2025高考数学一轮复习：新高考新结构命题下的立体几何解答题综合训练（学生版）

第08讲新高考新结构命题下的

立体几何解答题综合训练

(10类核心考点精讲精练)

I他.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。立体几何版

块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适

中，易于学生入手。同样不能忽视的是，立体几何版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时

的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，

以期在新高考中取得更好的成绩。

12•考点梳理

考点8立体几何中的劣构性问题

考点9立体几何中的杂序问题

考点10立体几何中的新定义问题

考点一、空间中平行关系的证明

1.（2024•河南新乡•模拟预测）如图，在四棱锥S-ABCD中，S4D为正三角形，底面ABCD为矩形，且平

面SAD，平面ABCD,M,N分别为棱SC,AB的中点.

（1）证明：MN//平面5AD；

AR

⑵若回,AD,且二面角C-MN-。的大小为12。。，求罚的值.

2.（2024,浙江嘉兴•模拟预测）如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧面PCD，

底面ABC。,PC="=5,点及G分别是。C,OP的中点，点厂在棱AB上且AF=3FB.

2

p

⑵求直线FG与平面P8C所成的角的正弦值.

3.(2024•福建泉州•模拟预测)如图，在圆柱中，ARAB分别为圆柱的母线和下底面的直径，C为底

⑴若M为BC的中点，求证：〃平面ACD；

(2)若AC=1,BC=6，圆柱。02的体积为兀，求二面角2-0夕-4的正弦值.

4.(2024•陕西西安•模拟预测)如图，在九面体A2CDEFGH中，平面AGV_L平面ABCDEF,平面AFG//平

面HC£>,AG^GF=CH=HD=421，AB=6,底面ABCDEF为正六边形.

B

(1)证明：GH//^ABCDEF.

(2)证明：6"_1平面4八7.

⑶求GE与平面ABG所成角的正弦值.

5.(2024・贵州贵阳•二模)由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台A8CD-中，E,尸分别

为AD,A3的中点，AB=2AjB]=4,侧面2片£(?与底面ABC。所成角为45。.

AFB

⑴求证：〃平面4所；

⑵线段AB上是否存在点使得直线与平面4匹所成的角的正弦值为型,若存在，求出线段AM

3

的长；若不存在，请说明理由.

考点二、空间中垂直关系的证明

1.(2024•陕西商洛•三模)如图，在四棱锥中，平面ABCD,平面尸AC,平面

PBD,AB=AD=AP=2.

(1)证明：BDLPC；

(2)若E为的中点，440=60。，求E到平面的距离.

2.(2024•江苏宿迁•一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB〃CD,ZBCD=60°

AB=2BC=2CD=4,平面平面ABC£).

P

(2)若ABLPD,且PC与平面ABCD所成角的正切值为2,求平面尸3c与平面PAD所成二面角的正弦值.

3.(2024•全国•模拟预测)如图，将VABC绕边BC旋转得到△DBC,其中AC=JBC=2,AC_LBC,AE_L平

^ABC,AE=^,连结。及EG分别是8c,8。的中点，小〃平面做.

3

(2)求CG与平面ABE所成角的正弦值.

4.(2024•安徽•一模)如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2,AB=2也,SC=4,

4

M■是S3的中点，MCLBD.

S

（1）证明：SA_L平面ABC。；

（2）若点P是棱SC上的动点，直线"与平面4MC所成角的正弦值为四，求其的值.

10SC

5.（2024•江苏徐州•模拟预测）如图,在斜三棱柱ABC-A与G中，VABC为边长为3的正三角形，侧面22CC

为正方形，A在底面ABC内的射影为点。.

⑴求证：OB=OC；

⑵若OA=OB=OC,求直线AA,和平面BB&C的距离.

考点三、空间向量法求空间角与空间距离

1.（2024•天津北辰•三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PZ）J_平面ABC£>,ADLDC,AB^DC,

AB=AD=^CD=2.,PD=2,M为棱PC的中点.

⑴证明：3"//平面24。；

⑵求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值；

⑶求A点到直线PC的距离.

2.（2024・河北•模拟预测）如图所示，三棱柱中，M,N分别为棱4耳（£的中点，E,尸分别是

5

棱2片上的点，AlE=BF=^AAi.

Ci

⑴求证：直线九W〃平面CEF；

⑵若三棱柱ABC-A4G为正三棱柱，求平面CEF和平面ACGA的夹角的大小.

3.（2024•江西新余•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，ZBAD=ZCDA^60,XABC=90,AD=4,

CD=2,PB=3,PA=276,平面PDC_L平面ABC。.

（2）求二面角P-3C-D的余弦值.

⑶G为平面PBC内一点，若。G,平面尸BC,求3G的长.

4.（2024・贵州•模拟预测）在三棱锥ABCD中，ACmBCD,P是AB上一点，且3AB=4BP,连接CP

与DP,。为。P中点.

