2025届高考数学利用导数研究函数的零点（解析版）

利用导数研究函数的零点

【新高考专用】

导数是高中数学的重要内容，从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点(方程根)问题在高考中

占有很重要的地位，是热点问题，主要涉及函数零点的个数或范围等问题.高考常考查三次函数与复合函数

的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活

求解.

►知识梳理

【知识点1导数中的函数零点问题及其解题策略】

1.函数零点(个数)问题的的常用方法

(1)构造函数法：构造函数g(x),利用导数研究g(无)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数

有多少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求

解.

2.导数中的含参函数零点(个数)问题

利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数五X)的最值，转化为八X)图象与X轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由y(x)=O分离参变量，得a=g(x),研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合

特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【知识点2隐零点问题及其解题策略】

1.隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会

遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点

存在定理处理.

2.隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数式x)在区间/上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，

导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数小)在区间/上存在唯一的零点(例如，函数五X)

在区间/上是单调函数且在区间1的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零

点是X0.因为X0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点比叫做隐零点；若X0容易求出，

就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

►举一反三

【题型1判断或讨论零点的个数】

-1,%>0

[例1](2024•新疆乌鲁木齐•三模)已知符号函数sgn(x)=0,%=0,则函数/(久)=sgn(lnx)-xlnx零

「1,%V0

点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】根据零点的定义计算即可.

【解答过程】臼当In%>0,即久>1时，/(x)=1—xlnx,

尸(%)=—Inx—1<0在(1,+8)上恒成立，

所以/(%)在(L+8)单调递减，

因为f(1)=1>oj(e)=l-e<0,

所以存在％0e(l,e)使得f(Xo)=o.

团当Inx=0,即x=1时，/(%)=—xlnx,

因为((1)=0,所以％=1是f(x)的零点.

⑶当Inx<0,即0<久<1时，/(x)=—1—xlnx,f'(x)——Inx—1,

令尸(久)>0,得0<x<(令尸(x)<0,得，<x<l,

所以"X)在(0,》单调递增，在&,1)单调递减，

所以f(X)max=fe=T+F<。，

此时/(X)在(0,1)没有零点，

综上，f(x)的零点个数为2.

故选：C.

ln(l—x),x&(—co,0]

【变式1-1](2024.北京房山.一模)若函数/(©=i七s,则函数g(x)=/(x)+x+c零

e(o,+oo)八'

点的个数为(

C.1或2D.1或3

【解题思路】令g(x)=y(x)+x+c=0,则/(X)+K=-C,则函数g(x)零点的个数即为函数y=/(x)+

=—c图象交点的个数，构造函数似x)=f(尤)+x,利用导数求出函数h(x)的单调区间，作出其大致图

象，结合图象即可得解.

ln(l—x),xG(—oo0]

x,xe(0,l),

i,xe[loo)

!1+

令g(%)=/(%)+%+c=0,则f(%)+x=-c,

则函数g(%)零点的个数即为函数y=/(%)+x,y=-c图象交点的个数，

ln(l—x)+xE(—oo,0]

令h(%)=/(%)+x=2x,xG(0,1)

：+[1,+8)

当xe(—oo,0]时，/i(%)=ln(l—%)+%,则h'(X)=+1=~~20,

所以函数M%)在(一8,0]上单调递增，且h(o)=o,

当%E(0,1)时，h(x)=2xE(0,2),

当%e[1,+8)时，h(x)=|+%,则》(%)=—妥+1=>0,

所以函数以%)在[1,+8)上单调递增，且以1)=2,

又当久->一8时八(%)T—00,当久T+8时，ft(%)T+00,

作出函数八(第)的大致图象如图所示，

由图可知函数y=/(%)+x,y=-c的图象有且仅有一个交点，

所以函数g(%)=/(%)+%+c零点的个数为1个.

故选：A.

【变式1-2](2024.陕西榆林.模拟预测)已知函数/(%)=In%-a%e%T+%+1,aGR.

(1)当a=1时,求f(%)的极值；

⑵讨论函数/(%)的零点个数.

【解题思路】(1)原函数求导尸(%)=(-(ex-1+%ex-1)+1=(%+1)Q—令g(x)=~~e'T再

分析，进而得到原函数的单调区间，进而得到极值.

