辽宁省沈阳市市级重点高中联合体2021-2022学年高一下学期数学期中考试测试卷（含答案）

辽宁省沈阳市市级重点高中联合体2021-2022学年高一下学期数学期中考试测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．cos17πA．−32 B．32 C．12．与函数y=tan(2x+πA．x＝π2 B．x＝－π2 C．x＝π43．已知3sinαcosA．16 B．−16 4．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）A．2.58m2 B．2.68m2 C．2.78m2 D．2.88m25．已知向量a，b满足|a|=5，|b|A．−3135 B．−1935 C．6．设ΔABC的三个内角A，B，C，向量m=(3A．π6 B．π3 C．2π37．将函数f(x)=sinx的图象向右平移π4A．24+12 B．24 8．已知函数f(x)=−10sin2x−10sinx−12，x∈[−A．[−π3，C．[−π3，二、多选题9．下列函数中，以2π为最小正周期的函数有（）A．y=cos|2x| B．y=|sinx2|10．已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足A．|2a+C．a⋅(a11．已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tanA．A＝2B．f(x)的最小正周期为6C．φ＝πD．(512．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(1，−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为A．φ=B．当t∈[0，3]时，函数C．当t∈[52，D．当t=5时，|PA|=2三、填空题13．若sin(α−π6)=−14．已知a=(−2，−1)，b=(λ，1)，若a与b的夹角15．在平面内将点A(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4，得到点B，则点B16．函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y=sin四、解答题17．已知f(α)=tan（1）化简f(α)；（2）若f(α)=45，且α是第二象限角，求18．已知向量a=(cosx，sinx)（1）若a⊥（2）记f(x)=a⋅b19．已知−π2<α<0（1）化简f(α)；（2）若f(α)=15，求sinα20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM=5（1）求cos(a−β)（2）求2α−β的值．21．已知函数f(（1）若函数f(x)的图象关于直线x=π6（2）在（1）的条件下，当x∈[0，7π12]时，函数22．已知函数f(x)=2sinωx，其中常数（1）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)（2）若y=f(x)在[−π4，（3）在（1）的条件下的函数y=g(x)在区间[a，b]（a，b∈R且a<b）上至少含有30个零点，求

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】cos17π故答案为：C

【分析】利用诱导公式化简求值即可.2．【答案】D【解析】【解答】当x=π8时，2x+π4=π2故答案为：D

【分析】根据正切函数的图象和性质，即可判断选项中的直线是否与函数y=tan(2x+π3．【答案】B【解析】【解答】由3sinαcosα+sin又由sinα−4故答案为：B.

【分析】根据题意，求得sinα=2cosα，可得tan4．【答案】D【解析】【解答】设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R−r=1.2m，由题意可知α⋅r=1.2m，所以扇形内需要进行工艺制作的面积的估计值为：S=1故答案为：D

【分析】利用扇形面积公式来求得扇环的面积.5．【答案】D【解析】【解答】∵|a|=5，|b|=6，|a因此，cos<故答案为：D.

【分析】计算出a→⋅(a→+6．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量m=(3m⋅解得：C=2π3

【分析】利用向量的坐标表示可求m→⋅n→=1+7．【答案】A【解析】【解答】由已知可得g(所以y=f(x)⋅g(x)=sin=2=2所以函数y=f(x)⋅g(x)的最大值为24故答案为：A

【分析】利用平移变换得到g(x)8．【答案】B【解析】【解答】由题得ff(−12≤t≤0时，f(x)的值域为[−【分析】由题得f(x)=−10(si9．【答案】B,D【解析】【解答】y=cos|2x|=cosy=sinx2的最小正周期为4π，所以y=|y=sin2x的最小正周期为π，所以y=|siny=tanx故答案为：BD

【分析】依次求出每个函数的周期即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】∵a对A，|2对B，|b对C，a⋅对D，a⋅故答案为：ABD

【分析】利用向量的线性运算，向量数量积的运算逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】如图，连接BC，设BC的中点为D，E、F为与P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知A＝2，A符合题意；|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝θ2，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tanθω＝π3，π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜由函数f(x)图象的对称性知，xF＝1＋32＝52，所以F故答案为：ABD.