⑴过。点的平面平行于平面AC。且与BC交于点M，求不7;

CM

⑵若平面尸CD_L平面ABC,S.AC=2BC=2CD=4,求点尸到平面BC。的距离.

5.（2024•辽宁沈阳•三模）已知四棱柱4BCZ）-ABIGR中，AA,1^ABCD,AAl=AB=BC,AB+AD=6,

在底面四边形ABC。中，AD//BC,AB±AD,点E是BC的中点.

6

⑴若平面ACR1平面CD”,求三棱锥2-ACD的体积；

⑵设=f且7>1,若直线3。与平面A用E所成角等于60。，求t的值.

考点四、几何法求空间角与空间距离

1.（2024•辽宁丹东•一模）如图，在四棱锥尸—ABCD中，AD//BC,ADJ.AB,PA=PB=PC=AD=2,

AB=s/3,BC=1,点E在棱尸。上.

⑴求证：平面PAC_L平面ABCD；

⑵若平面ACE分两部分几何体PABCE与ACDE的体积之比3:2,求二面角E-AC-O的正弦值.

2.（2024•重庆渝中•模拟预测）如图，已知在正三棱柱ABC-中，他=2,3耳=及，。为边AC的中点.

(1)证明：ABt1BQ;

⑵求三棱锥。-BCG的体积;

⑶求二面角。-8C「C的大小.

TT

3.（2024•江西南昌•三模）如图1,四边形ABC3为菱形，ZABC--,E,E分别为OC的中点，如

图2.将VABC沿AC向上折叠，使得平面ABC,平面ACFE,将1）£F沿环向上折叠.使得平面DE户，

平面ACFE,连接3D

7

B

BC

⑴求证：A,B,D,E四点共面：

⑵求平面AEDB与平面ED8C所成角的余弦值.

4.（2024•安徽芜湖•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-4玛0中，正方形42与A的棱长为2,4G=AG=后，

点M为中点，GM=2布.

⑴求证：三棱柱ABC-A4G为直三棱柱;

⑵求直线G"与平面4MC所成角的余弦值.

5.（2024•广东汕头•三模）如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD3

⑴求异面直线AB与CO所成角余弦值的大小;

⑵求点E到平面ACD的距离.

考点五、动点问题

1.（24-25高二上•浙江嘉兴•阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，P4,平面ABC。，P8与底面ABCD

所成角为45。，四边形ABCD是梯形，AD1AB,BC//AD,AD^2,PA=BC^1.

8

p

（1）证明：平面PAC_L平面PCD；

⑵若点T是CO的中点，点M是尸T的中点，求点尸到平面的距离.

⑶点T是线段CD上的动点，尸T上是否存在一点使尸7,平面若存在，求出M点坐标，若不存

在，请说明理由.

2.（2024•全国•模拟预测）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AB〃DC,=60。，NF,平

面ABCRN是BC的中点，E是AD的中点，V3CF的面积为36，四棱锥尸-ABCD的体积为8出.

⑴求证：仞，平面。印；

⑵若P是线段A3上一动点，当二面角C-EF-P的大小为90。时，求胃的值.

AD

3.（23-24高二上•广西•阶段练习）如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为尸,。，A40C是圆柱的轴截

面，正方形ABCD内接于下底面圆。，点E是3C中点，AB=6y[2,A\=6.

⑴求证：平面PQE，平面尸BC；

⑵若点M为线段尸。上的动点，求直线BM与平面PBC所成角的余弦值的最小值.

4.（2024•江西新余•二模）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,ZABC=90°,

S.PA^PD=AD,PC=PB.

9

⑴若。为AD的中点，证明：平面尸OC，平面ABCD；

（2）若NCDA=60。，AB=^CD=l,线段PD上的点“满足=且平面PCB与平面ACM夹角的余

弦值为叵，求实数4的值.

7

5.（2023•山东潍坊•三模）如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面

圆。的内接正三角形，且边长为石，点E在母线PC上，且4石=石，CE=1.

（2）求证：平面平面A5D

⑶若点M为线段尸。上的动点.当直线与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的

距离.

考点六、范围问题

1.（2023•全国•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-ABIG中,AB=AC=A4j=1,AB±AC,垂直于

平面ABC.点P,E,尸分别为边4G，AA，AC上的动点（不包括顶点），且满足AE=AF=A尸.

⑴求三棱锥与-A/E的体积的最大值;

⑵记平面3所与平面3cp所成的锐二面角为6,当6最小时,求cos。的值，并说明点尸所处的位置.

10

2.（23-24高三下•河北沧州•阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A耳G中，回ABC为边长为2的正三角形,

AA=3。为AC中点，点E在棱CG上，且CE=2CG，O<2<1.