(2)分情况讨论单调区间，借助极限知识，大概知晓函数图像趋势和函数值，进而得到零点个数.

【解答过程】(1)当。=1时，f(x)=\nx—%ex-1+%+1,

・，/(%)=^—(ex-1+xex-1)+1=(%+1)Q—e*i),

易知函数/(%)的定义域为(0,+8),且函数y=]口y=—e%T都在区间(0,+8)上单调递减，

令9(%)=：-e%T,则g(%)在区间(0,+8)上单调递减，且g(l)=0,

・•・当0<%Vl时，((%)>0；当％=1时，((1)=0；当久>1时，/'(%)<0,

・•・函数/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

・・・函数/X%)的极大值为f(l)=l,无极小值.

(2)当。工0时，易知/(%)>0,函数/(%)单调递增,

又当先一时，/(%)——00;当％T+8时，/(%)T+00,

・•・当时，函数/(%)只有一个零点，

当。>0时，令九(%)=2-ae%T,易知h(x)在区间(0,+8)上单调递减，

X

当％T0+时，h(x)T+8;当％T+8时，/(x)T—00,

x-1

「・存在x()G(0,+8)使得九(&)=0,即2=ae°,

%0

・,•当0<%<%0时，f'(x)>0,函数/(%)单调递增；当%>%0时，((%)V0,函数/(汽)单调递减,

又当久-»0+时,/(X)T-00;当％T+8时，/(x)-»-00,

下面讨论/(%0)与0的大小关系，

x-1x1

V/(x0)=lnx0—axoe°+%0+1,—=ae°~,

XQ

x-1

=xoe°,即In]=ln%0+x0-1,

・・・/(久o)=lnx0+x0=1—Ina,

,当OVaVe时,/(x0)>0；当a=e时，f(%。)=0;当a>e时，/(%())<0.

・,•当0<aVe时，/(%)有2个零点；当a=e时，/0)只有1个零点；当a>e时，/(%)没有零点.

综上，

当ae(-oo,o]u{e}时,函数/(%)只有1个零点；

当ae(0,e)时，函数/(%)有2个零点；

当。G(e,+8)时，函数/(、)没有零点.

【变式1-3](2024.安徽芜湖•模拟预测)已知函数/(%)=e*sin%.

⑴讨论函数f(%)在区间(Ojr)上的单调性；

(2)判断函数h(x)=譬+ln(x+1)-2x+1零点的个数.

【解题思路】(1)求导，即可得解；

(2)利用导数，进行求解即可.

【解答过程】(1)f'(%)=(cosx+sinx)ex=V2sin(x+ex

当xe(0,乎)时，尸⑺>0,所以/⑺在(0,日)单调递增，

当无6倍,n)时，尸0)<0,所以f(x)在C单调递减.

(2)易知函数h(x)的定义域为(-L+8)

*.*ft(%)=sin%+In(%+1)-2%+1

h'(x)=cosx+-2

当%>0时，cosx<1,Vl,

hr(x)<0,

，h(%)单调递减，

当—1V%<0时，

1

h"(x)=-sinx一语于<。，

...”(X)单调递减，

>%'(0)=0

.••h(x)单调递增.

综上：h(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+8)单调递减.

，h(%)max=八(0)=1>0，

••.九(仁—1)=sin0T)+ln(3_21)+1W]<0,

.•.八(久)在(-1,0)有唯一零点.

Vft(e-1)=sin(e—1)+ln(e)—2(e—1)+1<5—2e<0,

・•・h(%)在(0,+8)有唯一零点；

综上所述h(x)在(-1,+8)有两个零点.

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】(2024•四川绵阳•模拟预测)函数/⑺=数-履-匕恰好有一零点殉,且k>b>0,则殉的取值范

围是()

A.(-oo,0)B.(0,1)C.(-00,1)D.(1,+oo)

【解题思路】由题将函数f(%)恰好有一零点与，且k>b>0等价于y=kx+b与g(x)=屋相切，将切线斜

率左和截距6求出来根据k>b>0即可求解.

【解答过程】函数/(久)-0即e8=kx+b,

因为函数f(x)恰好有一零点且k>6>0,

则由指数函数图象特性y=kx+b与g(x)=e久相切，

因为g'(x)=e，设切点为(xo，e，。)，则切线斜率为k=e&,

xx

切点在切线上，故b=e°-kx0=e°(l-x0),

x

所以由k>b>0得e"。>e°(l—x0)>0=>0<x0<1.

