江苏专用2024高考数学二轮复习课时达标训练二十三随机变量与分布列

PAGEPAGEPAGE1课时达标训练(二十三)随机变量与分布列A组——大题保分练1．(2024·南京学情调研)袋中有形态和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球．(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的肯定值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．解：(1)两个球颜色不同的状况共有Ceq\o\al(2,4)·42＝96(种)．(2)随机变量X全部可能的值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(4·Ceq\o\al(2,4),96)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(3·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\f(2·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(1,8).所以随机变量X的概率分布列为X0123Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)所以E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,8)＝eq\f(5,4).2．(2024·苏锡常镇一模)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．(1)问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；(2)求随机变量X的数学期望E(X)．解：∵批量较大，∴可以认为随机变量X～B(10，0.05)．(1)恰好有2件不合格的概率P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,10)×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,10)×0.053×0.957，∵eq\f(P（X＝2）,P（X＝3）)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10)×0.052×0.958,Ceq\o\al(3,10)×0.053×0.957)＝eq\f(57,8)＞1，∴P(X＝2)＞P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(2)令p＝0.05，P(X＝k)＝pk＝Ceq\o\al(k,10)pk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10.随机变量X的概率分布为X012…10PCeq\o\al(0,10)p0(1－p)10Ceq\o\al(1,10)p1(1－p)9Ceq\o\al(2,10)p2(1－p)8…Ceq\o\al(10,10)p10(1－p)0故E(X)＝∑10,k＝0kpk＝10×0.05＝0.5.3．(2024·南通、泰州等七市三模)现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发觉，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1文章学习积分12345概率eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,6)eq\f(1,2)表2视频学习积分246概率eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)(1)现随机抽取1人了解学习状况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习状况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．解：(1)由题意知，获得的积分不低于9分的情形有：文章学习积分3455视频学习积分6646因为两类学习互不影响，所以概率P＝eq\f(1,9)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，所以每人每日学习积分不低于9分的概率为eq\f(5,9).(2)随机变量ξ的全部可能取值为0，1，2，3.由(1)知每人每日学习积分不低于9分的概率为eq\f(5,9)，则P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,729)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(5,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(80,243)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,9)＝eq\f(100,243)；P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(125,729).所以随机变量ξ的概率分布为ξ0123Peq\f(64,729)eq\f(80,243)eq\f(100,243)eq\f(125,729)所以E(ξ)＝0×eq\f(64,729)＋1×eq\f(80,243)＋2×eq\f(100,243)＋3×eq\f(125,729)＝eq\f(5,3).所以随机变量ξ的数学期望为eq\f(5,3).4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为eq\f(1,3)，某试验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该试验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的肯定值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率．解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0，1，2，3，4，对应的未发芽的种子数为4，3，2，1，0，所以ξ的全部可能取值为0，2，4，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)＋Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(17,81).所以随机变量ξ的概率分布为ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)数学期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).(2)由(1)知ξ的全部可能取值为0，2，4，当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)>0，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集为x≠eq\f(1,2)，不满意题意．所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝eq\f(64,81).B组——大题增分练1．(2024·镇江期末)某学生参与4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是eq\f(1,4)，该学生各学科等级成果彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分．记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的肯定值．(1)求X1的数学期望；(2)求X2的分布列．解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事务Ai，i＝0，1，2，3，4.X1的可能取值为0，1，2，3，5.则P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4－i)，即P(A0)＝eq\f(81,256)，P(A1)＝eq\f(27,64)，P(A2)＝eq\f(27,128)，P(A3)＝eq\f(3,64)，P(A4)＝eq\f(1,256)，则X1的分布列为X101235Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,256)所以E(X1)＝0×eq\f(81,256)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(27,128)＋3×eq\f(3,64)＋5×eq\f(1,256)＝eq\f(257,256).(2)X2的可能取值为0，2，4，则P(X2＝0)＝P(A2)＝eq\f(27,128)；P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(27,64)＋eq\f(3,64)＝eq\f(15,32)；P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(81,256)＋eq\f(1,256)＝eq\f(41,128).所以X2的分布列为X2024Peq\f(27,128)eq\f(15,32)eq\f(41,128)2.(2024·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再依据检验结果确定是否对余下的全部产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品作检验？解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2·(1－p)18，所以f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所须要的检验费用为400元．由于EX>400，故应当对余下的产品作检验．3.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针匀称分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S＝eq\f(\r(3),2)的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S)．解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有Ceq\o\al(3,6)种不同选法，其中S＝eq\f(\r(3),2)的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),2)))＝eq\f(12,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).(2)S的全部可能取值为eq\f(\r(3),4)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(3\r(3),4).S＝eq\f(\r(3),4)的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),4)))＝eq\f(6,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10).S＝eq\f(3\r(3),4)的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(3\r(3),4)))＝eq\f(2,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,10).又由(1)知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),2)))＝eq\f(12,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故S的分布列为Seq\f(\r(3),4)eq\f(\r(3),2)eq\f(3\r(3),4)Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)所以E(S)＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(3,10)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(3\r(3),4)×eq\f(1,10)＝eq\f(9\r(3),20).4．(2024·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分，pi(i＝0，1