2

（1）当时，求证平面3DE；

⑵设。1为底面A耳G的中心，求直线C01与平面3DE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时X的值.

3.（2024•湖南长沙•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，上4,平面ABCD,2=2,底面ABC。为直角梯

形，ZBAD=9Q°,AB=2,CD=AD=1,N是尸3的中点，点。分别在线段PO与"上，且。M=刀及，

⑴若平面MAQ〃平面ABCD,求；I、〃的值；

⑵若MQ〃平面尸2C,求d的最小值.

4.（2023•浙江•模拟预测）在三棱锥尸-ABC中，AB=2壶,BC=1,AB_LBC,直线R4与平面ABC所成角

为直线网与平面ABC所成角为

63

⑴求三棱锥体积的取值范围；

（2）当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角尸-AB-C的平面角的余弦值.

5.（2023•河南•模拟预测）如图，在正四棱台ABCD-ABG2中，AB=2\BX,明=6，M,N为棱耳£,

G2的中点，棱上存在一点E,使得AE〃平面加MX

11

⑴求箓

⑵当正四棱台ABC。-的体积最大时，求8片与平面&WND所成角的正弦值.

6.（2024•江苏苏州•模拟预测）如图，四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PB,PC=PD,且

平面218,平面尸CD.E,尸分别是AB,8的中点.ABfBC=6.

（2）求四棱锥尸-A3CD体积的最大值；

⑶求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围.

考点七、立体几何中的存在性问题

1.（2024・广西•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，BD±PC,ZBAD=nO°,四边形ABC。是菱形,

PB=y/2AB=V2PA，E是棱尸。上的动点，且=

⑴证明：PA_L平面A^CD

（2）是否存在实数X,使得平面与平面ACE所成锐二面角的余弦值是审？若存在，求出彳的值；若

2.（2023・天津•一模）已知底面ABC3是正方形，妖JL平面,PA//DQ,PA=AD=3DQ=3,点、E、

厂分别为线段尸8、CQ的中点.

12

p

⑴求证：EF〃平面PADQ；

⑵求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

⑶线段PC上是否存在点使得直线AM与平面PC。所成角的正弦值是31,若存在求出鬻的值，若

不存在，说明理由.

__2兀

3.（2023・福建龙岩•二模）三棱柱ABC-中，ABJ.AC,AB=AC=2,侧面AACC1为矩形，ZAIAB=—,

三棱锥C「ABC的体积为述.

3

（2）侧棱CQ上是否存在点E，使得直线AE与平面ABC所成角的正弦值为£?若存在，求出线段GE的长;

若不存在，请说明理由.

4.（2024•福建泉州•模拟预测）如图，直四棱柱ABCD-ABIGR的底面为菱形，且ZZMB=60。，E,O分别

是上，下底面的中心，P是A3的中点，AB=kAAl.

⑵是否存在实数3使得。在平面EBC内的射影。|恰好为E3C的重心.若存在，求k,若不存在，请说

明理由.

5.（2024•广东东莞,模拟预测）如图，已知四棱台ABCO-ABIGD的上、下底面分别是边长为2和4的正

13

方形，AAi=4,且明，底面ABC，点P、。分别是棱B与、的中点.

⑴在底面内是否存在点满足40，平面CP。?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说

明理由;

⑵设平面CP。交棱AA于点7,平面CPTQ将四棱台ABC。-分成上、下两部分，求上、下两部

分的体积比.

考点八、立体几何中的劣构性问题

1.（2024•北京海淀•模拟预测）如图，矩形ACFE,AE=i,平面ABCD,AB//CD,ZBAD=90°,

AB^l,CD=2,平面ADb与棱8E交于点G.再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作

为已知.

⑴求证：AG//DF；

⑵求直线CF与平面夹角的正弦值；

⑶求尊的值.

BE

条件①：AD=1；

条件②：AD=2；

条件③：AD=3.

2.（2024•江苏南通•二模）如图，边长为4的两个正三角形ABC,38所在平面互相垂直，E,E分别为

BC,CD的中点，点G在棱AD上，AG=2GD,直线A3与平面E尸G相交于点

14

A

⑴从下面两个结论中选一个证明：①BDUGH；②直线GF,AC相交于一点；

注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

（2）求直线BD与平面EFG的距离.

3.（2024•北京海淀•一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//3C,M为旅的中点，AM//平面CDP.

C

⑴求证：BC=2AD；

（2）若====再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，

使四棱锥尸-ABCD存在且唯一确定.

（i）求证：PA_L平面ABCD；

（回）设平面CDPc平面54P=/,求二面角C-/-3的余弦值.

条件①：BP=DP；

条件②：AB±PC；

条件③：ZCBM=ZCPM.

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

4.（2024•广东广州•模拟预测）已知四棱锥P-ABCD的底面ABC。是正方形，给出下列三个条件：①

PC=PD；（2）AC±PD；③BD2平面PAC.