故选：B.

【变式2-1](2024•四川成都•三模)若函数f(x)=ex-k/大于。的零点有且只有一个，则实数k的值为()

_2

A.4B.2VeC.-D.-

24

【解题思路】根据题意，函数/Xx)有且仅有一个正零点，转化为方程k=§有且仅有一个正根，令g(x)=W

利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解.

【解答过程】函数久支)有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根，

令9(X)=*则g'OO=

当汽<0时，g'(x)>0,当0<x<2时，g'(%)<0,当%>2时，g'(%)>0,

02

即函数9(%)在(一8,0)和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，且g(2)=z，

%->0时，g(%)—+8,%7-8时，g(%)-0,%-»+8时，g(%)T+8,可作出图象如下，

X2

方程k=吃有且仅有一个正根，所以k=j

xz4

故选：D.

【变式2-2](2024.四川德阳•三模)已知函数/Q)=21nx—/—1.

⑴试研究函数/(久)的极值点；

(2)若尸(无)=f(x)+4ax恰有一个零点，求证0<a<三.

【解题思路】(1)先求函数/(X)的导函数，再利用导数与单调性的关系，得到函数“X)的单调区间，最后

得到函数f(x)的极值点；

(2)根据零点存在定理结合函数尸(x)的单调性，从而确定a的取值范围.

【解答过程】(1)由/'(%)=21nx-/一1,定义域为(0,+8),

则广(X)=|-2%=-2(弋(XT),久>(J,

所以当0<x<l时，f\x)>0,此时函数/(x)在xe(0,1)单调递增,

当久>1时，/(%)<0,此时函数/(%)在％E(1,+8)单调递减，

故函数/(%)有唯一极大值点久=1,无极小值点.

(2)由题意可得F'(%)=4a+：—2%,%>0,

令P(%)=0,解得％=a±Va2+1,

因为％=a+Va2+1>0,x=a—Va2+1<0,

所以F'(%)在(0,+8)上有唯一零点％°=a+'a?+i,

当%e(0,&)时，F'(x)>0,F(x)在(O,%o)上单调递增；

当久G(g,+8)时,F'(%)<0,F(x)在(%。,+8)上单调递减.

因为F(%)有且仅有一个零点，所以F'(%o)=0且F(&)=0.

(7

月口-+4a-2x=0

即■x00,

2

21n第o+4ax0—x0-1=0

消去Q并整理得:21nx0+%o-3=0,

令九(%)=2\nx+%?_3,则"(%)=|+2%,

因为%>0时，h'{x)>0在(0,+8)上恒成立，所以h(%)在(0,+8)上单调递增，

又九(1)=-2<0,h(2)=21n2+1>0,所以1<&<2.

又a=](X。_3且函数y=|(x-目在(L2)上单调递增,

q

所以0<a<-.

4

【变式2-3](2024・广东汕头・三模)已知函数f(%)=x(ex-ax2).

(1)若曲线y=/(%)在%=-1处的切线与y轴垂直，求y=/(%)的极值.

(2)若f(%)在(0,+8)只有一个零点，求a.

【解题思路】(1)求出函数/(%)的导数，结合几何意义求出a,再分析单调性求出极值.

(2)由函数零点的意义，等价变形得Q=旨在(0,+8)只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.

【解答过程】(1)函数/(%)=x(ex-a%2)的定义域为R,求导得广(%)=(x+l)ex-3ax2,/'(一1)=-3a,

依题意，((-1)=0,则a=0,/(x)=xex,ff(x)=(1+%)ex,

当光<—1时，/'(%)V0,当久>—1时，/'(%)>0,

因此函数/(%)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

所以函数/(乃在芯=-1处取得极小值/(-I)=~1,无极大值.

