[〃2,〃|恒有/(〃?)</(力</(〃)，则当〃、b取不同的

值时，()

A.〃+2%与加一2々均为定值B.〃一2M与〃7+24均为定值

C.〃一2%与加一2々均为定值D.〃+2%与〃?+2%均为定值

【答案】D

【分析】分析得出”0,利用导数分析函数“X)的单调性，可得知王为函数/'(X)的极大值点，%为函

数f(x)的极小值点，再由/(%)=/(〃)、“苍)=/(机)结合因式分解可得出结论.

【解析】当时，r(x)=3f+a之0,此时，函数/(x)在R上为增函数，

当石、三«如〃)时,/(%)</(〃)，/(工2)>/(相)，不合乎题意，；・av0.

由r(6=o可得工=±旧，

对任意的恒有/(^)</(x)</(n),/(x)^=/(«),

又当再、天五加，〃)且满足/(%)=/(〃)，/(七)=/(6)，

・♦・士为函数“X)的极大值点，%为函数/(力的极小值点，则％二—J—@，x2=J--

由.。（％）=/（〃）可得x；+时+〃=，可得（父一〃'）+4（玉-〃）=o,

即（与一〃）卜；+叫+〃2+々）=0,,.,玉工〃，则X；+g+〃2+。=0,

9

­,•jf=可得〃=一31：，.•./+〃x-2x；=0,即（〃一x）（〃+2xJ=0,

.•・〃+23=0,同理可得加+29=0,故选D.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：

（1）利用已知条件分析出国、七为函数/（x）的极值点；

（2）利用等式/&）=/（〃），/（9）=/（m）结合因式化简得出结果.

11.（2021.河南驻马店市.高三期末）已知函数=吧一e',则.〃，）的最大值是（）

X

A.-1B.-2C.0D.1-e

【答案】A

_eM"’_（lnx+x）―[可得答案.

【分析】构造函数g（x）=e]—x—l利用导数求出最小值，然后/。）二一1

x

―匚'/./、l+lnx-xev,elllt+A-(lnx+x)-l八、,八，、工.,..

【解析】/(x)=----------------=-1---------------------------(zx>0),设g(x)=e'-x-l,z(x)=err-l,

XX

当上〉0时，，(x)>0,g3)是单调递增函数,

当工<0时，g\x)<0,g(x)是单调递减函数，，g(x)min=g(0)=。，

•••lnx+x=O时有解，A/(x)=-1--———(lnx+”-l=_]_0=_]故选A.

」\,maxy

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数g(x)=e'-x-l利用导数求出最小值,

考查了学生分析问题、解决问题的能力.

12.(2021•浙江绍兴市•高三期末)已知函数/(x)=/一(G>0),若对任意xwR,存在外,乂使得

x~+a

则的最大值为(

/(XI)-/(A2)=/(X)(X1-X2),4)

1864

A.一B.—C/D.——

827125

【答案】C

2x，易知/(冷的值域(0,，对于/(X),

【分析】根据题意，的值域是八幻二-诉行的值域的子集

只需考虑x<0时，/f(x)>-,求解即可得出结果.

niaxa

I2x

【解析】/(x)=-^—(4/>0),/.=

x~+a(X~+a)~

/㈤一/⑸

当王工王时，/(^1)-/(X2)=/(X)(X|-X2)<=>/(X)

若对任意X£R,存在%，看使得/(%)—/(工2)=/(冷(工1一天)，即存在/'(%)=/(%)，

・・・/(x)的值域为(0,,.,./'⑴的值域包含(0，，

lx2x2

/.f\x)=

（",）2d+2G»242依+4‘根据函数性质‘只需研究的值域即可.

X

=3x2+2a-=,xef-oo,-

令g(x)=l+2or+幺，则,g'(x)>0.

Xxj,

一^~a®，。<于<x)&兰=.

，g\x)<Ot:.g(x)<g

，8a7a

opii2777

由上》解得：6/<—,放。的最大值为二.故选C.

8a&ia6464

【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研

究函数单调性，求出极值，结合题中条件即可求出最值（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数

的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解）

13.（2021•天津部分区期末考试）已知函数/（工）=丁丁[e为自然对数的底数），关于x的方程

rl

[/（x）1-24（x）+cL2=0（aER）恰有四个不同的实数根，则。的取值范围为（）

(e1)(4/一2

A.(1+00)B.(2,-HX)C.-----,+ooD.------,+oo

Jc-l)14e-l

【答案】D

【分析】令〃=/（力，由[〃切2一2引力+〃一2=0（4£/?）,可得“2—2〃〃+〃一2=0,利用导数分

析函数/（力的单调性与极值，作出函数〃=/（力的图象，由图象可知，方程/—2〃〃+〃—2=0有两根对、

%，且满足/〉2e,0v%v2c,设g（〃）=〃2-2a〃+a-2,利用二次函数的零点分布可得出关于实数

。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.

【解析】令“=/（江由[/⑺丁一2qf（x）+a-2=0（acA）,可得〃？一2a〃Ta-2=0，

此

2X---,X>0

函数/（X）的定义域为{x|xwO},/（X）=TT=<”2x.