⑴从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立;

15

(2)在(1)的条件下，若上4=1,当四棱锥P-ABCD体积最大时，求二面角尸-CD-8的余弦值.

5.(23-24高三上•北京朝阳•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，AB//DC,ZABC=90,AB=2DC,侧面P3C_L

底面ABC£>,E是卫4的中点.

⑴求证：OE//平面PBC；

(2)已知AB=3C=2,PB=PC,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使

四棱锥尸-ABCD唯一确定，求二面角E-如-C的余弦值.

条件①：AP=2A/2;条件②：APLBC-,条件③：直线AP与平面所成角的正切值为孚.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

考点九、立体几何中的杂糅问题

1.(2024•福建•模拟预测)在VABC中，ZABC=90°,AB=6,NACB的平分线交AB于点O,AD=2DB.

平面a过直线4B,且与VA3C所在的平面垂直.

⑴求直线CZ)与平面a所成角的大小；

(2)设点且/EC。=30。，记E的轨迹为曲线厂

(i)判断「是什么曲线，并说明理由；

(ii)不与直线重合的直线/过点。且交厂于尸，Q两点，试问：在平面a内是否存在定点T,使得无论

/绕点D如何转动，总有NPTC=NQTC?若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.

2.(2024•河北石家庄•二模)已知椭圆E:二+4=1("6>0)的左、右焦点分别为耳与，离心率为变，过

ab2

点耳的动直线/交E于A,B两点，点A在％轴上方，且/不与x轴垂直，AAB乙的周长为40,直线A8与

E交于另一点C,直线86与E交于另一点。，点P为椭圆E的下顶点，如图①.

①②

⑴当点A为椭圆E的上顶点时,将平面xOy沿x轴折叠如图②，使平面AFtF21平面BF£,求异面直线AC

与2月所成角的余弦值；

16

⑵若过尸2作工垂足为H.

(i)证明:直线CQ过定点；

(ii)求怛引的最大值.

3.(2024•山东•模拟预测)如图(1),已知抛物线E:Y=2y的焦点为产，准线为/,过点尸的动直线加与E

交于A,2两点(其中点A在第一象限)，以A2为直径的圆与准线/相切于点C,。为弦A3上任意一点，

现将ZVICB沿CD折成直二面角A-CD-3,如图(2).

(1)证明：cosZACB=cosZACDcosZBCD；

(2)当/ACS最小时，

①求A,8两点间的最小距离；

②当A,B两点间的距离最小时，在三棱锥A-BCD内部放一圆柱，使圆柱底面在面3C。上，求圆柱体

积的最大值.

4.(2024•福建泉州•模拟预测圮知抛物线E:V=©，点C在E的准线上,过E焦点厂的直线与E相交于A3

两点，且VABC为正三角形.

⑴求VABC的面积；

⑵取平面外一点尸使得上4==PC,设M,N为尸C,8C的中点，若AM，MN,求二面角Af—P4—N的

余弦值.

考点十、立体几何中的新定义问题

1.(22-23高三上•河北•阶段练习)已知2=田%修),b=(x2,y2,z2),c=(^,y3,z3),定义一种运算：

(aXZ?).C=x1y2z3+x2y3zx+-^y3z2--x3y2Zj,在平行六面体ABCD中，AB=(1,1,0),

1

AD=(0,2,2),A41=(l，-4).

⑴证明：平行六面体ABCD-是直四棱柱；

⑵计算1(ABXA。).闯，并求该平行六面体的体积，说明|(ABxA£>).闯的值与平行六面体

ABC。一ABCD体积的关系.

2.(2022•辽宁沈阳•二模)峰房是自然界最神奇的"建筑"之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个

相等的三棱锥H—ABC,J-CDE,K-EFA,再分别以AC,CE,E4为轴将,.AS,CE7,一.E4K分别

向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空

17

间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的

曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表

冗71

示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是彳，所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3*§=限

4AiBi

图1图2

⑴求蜂房曲顶空间的弯曲度；

⑵若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,设BH=x

（i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积5（无）；

（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

3.（23-24高一下•福建三明•期末）阅读数学材料："设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点尸处

的离散曲率为I-1（NQiPQ+NQ2PQ3+NQ3PQ4+•+NQjPQk+，其中

Z71

<2,0=1.2,k,Q3）为多面体M的所有与点p相邻的顶点，且平面QPQ,平面&PQ3,…，平面以了以

和平面。*尸。为多面体M的所有以P为公共点的面.”已知在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱

形.A4,=AB.（角的运算均采用弧度制）

（1）若AC=BD,求四棱柱ABC。-ABG2在顶点A处的离散曲率；

⑵若四棱柱ABCD-ABC2在顶点A处的离散曲率为;,求与平面ACG的夹角的正弦值；

7AG1

⑶截取四面体4