(2)函数f(%)=久(e*-a/)在(o,+8)只有一个零点，等价于y=e%-a/在(o,+8)只有一个零点，

设=e%-则函数g(%)在(0,+8)只有一个零点，当且仅当g(%)=。在(0,+8)只有一解，

即a=3在(0,+8)只有一解，于是曲线y=^(x>0)与直线y=a只有一个公共点，

令夕(%)=袅(第〉0),求导得0，(X)=e当％V2时，/(%)V0,当％〉2时，"(%)>0,

因此函数0(乃在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

2

函数9(%)在汽=2取得极小值同时也是最小值0(2)=—p,

4

当久T0时，0(久)1+8;当％T+8时，9(%)T+8,

g(x)在(0,+8)只有一个零点时，a=0(2)=—,

4

a2

所以/(乃在(0,+8)只有一个零点口寸，a=^.

【题型3零点问题之双零点问题】

[例3](2024•河北衡水•模拟预测)已知函数f(%)=Inx+1-a%有两个零点%1，%且%1<%2，则下列命

题正确的是()

2

A.a>1B.+x2<-

C.&V1D.不—汽1>1-1

【解题思路】根据零点可将问题转化为a=喈，构造9。)=修，求导即可根据函数的单调性得函数的

大致图象，即可根据图象求解A,根据极值点偏移，构造函数h(x)=f仁-久)-/0),结合函数的单调性

即可求解B,根据久1+小>：可得ln(/X2)>0，即可求解C,根据不等式的性质即可求解D.

【解答过程】由f(%)=0可得a=等，令9(乃=等，其中x>0,

则直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点，g'O)=-罢,

由“(x)>0可得0<x<1,即函数g(x)的单调递增区间为(0,1),

由“(%)<0可得久>1,即函数9(%)的单调递减区间为(1,+8),

且当0<%〈工时，g(%)=^^i<0,当无〉工时，^(x)=>0,g(l)=1,

exex

如下图所示：

由图可知，当0<a<l时，直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点，故A错误；

由图可知，-<%!<1<%2,

因为尸(x)=1—a=手，由尸(x)>0可得0<x<%由尸(x)<0可得x>,

所以，函数f(x)的增区间为(0,£),减区间为弓,+8),则必有0<勺<；<冷，

所以，0<X】<工，则2—%>―,

aaa

令h(%)=/((-%)—/(x)=In(：—%)—a(：—%)—Inx+ax,其中0V%V

则”(x)=A-1+2a=2ajXj\<0，则函数h(x)在(o,£)上单调递减，

axva)

所以,h(xi)>%(：)=0,即-f(xi)>0,即/'(尤i)<f(|一％J，

又/O2)=/(xi)=0,可得/(X2)<f-xj,

因为函数f(x)的单调递减区间为G，+8),则乂2>/-久1，即久1+%2>=，故B错误；

由的-inr1t1，两式相加整理可得久1+"2=>:，

1(/6九2—111人2~r-Laa

所以，ln(x1x2)>0,可得汽「％2>1，故C错误；

由图可知(V<1V则—第1>—1,又因为%2>，,所以，％2-L故D正确.

故选：D.

【变式3-1](2024•湖南郴州•模拟预测)已知/(%)=znem%-ln%(?n之0),若/'(%)有两个零点，则实数m的

取值范围为()

A.(*)B.(吟)

C-(3+8)D.区,+8)

【解题思路】由同构的思想可知，若/(%)有两个零点，贝!-x\nx=0(%>0)有两个解，即=In%有

两解，分离变量求导即可

【解答过程】解：由题意可知，若f(%)有两个零点，则f。)=memx-In%=。有两个解，

等价于znxe771%—xlnx=0(x>0)有两个解，因为m>0,%>0,所以In%>0,

令g(t)=tef,原式等价于=g(ln%)有两个解，又g(t)在[0,+8)上单调递增，

所以=lnx(x>0)有两个大于零的解.

解=In%,可得zn=—,令h(%)=—(x>0),

XX

则九'(%)=]q2,当ov%<e时，//(%)>0,当久>e时，//(%)<0,

所以九(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且h(e)=±似%)的图象如图：

e

所以当0<m<：时，TH=等有两个交点，即/(>)有两个零点.

故选：A.

【变式3-2](2024•湖南•三模)已知函数/'(%)=ae2x—(ax+2—a)ex+|x2.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若f(%)有两个零点，求〃的取值范围.

【解题思路】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得/(%)单调性.

(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得〃的取值范围.

