弹性力学 课件 第6章平面问题的极坐标解答

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12第六章

平面问题的极坐标解答Chapter6Polarsolutionstoplanarproblems极坐标中的弹性力学方程0102极坐标中的应力函数与相容方程03孔口应力集中问题楔形体弹性力学解答及推广04极坐标中的弹性力学方程01Elasticityequationsinpolarcoordinates平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。

平衡条件

其中可取：

所以：平衡条件

略去三阶微量，保留到二阶微量，得：

平衡条件当考虑到二阶微量时，得：

含义：通过形心C的力矩为0。进一步验证了切应力互等定理。极坐标下的平衡方程：

01几何方程

所以切应变为

几何方程

02

所以切应变为

几何方程

03

（2）极坐标中的物理方程（3）边界条件

平面应力问题：对于平面应变问题，只须作如下变换，（1）几何方程为形式比较简单极坐标中的应力函数与相容方程02Stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：（a）物理量的转换；（b）从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。或：

（1）坐标变量的变换：（2）函数的变换：（3）导数的变换：极坐标下的应力分量与协调方程极坐标下的应力分量与协调方程

（3）导数的变换：因此，把x轴和y轴分别转到

和

的方向，有xyO时二阶导数的变换公式，可以从上式导出。例如：展开即得：

若微元体处于6.

展开即得：应力分量

若微元体处于展开即得：6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)应力函数

极坐标中的相容方程的展开式6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)

孔口应力集中问题03Stressconcentrationattheorifice问题的提出在结构中开孔以符合某种工程需求是工程上常见的现象，例如机械结构中连接件、以及隧洞开挖、水利工程中的泄洪口等，而确定孔边应力分布，进而对开孔构件进行强度校核，包括刚度校核、稳定性判定是确保各类开孔工程安全的基础。此类问题通常简化为圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）。如图所示，设有圆环受内外均布压力，内半径为a，外半径为b。试求应力分量、位移分量。分析：由于几何形状、载荷均轴对称，故属于轴对称应力问题。含义：轴对称即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。

问题：试求轴对称平面问题的应力分量、应变分量和位移分量。轴对称应力问题

相容方程简化为：①求应力函数相容方程：其中，因此，相容方程写为：

分部积分积分③应变通解②应力通解

（c）

（d）（a）（b）④求对应的位移将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分

代入得(a)，(b)两式的表达式为：

④求对应的位移

分开变量，两边均应等于同一常量F：

④求对应的位移由两个常微分方程，

其中，A、B、C、H、I、K都是任意常数，第2式第一项

，为满足位移单值条件，有B=0。①应力分量简化为，②考虑内、外边界条件，有内壁：外壁：③求解边界条件，得④带入参数，得拉梅-克拉贝隆解圆环/圆通受内压、外压时的应力解圆环/圆通受内压、外压时的应力解上述解答的应用：(1)只有内压力，此时(2)只有内压力且，成为具有圆孔的无限大薄板(弹性体)。(3)只有外压力单值条件的说明：(1)多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）。(2)在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。所以,按应力求解时,对于多连体需要校核位移的单值条件。说明（1）在轴对称应力条件下，应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称的，但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力的条件是物体形状、体力和面力应为轴对称。（4）轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。（5）轴对称应力及位移的通解可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。

问题的提出：带有圆孔的无限大板（B>>a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力

q

作用。求：孔边附近的应力。b第一步：改造边界条件直边宜用直角坐标系，圆孔宜用极坐标。以远大于a的某长度b为半径，构造圆形边界。如图A点应力状态可描述为现在来看，直角坐标系与极坐标系下，应力分量的变换关系：

第一个问题求直角坐标中的应力分量：

如图取三角形微元体，其厚度为1。根据三角板A，x方向平衡：6.

同理，y方向平衡，可得：再由三角板B,y方向平衡：

第一个问题求直角坐标中的应力分量：

6.

利用三角公式：第二个问题考虑图C平衡条件。

考虑图D平衡条件。6.求直角坐标中的应力分量：求极坐标中的应力分量：第二个问题求直角坐标中的应力分量：求极坐标中的应力分量：

P616.利用三角公式：

b第一步：改造边界条件极坐标系下，边界条件变换为：直角坐标系：为了便于分析，将外边界条件分解为两部分：轴对称边界：非轴对称边界：分别考虑轴对称问题和非轴对称问题，再利用叠加原理将两者叠加，得到问题的全部解。b第二步：求解两个问题问题1：考虑轴对称边界，该问题可借用只有外压而没有内压的拉梅-克拉贝隆解，令式(6-17)中，，并考虑，有问题2：考虑非轴对称边界,结合应力函数与应力之间的微分关系

，可猜测应力函数应具有以下形式将其带入相容方程，并做推导由于

不能总为0，所以令对应特征方程：其根为将

代回应力函数，得将上述应力函数代入应力分量表达式，有考虑边界条件：内边界：外边界：利用边界条件，确定待定常数，有代回应力分量，有第三步：叠加轴对称边界部分的解非轴对称边界部分的解无限大平板开圆孔的吉尔斯解答。由于圆孔开裂的控制应力为

，环向应力可写为拉应力压应力压应力拉应力压应力经分析可知，孔边应力集中系数最大为3；无论是拉伸、还是压缩，在远离孔心3倍半径后，应力集中系数逐渐趋近于1.吉尔斯解答的推广：(1)求解双向拉伸（或）压缩问题的孔边应力集中(2)纯剪状态下的孔边应力集中楔形体弹性力学解答及其推广04Elasticmechanicssolutionofwedgeanditsextension（一）楔顶受有集中力P作用（1）应力函数的确定——①应力函数楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力F，与中心线的夹角为β，求：因次分析法

xyFO

Fµ

（a）（一）楔顶受有集中力P作用①应力函数

——4阶常系数齐次的常微分方程

其通解为：

将其代入前面的应力函数表达式：

（对应于无应力状态）其中A，B，C，D为积分常数。

xyFO（一）楔顶受有集中力P作用②应力分量的确定

xyFabO

（b）③写出边界条件

——自然满足

将式（b）代入

（2）楔顶的边界条件：任取一圆弧圆弧，其上的应力应与楔顶的力F

平衡。

（一）楔顶受有集中力F作用xyFabO③写出边界条件将式（b）代入，得：

积分得：可解得：④写出应力分量

（e）（一）楔顶受有集中力F作用xyPabO讨论两种特殊情况：

应力对称分布应力反对称分布（一）楔顶受有集中力P作用

FxyO

求解位移：

考虑对称性，由

，得H=K=0积分

楔顶受集中力P的模型可用于求解摩天大楼重力作用下，地基的沉降问题。考虑位移公式：

考虑上述第二式，令

，有：

这里I表示求解位移时出现的积分常数，需要利用边界条件确定。当大地上没有位移边界条件时，可选择一参考点，设参考点的

，则可求出任意点相对于参考点的沉降量，设为

，有：（二）楔顶受有集中力偶M作用①应力函数

xyOM（1）应力函数的确定

（c）②应力分量的确定

（4-22）（二）楔顶受有集中力偶M作用xyOM

③写出边界条件

——自然满足（二）楔顶受有集中力偶M作用xyOM

为了求出B，截取ab弧上的楔形顶平衡，得

应力分量简化为

④写出应力分量

（二）楔顶受有集中力偶M作用——英格立斯（C.E.Inglis）解答

xyOM

（三）楔形体一侧面上受有均布面力作用①应力函数

（1）应力函数的确定得到：

（f）

（三）楔形体一侧面上受有均布面力作用