第02讲 导数与函数的单调性含新定义解答题分层精练（解析版）

第02讲导数与函数的单调性(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础1、单选题1．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.【详解】，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：A.2．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【详解】对于A选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当时，的导函数为，所以在时单调递增，又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.故选：D.3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，又，所以，不等式，即，即，所以，即不等式的解集为.故选：B4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.【详解】因为存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，令，则，令，解得(负值舍去)，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，故，故选：A.5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.【详解】函数，求导得，由在上单调递增，得，，而恒有，则，又时，，在上单调递增，所以实数a的取值范围是.故选：D6．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.【详解】设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】C【分析】根据题意得到，构造，，求导得到其单调性，进而求出最大值，得到答案.【详解】由题意得，，不妨设，则存在，使得，又，故，其中，故，由于，令，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，故实数的最大值为.故选：C8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.【详解】不等式等价于，令，根据题意对任意的，当时，，所以函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以当时，，单调递增，当时，单调递减.所以，所以.故选：C.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立；（2）恒成立.二、多选题9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，当时，，函数在上单调递增，故B正确；当时，，，所以在上单调递增，故D正确；当时，当时，；当时，；故A正确；C错误.故选：ABD.10．（2023·重庆·三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】A选项，根据导函数得到函数的单调性，进而得到；B选项，根据条件得到函数图象上凸，画出函数图象，由的几何意义得到；CD选项，结合，结合图象得到答案.【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确；C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD三、填空题11．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由条件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数，若不等式成立，则实数的取值范围为【答案】【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式.【详解】由得，，所以在上为减函数，由得，解得或.故答案为：四、解答题13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数．(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.【详解】（1）由题可得，因为在点处的切线平行于轴，所以，即，解得，经检验符合题意．（2）因为，令，得或．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，因为，当且仅当时，，所以在区间上单调递增．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．14．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可；【详解】函数的定义域为，所以.当时，，所以在上单调递增；当时，令得，令得，所以在上单调递减：在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.B能力提升1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.【详解】设函数，可得，所以函数在上单调递减，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集为.故选：D.2．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，由导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】令，则在上为减函数，所以，则.故选：A3．（多选）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（

）A．可能有三对“友好点”B．若，则有两对“友好点”C．若仅有一对“友好点”，则D．当时，对任意的，总是存在使得【答案】BD【分析】不妨设，存在友好点等价于方程有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论的图象以及直线的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.【详解】若和互为友好点，不妨设，则，即，令，则，令，则，所以单调递减，注意到和同号，且，所以当时，即，单调递增，当时，即，单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出的图象以及直线的图象，如图所示，

当时，不存在友好点，当或时，仅存在一对友好点，当时，存在两对友好点，从而不可能有三对“友好点”，若仅有一对“友好点”，则或，故AC错，B对，当时，仅存在一对友好点，即对任意的，总是存在使得，D对.故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设，存在友好点等价于方程有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.4．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出导函数，按照的正负分类讨论，由的正负可得单调性；【详解】（1）由题意知的定义域为，

，当时，，在上单调递减；

当时，令，，故方程有两个不同的实数根，分别为，，且，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；5．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数．(1)当时，求的单调增区间；(2)求的单调区间；(3)若在区间上为减函数，求的取值范围.【答案】(1)增区间为(2)答案见解析(3)【分析】（1）将函数求导，使导函数大于0求得，即得函数单调增区间；（2）将函数求导分解因式，根据参数进行分类讨论，得到函数的单调区间；（3）由在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，结合函数图象，得到关于参数的不等式组，解之即得.【详解】（1）当时，，因，由可得，则的单调增区间为.（2）由求导得，由可得或.①当时，由可得，由可得；②当时，在上恒成立；③当时，由可得，由可得.故当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，无递减区间；当时，的单调增区间为，单调减区间为.（3）由（2）得在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，即在区间上恒成立.不妨设，结合函数的图象知，需使，解得或.即的取值范围是.C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.(1)已知，求曲线在处的切线方程；(2)若且，.研究的单调性；(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即