【解答过程】(1)函数/(%)=tie?%-(a%+2-a)e*+的定义域为R,

求导得/'(%)=2ae2x—(ax+2)ex+%=(aex—l)(2ex—%),

令(p(x)=2ex—x,求导得9'(%)=2ex—1,当％<—ln2时，(p'(x)<0,当%>-ln2时,w'(%)>0,

函数9(%)在(-8,-ln2)上递减，在(Tn2,+8)上递增,

(p(x)>w(—ln2)=1+ln2>0,即2e%—%>0,

①当a<0时，aex-1<0,/'(%)<0恒成立，/(%)在R上单调递减；

②当a>0时，由/'(%)<0,得第V—Ina,由/'(%)>0,得％>—Ina,

函数/(%)在(-8,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增，

所以当a40时，/(乃在R上单调递减；

当。>0时，/(%)在(-8,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增.

(2)由(1)知，当时，f(%)在R上单调递减，f(%)在R上至多一个零点，不满足条件，

当a>0时，f(%)min=f(-Ina)=1---1-InaH—,令g(a)=1---FInaH---,

则g'(a)=专+如詈=—+1+Ina)=汜+1-1吟，

令〃(%)=第一1—In久，求导得优(%)=1—当0<%Vl时，〃'(%)<0,当％>1时，〃'(%)>0,

函数”(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，u(x)>u(l)=0,即一In%21-%,

于是g'(a)之([十+1+(1—1)]=：>0,函数g(a)在R上单调递增，而g(l)=0,

则当0<aVl时，g(a)<0,当a=l时，g(a)=0,当a>l时，g(a)>0,

①若a>l,贝i」f(%)min=g(a)>。，故/(%)>0恒成立，/(%)无零点；

②若a=1,贝!Jf(%)min=g(a)=0，f(x)=。仅有一个实根久=-Ina=0,不满足条件；

③若0<a<1,则f(x)min=9(。)<0，

注意到一Ina>0,f(—2)=与++2=•。+2--z>0,

e43。e2Je4e2

于是/'(%)在(-2,-Ina)上有一■个实根，又ln(|-1)>In]=-Ina,

且/(ln(g-1))=a弓一I/一[aln弓一1)+2-a]-1)+|ln2(^-1)

>矶,-1)2-[aln(；_1)+2-a](|-1)=(3—a)[^-ln(|-1)],

令/i(x)-x—ln(3x—l)(x>1),则〃(x)=1—当1<x<(时"(x)<0,当x>(时"(x)>0,

所以h(x)在(1,｝上单调递减，在(%+8)上单调递增，h(x)>/l(i)=i-ln3>0,

则又0<a<l,即3—a>0,则有(3—a)g—ln0-1)]>0,

即f(In*-1))>0,于是f(x)在(Tna,ln《-1))上有一个实根，

又/(%)在(-8,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增，因此/(%)在R上至多两个实根,

又f(%)在(-2,-Ina)及(-lna,ln(：-1))上均至少有一个实根，则/。)在R上恰有两个实根,

所以0<a<1时，"X)在R上恰有两个实根.

【变式3-3](2024•浙江•模拟预测)已知a为实数，neN*,设函数f(x)=/一。也刀.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若/(X)有两个零点，求a的取值范围.

【解题思路】(1)首先求函数的导数，分aW0和a>0两种情况讨论函数的单调性；

(2)根据(1)的结果，转化为函数的最小值小于0,并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.

【解答过程】⑴尸⑺…W，z>0,

当a<0时，/'(%)>0,/(%)在(0,+8)单调递增,

1

当a>0时,令广(%)>0,得x>O,

1

令尸(无)<o,得o<久<(£)”,

所以函数的单调递减区间是0,(：y)单调递增区间是((£)",+8),

综上可知,a40时,/(%)的增区间是(0,+8)；

a>0时，外久)的单调递减区间是(0,(犷)，单调递增区间是俏+8

(2)由(1)可知，若外>)有两个零点，贝iJa>0,

且当x=(犷时，取得最小值，/((凯)=[0[-alng)"<0,

得a>ne,

且第T0时，/(%)T+00,•当％T+00,/(%)T+00,

所以(0噌y)有1个零点，俏y，+8)也有1个零点，

所以若f(x)有两个零点，贝Ua>ne.