国,x<0

当工>0时，/（'=二'（2：一1）,由可得0<x<；,由可得

X乙乙

・•・函数在区间（）,g）上单调递减，在区间上单调递增，〃R）mE=/（；）=2e；

当上<0时，小）=，*（1；2竹〉0,此时函数/（X）单调递增，且〃力>0,作出函数〃=/（x）的图

X

象如下图所示：

由于关于工的方程[“X）了一2/（“+4-2=0（。£/?）恰有四个不同的实数根，

则关于〃的二次方程u2-2au+a-2=0恰有两个不同的实根%、出（%>/），

且直线〃=/与函数"=/（/）的图象有三个交点，直线〃=〃2与函数〃=/（戈）的图象有且只有一个交点,

/.u.I>2e,04<w,<2e,

/、.>f^（0）=6f-2>0

设g（〃）=,一加"+4—2,由二次函数的零点分布可得6。。c八，解得

[g（2e）=4e~-2ax2e+a-2<0

4e2-2/4/一21

a>—―因此，实数。的取道范围是--「,+8.故选D.

4e-\I4e-l）

【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

（1）二次项系数的符号：

（2）判别式；

（3）对称轴的位置：

（4）区间端点函数值的符号.

结合图象得出关于参数的不等式组求解.

14.（2021•江苏扬州市•高三月考）己知函数/（"='"八，若工尸占且/（%）=/（乂），则

2x+4e,x＜（）

民一七|的最大值为（）

A.2e—B.2e+lC.D.-e

e2

【答案】D

【分析】设点A的横坐标为玉，过点A作了轴的垂线交函数y=/（x）于另一点4,设点4的横坐标为超，

并过点3作直线），=2x+4e的平行线/,设点A到直线/的距离为4,计算出直线/的倾斜角为巴，可得出

4

上一々|=血〃，于是当直线/与曲线y=xh】x相切时，d取最大值，从而|%一9|取到最大值.

【解析】当x＞0时，f（x）=x\nx,求导/'（x）=lnx+l,令尸（x）=0,得x=l

e

（1A「1、

当工£0-时，r（x）＜o,/（X）单调递减；当工£-,+00时，/（力＞0,/（X）单调递增；

\e7Le）

作分段函数图象如卜所示:

设点A的横坐标为阳，过点A作y轴的垂线交函数y=/（X）于另一点B,设点B的横坐标为工2，并过点B

作直线V=2x+4e的平行线/,设点A到直线/的距离为4,回-

由图形可知，当直线/与曲线y=xlnx相切时，d取最大值，

此时‘八中仁

令—Inx十1一2,得x=e,切点坐标为（e,e）

lx,-x,I=—x>/5e=-e，故选D.

I1-1max22

【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考

查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.

15.（2021•天水市第一中学高三月考）函数〃x）=lnx-m在（0,+8）上有两个零点，则实数〃的取值范

围是（）

【答案】B

【分析】分离参数。后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数.

Inx

【解析】函数定义域为(o,+8)，由/(x)=lnx-ar=。,得〃=——

设g(x)=2，g'(x)J",令g'(x)=。得x=e，

XX

xe(O,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

x«e,+oo)时,g'(x)<0,g㈤单调递减;

x=e时，g(x)取极大值g(e)=L

e

Inv-

%g("n，J%,g⑻f0,；.要使函数/(力二111工-0¥=0有两个零点即方程——二〃右有两个不

同的根，即函数g(x)与y=a有两个不同交点即故选B.

【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题时，参数可以分离的情况下优先选择分离参数，然后构建新函数,

将零点个数转化为两个函数图像的交点个数.

16.(2021•江苏省滨海中学高三月考)已知关于x方程，(2工-1)+小。-1)=0有两个不等实根，则实数〃?

的取值范围是()

A.-4^2,-ljJ(-l,+oo)3

B.-oo,-4^2

(I\

C.-4/,TD.-co,-4/U(-hO)

\/

【答案】D

【分析】将问题转化为“方程-〃?=’(2'-1)^(2x-l)

有两个不等实根”，构造新函数/(x)=,利用导

x-1x-\

数分析其单调性以及取值情况，由此确定出方程有两个不等实根时〃?的取值范围.

【解析】当x=l时，/(2x—1)+〃7(X—l)=ewO,・・・x=l不是方程的解,

当工工1时，/(2,-1)+制工-1)=0有两个不等实根。-"?=,(2'一」有两个不等实根,

x-\

即与上=一俏的图象有两个交点,

x-\

令f(x)="(2xT)(xwi),r(x)="(=：｝,令7(切=0,・・.x=0或X=;，

X—1(X—I)2

当人«-oo,0)时,/'(%)>0,/(x)单调递增,当xe(O,l)时,/'(x)<0,f(x)单调递减,

当工时，/'(1)<0，/㈤单调递减.，当工£(看+8,，/'("AO，/(X)单调递增,

3

〃O)=IJlimf(x)=0,limf(x)=-o),limf(x)=+oo,lim/(x)=+x,

2

:.要使y="-I)与y=一根的图象有两个交点，则0v一〃1或_机>,

X—1

解得—1<〃z<0或mvTe，，•,的取值范围是一8,-4涓U(—1,0),故选D.

\7

【点睛】本题考杳利用导数研究方程根的问题，主要考查学生的转化、分析与计算能力，难度较难.方程

根的数目问题可以转化为函数图象的交点个数问题，也可转化为函数的零点个数问题.

1~|3

x2

17.(2021•辽宁辽南协作区期末)已知函数/(x)=Z：(x-1)+-e--xf若函数/(x)的单调递减区

间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数，则实数攵的取值范围为()

-3131、「3131、

A.-?一二，二一二B.-V--,-------

2__j_2__1(3131

7-T2V-8D.

【答案】C

【分析】函数/(X)的单调递减区间(理解