第01讲 导数的概念及运算 含新定义解答题分层精练（解析版）

第01讲导数的概念及运算(分层精练）A夯实基础B能力提升C新定义题A夯实基础一、单选题1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用物理上“质点在时的瞬时速度即质点的位移的导函数在时的函数值”即可求得.【详解】由求导得，则在时的瞬时速度为.故选：B.2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）设函数在处存在导数为2，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用导数的定义即可得解.【详解】由依题意，知，则.故选：C.3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列函数求导正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D4．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：A.5．（2024高二下·全国·专题练习）函数的导函数，满足关系式，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导后，代入，求出答案.【详解】由进行求导得：，当时，可得：，解得：.故选：A.6．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数，由，得，则点，由，求导得，则，于是，所以该曲线在点处的切线方程为.故选：B7．（21-22高二下·北京房山·期中）函数的图象如图所示，则与的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由导数的几何意义和函数的图象可得答案.【详解】与分别表示在和处切线的斜率，由图象得，且在处切线的斜率比处切线斜率小，所以；故选：A8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出导函数后计算出切线斜率，然后写出切线方程．【详解】由题意知，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即.故选：A.二、多选题9．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（

）A．已知函数在上可导，若，则B．C．已知函数，若，则D．设函数的导函数为，且，则【答案】CD【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.【详解】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，若，则即，故C正确.对于D，，故，故，故D正确.故选：CD.10．（2024高二下·全国·专题练习）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故曲线是上升的，且越来越陡峭，所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．故选：ACD．三、填空题11．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为.【答案】/【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意可知，，，根据导数的几何意义可知，函数的图象在处切线的斜率为.故答案为：12．（23-24高三下·广西南宁·开学考试）已知，则曲线在点处的切线方程为.【答案】【分析】根据导数的运算性质，结合导数的几何意义进行求解即可.【详解】，所以曲线在点处的切线方程为，故答案为：四、解答题13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线，设点坐标为，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程．(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标【答案】(1)(2)或(3)或.【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入切线方程中，求出，即可求出切线方程；（3）设，表示出曲线在点处的切线，联立直线与，根据求出，即可求出点的坐标.【详解】（1）由，可得，所以，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）设切点为，则，所以切线方程为，即，又切线过点，所以，即，即，即，即，即，解得或，则切线方程为或，所以过点的切线方程为或.（3）设，则，，所以曲线在点处的切线为，又曲线在点处的切线与曲线相切，由，可得，则，解得或，则或，所以或.14．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求：(1)割线的斜率；(2)在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率；（2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）解：当时，，即点，令，可得，解得，即点，因此，割线的斜率为.（2）解：对函数求导得，所以，曲线在点处切线的斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，即.15．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数与函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；（2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.【详解】（1），，.在点处的切线方程为：；（2）设曲线与曲线的公切点为，，，令，即，或（舍），，∴所求公切线方程：，即.B能力提升1．（2024·河北·一模）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（

）A． B．50 C．49 D．【答案】A【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.【详解】由，，，，依此类推，，所以.故选：A2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可.【详解】由得，所以切线方程是，①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若，则，即，由，即，得或，综上:或或.故选：B.3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B4．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，得，代入曲线，所以的最小值即为点到直线的距离.故选：B.5．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】设出切点坐标，利用导数求得切线方程的斜率，即为直线方程得，再利用基本不等式即可.【详解】设切点为，由题得，所以切线的斜率，且所以切线方程为，即，与直线相同，所以，整理得，所以，当且仅当，时，取得最小值9．故选：CC新定义题1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造，再结合即可得到结果；（3）通过换元令令，则原不等式