【题型4根据零点情况求参数范围】

f|3-2x\l,x>0,

【例4】(2024.四川.模拟预测)已知函数/(%)=(%+2y若函数y=有5个不

I久W°，

同的零点，贝必的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【解题思路】求得了'(%)=二箸，得到函数f(x)的单调性和极值，作出函数f(x)的图象，根据题意，转化

为“%)=0和f(x)-a=0共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.

【解答过程】当xW0时，/(%)=空当，此时尸(x)=二箸，

则%<-2时,f'M<0J(%)单调递减;-2<x<0时，f'(x)>0/(久)单调递增,

所以，当x=-2是/'(x)的极小值点，作出如图所示的函数/'(%)的图象，

函数y=［/(x)］2-af(x)有5个不同的零点，则方程［/(久)］2-af(x)=0,

即f(乃丁(久)-a］=0有5个不相等实数根，

也即是f(x)=0和f(%)-a=0共有5个不相等实数根，

其中/(x)=。有唯一实数根工=-2,

只需/(%)-a=0有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知1<a<4,

即实数a的取值范围为(1,4).

故选：C.

【变式4-1】(2024・四川.模拟预测)已知函数/(»={_：］；：：j：'()，若关于万的方程/。)+a—1=0的不

同实数根的个数为4,贝b的取值范围为()

A-(1一］，1)B.C.(1,1+0D.(1-j,l+1)

【解题思路】首先利用导数判断函数的单调性，最值，以及函数的趋势，画出函数的图象，利用图象，解

决函数图象的交点问题.

【解答过程】当XW0时,r(%)=(x+l)ex,由此可知f(x)在(一~-1)单调递减，在(-1,0］上单调递增，

当X一一8时,xeXTo,/(x)min=/(-I)=一：；

当x>0时，f(x)=-|lnx|=归,

/(x)在(0,1］单调递增，在(L+8)上单调递减，/(%)max=/⑴=0,

如图所示作出函数的大致图象，则/(%)=1-a有四个零点，则y=/(%)与y=1-a的图象有四个交点，

因此一(<1—a<0,得a6(1,1+j,

故选：c.

【变式4-2](2024•四川凉山•三模)已知函数/(久)=(2x—l)e久一m/—nix+TH.

(1)当m=0时,求/(x)的极值点;

(2)若爪>0且函数有三个零点，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)通过求导得到函数的单调性，继而可判断函数的极值点情况；

(2)将函数求导，得到导函数的两个零点-；和Inrn,根据参数小进行分类讨论，排除加=3和。<逅时

2ee

的情况，在山>立时讨论函数的两个极值点的函数值的符号，以及函数两端的图象变化趋势，通过求解不

e

等式组[f(一》>0即得参数范围.

l/(lnm)<0

【解答过程】(1)当m=0时，由/'(%)=(2%+l)e%=0可得%

当工W(-8,-5时广(%)<0,/(%)在(-8,-5上单调递减；当工€(-3+8)时/(%)>0,/(第)单调递增.

故了(%)的极小值点是一:无极大值点.

(2)由/'(%)=(2x+l)(ex—m)=0可得，x=—1或％=Inm,

①当1口m=一：时，即=f时，//(x)>0,函数/(%)在R上单调递增，则函数/(%)至多有一个零点，不满

足条件；

②当0<THVF时函数/(%)在(-8/mn)上单调递增，在(Inm,上单调递减，在

(一孑,+8)上单调递增，因f(lnm)=mlnm(l-Inm)<0,函数/(%)至多一个零点，不满足条件；

③当血>?时，函数/(%)在(一8,-1)单调递增，(一glnzn)单调递减，(Imn,+oo)单调递增.

因f(-5)=-lie-5-19m<0,要使函数/(%)有三个零点，需使5)>°,且当％f+8时，/(x)t+oo.

l/(lnm)<0

取g(%)=ex-%-1,则由g<==ex-1>0,可得久>0.易得g(%)在区间(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上

单调递增，

则有g(%)>g(0)=0.即e*>x+1,于是e"1>x,贝!Je">e%,即e5>-%,从而e%>—x2

24

因/(TH)=(2m—l)em—m3—m2+m>(2m—1)—m2—m3—m2+m

4

=m[(/-1)病一(}+1)血+1]>mQm2—3m+1)>0.(S7<e2<8,则}—1>|,^-+1<3)

且zn>Inm,

’f(_工)=则__?_>Qmr

则24,由①解得，僧>笠，由②可得，0<血<1或血>6,

/(Inm)=mlnm(l—Inm)<0,②

故得：—<m<1或m>e

5e

综上：，"的取值范围是(^,l)U(e,+8).