【分析】画出f(x)大致示意图，结合正弦型函数的性质易得A＝2，再由tanθ2=|BD||PD|12．【答案】C,D【解析】【解答】因为A(1，−3因为旋转一周用时6秒，所以角速度ω=2π所以θP所以根据三角函数的定义可得y=f(所以φ=−π对于B，当t∈[0，3]时，对于C，当t∈[52，112]时，对于D，当t=5时，θP=π3×5−π3故答案为：CD

【分析】利用周期求出点P所在角的终边对应的角θP=θ13．【答案】4【解析】【解答】cos(α+π3∴，故答案为：45

【分析】由已知函数值，根据诱导公式即可求cos(α+14．【答案】(−【解析】【解答】由于a与b的夹角α为钝角，则a⋅b<0且a∵a=(−2，−1)，b=(λ，1)因此，实数λ的取值范围是(−12，2)∪(2，

【分析】由题意得出a⋅b<0且a与b15．【答案】(−【解析】【解答】设∠AOx=θ，|OA|=|OB|=1cosθ=所以cos(θ+sin(θ+设B(x，y)，则y=|OB|⋅sin所以B点的坐标为(−2故答案为：(−

【分析】结合两角和的正弦、余弦公式求得正确答案.16．【答案】π【解析】【解答】函数y=cos(2x+φ)的图像向右平移π2则−π2+φ=−因为0<φ<π，所以当k=0时，φ=π故答案为：π

【分析】根据三角函数图象变换法则可得y=sin(2x−π17．【答案】（1）解：f(α)=（2）解：f(α)=又∵α为第二象限角，∴cosα=−∴sin2α=2∴cos【解析】【分析】（1）利用诱导公式合同角三角函数关系式，化简可得.

（2）由和角的余弦公式和二倍角公式将所式子展开，再将sinα、cosα的值代入即可求解。18．【答案】（1）解：因为a=(cosx，sinx)所以3cos若cosx=0，则sinx=0，与故cosx≠0，于是tanx=3所以x=π（2）解：f(x)==3cos因为x∈[0，π]，所以x+π于是，当x+π6=π6当x+π6=π，即x=5π6【解析】【分析】（1）由已知可得3cosx−3sinx=0，则tanx=319．【答案】（1）解：f(α)==sin（2）解：由f(α)=sin平方可得sin即2sin∴sinα⋅又−π2<α<0，∴sin∴sinα−∵(sin∴sinα−【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可；

（2）对sinα+cosα=15平方可求出sinα⋅cosα=−1220．【答案】（1）解：由题意，OA=OM=1．∵S△OAM=∴sinα=255又点B的纵坐标是210且β∴sinβ=210，∴=5（2）解：∵cossin2α=2∴2α∈(π2，π)，又∵sin故2α−β=−π【解析】【分析】（1）根据三角形的面积求解出sinα=255，cosα=55，再根据三角函数的定义求解出sinβ=210，cosβ=−721021．【答案】（1）解：∵函数f(且函数f(x)∴2ω⋅π6+∴ω=1．由2kπ−π解得kπ−π∴函数f(x)（2）解：由（1）知f(∵x∈[0，7π12]当2x+π6∈[π6当2x+π6∈[π2又f(∴当f(π3)>0≥f(7π12即sin4π3≤−b−∴b∈(−2，故实数b的取值范围为(−2，【解析】【分析】（1）根据函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，得2ω⋅π6+π6=kπ+π2(k∈Z)，由于ω∈[0，3]22．【答案】（1）解：∵f(x)=2sin2x，∴f(x+π6即g(x)=2sin（2）解：∵ω>0，∴当x∈[−π4，∴−ωπ4≥2kπ−解得0<ω≤3k+34，又2π3+π4=11π12即ω的取值范围为(0，（3）解：令g(x)=0得sin(2x+∴2x+π3=2kπ+7π6解得x=kπ+5π12或x=kπ+3π∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π若b−a最小，则a，b均