【变式4-3](2024.新疆.三模)已知函数f(x)=(x—l)e，—^/+a.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)对函数求导后，分aWO,a=l,0<a<l,a>1四种情况讨论导数的正负，从而可

求出函数的单调区间；

(2)由(1)可知当a>1时，f(x)可能有三个不同的零点，然后分1<aWe?和a>e?两种情况结合零点存

在性定理与函数的单调性讨论零点的个数.

【解答过程】⑴因为f(x)的定义域为R,且广⑺=%(眇一。),

当a<。时,令f'(%)<0,解得汽<0；令/'(%)>0,解得％>0,

所以/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

当。=1时，尸(久)之0时恒成立，当且仅当％=0时等号成立，所以/(%)在R上单调递增；

当0<a<1时，Ina<0,令尸(%)<0,解得Ina<x<0,

令;(%)>0,解得尢<Ina或%>0,

所以/(%)在(-8/na)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

当a>1时，Ina>0,令尸(%)<0,解得0<x<Ina,

令广(%)>0,解得％>Ina或％<0,

所以/(汽)在(-8,0)上单调递增，在(0』na)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

综上，当时，/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

当0<。<1时，/(%)在(-8,1口。)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

当a=1时，/(、)在R上单调递增；

当a>l时，/(%)在(-8,0)上单调递增，在(0』na)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

(2)由(1)得，当。工0时，/(%)至多有两个零点，不符题意；

当。=1时，/(%)至多有一个零点，不符题意；

当0<aVl时，/(%)的极大值/(Ina)=alna(l-等)<0,/(久)至多有一个零点，不符题意；

当lVaWe?时，/(%)的极小值/(Ina)=alna(1-写)20,/(%)的极大值/(0)=a-1>0,/(%)至多有

两个零点，不符题意；

当a>e2时，因为/(%)在(一8,0)上单调递增，且/(一或)=(-V2-l)e-^<0,

/(0)=a-l>0,所以/(%)在(一8,0)上有且只有一个零点，

因为/(%)在(0,Ina)上单调递减，/(0)=a—1>0,且/(Ina)=alna一等)<0,

所以/(%)在(0,Ina)上有且只有一个零点，

因为/(%)在(Ina,+8)上单调递增，/(Ina)=alna(1—写)<0,

令"(%)=e*—/(%>0),则H'(久)=/—%,令t(x)="'(%)=e%—%,贝!j

t'{x)=ex—1,

因为当x>0时，廿(%)>r(0)=0,

所以1(%)在(0,+8)上递增，即印(%)=ex一％在(0,+8)上递增，

所以"(%)>H鼠0)=1>0,所以“(%)在(0,+8)上递增，

所以HO)>H(0)=1>0,

2

所以e%>;v在(0,+8)上恒成立，

所以/(%)=(%—l)ex—^x2+a>(%—1)-y—+a='-(：)入+

所以/(a+1)>a>0,

故f(%)在(Ina,+8)上有且只有一个零点，

所以/(第)有三个零点，

综上，当a>e2时，y=/(%)有三个不同的零点.

【题型5函数零点的证明问题】

【例5】(2024.重庆.模拟预测)已知函数/(%)=a(lnx+1)+/(a〉0).

(1)求证：1+xlnx>0；

X

(2)若久L%2是f(%)的两个相异零点，求证：\2-%ll<1-5

【解题思路】(1)设g(%)=l+%ln%%€(0,+8),求导，分析函数的单调性，确定函数的值域可证明该

问题.

(2)求尸(%),分析函数单调性，求出极值；根据f(x)的两个相异零点，可确定a的取值范围，并分别得到%1，犯

的取值范围，推导出,2-％11的取值范围.

【解答过程】(1)令g(%)=1+€(0,+8),则g'(%)=1+ln%.

令g'(%)>0，得x>I；令g'Q)<0,得。<%<^.

所以g(x)在(0,》上单调递减，在(：,+8)上单调递增.

所以g(x)min=g0=1-1>3所以1+xlnx>0.

(2)易知函数f(x)的定义域是(0,+8).

由fCO=a(lnx+1)+2，可得f'O)=f=

令f'(x)>0得x>j|；令尸(x)<0得0<x<3

a

所以尸(x)>0在0,表上单调递减，在上单调递增,

所以/'(X)mii+%

①当W(lnm+3)+gN0,即0<aW3e4时，/(久)至多有1个零点，故不满足题意.

②当巴(ln?+3)+巴<0,即a>3e4时,

3\a/3

3

因为/(%)在+8上单调递增，且/(l)=a+l>0.所以

所以/(X)在(事,+8)上有且只有1个零点，不妨记为修,且，|<尤1<1.

33

由(1)知所以/a[In/-+1।+a2>a(一迎+1)+a2=a>0.

a

因为"x)在(o,生)13

上单调递减,■f

所以〃%)在(o,3

上有且只有1个零点，记为犯，且<&<

a

所以<冷<—<<1,所以卜-1<彻—<0.

若记灯仁雨室俯1)

同理,

则有0<%2—<1—

综上所述，|第2—%1IV1—

【变式5-1](2024•四川自贡•三模)已知函数/(%)=1+：+aln%(a>0)

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)函数/(%)有唯一零点久甘函数g(x)=%-sin%-3在R上的零点为第2.证明：<%2•

【解题思路】(1)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

(2)法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，x1=ijQ)=-alna+a+l=0,构造

函数9(%)=-%ln%+为+1,结合导数及函数性质可得a的范围，再令h(%)=+sin%-结合导数分析

九(%)的单调性,利用不等式放缩即可求解.法二：/(%1)=0=>In%1+%1+1=0,设新函数h(x)=Inx+%+

1,利用零点存在性定理得%1G(2，3,再证明9(%)单调性即可.

【解答过程】(1)函数/(%)=1+：+Qln%(a>0)的定义域为(0,+8),

且广(%)=_2+/等，

所以当0<%V(时/'(%)<0,当%>那了'(%)>0,

所以/(%)的单调递减区间为(0,£)，单调递增区间为弓,+8)；

(2)法一：由(1)可知若函数f(%)有唯一零点%1，则/=，即f弓)=一alna+a+1=0,

令9(%)=-xlnx+%+1,则伊'(%)=—Inx,

当%>1时，"(%)<0,0(%)单调递减，当0<汽<1时，“(X)>0,伊(%)单调递增，

因为>2.74=53,1441>27,e5<35=243<256,

所以@(3)=-31n3+4=4-ln27=Ine4-ln27>0,

9⑷=-41n4+5=5—ln256=Ine5—ln256<0,

当0<%<1时0(%)=%(1—Inx)+1>0,当％->+8时？(%)t—oo,

所以0(x)在(3,4)上存在唯一零点，所以3<a<3,即:<十<%

Q-2g-2

令九(%)=---Fsinx—x,贝=---+cos%—1<0,

X*

所以九(%)在(0,+8)上单调递减,

故九f-)>八0)=5+sin工一工>?+sin工一三=sin三>0,

\aJ\3Je23332333

所以ae">i—sin-,

aa

=x2

又g(12)2~sinx2—«e-=0,

-2

所以%2—sinx2—ae>^—sini=%i—sinx1,

令F(%)=%—sin%,则F'(%)=1—cosx>0,

所以F(%)在(0,+8)上单调递增，

又F(%2)>F(xJ,

所以％2>

法二：因为。>0,由(1)可知若函数f(%)有唯一零点久1，则第1=，

即f(%i)=Qin%1+++1=5(In%、+%1+1)=0=In%1+/+1=0,

设h(%)=In%+%+1,hQ)><0，而h(%)在(0,+8)上单调递增，

所以%1€(，F)，“(%)=1-cosx>0,所以g(%)在R上单调递增，

又g(0)=v0,.,•%1>0,

令伊(%)=x-sin%-=1-cosx+>0,所以奴工)在(0,+8)上单调递增，

x

所以.•・奴/)<^(-)=-sin-<0,而g(%2)=2~sinx2一气=x?—sinx1-