2024学年无锡市江阴某中学高二数学上学期12月检测试卷（附答案解析）

2024学年无锡市江阴二中高二数学上学期12月检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线瓜+3、-2=0的倾斜角是（）

7T712兀5兀

A.一B.一C.—D.

6336

2

在复平面内，若i是虚数单位，复数Z与「关于虚轴对称，则z=

1-1

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

3.如图，在平行六面体-44GA中，E为8C延长线上一点，BC^ICE，则厚可以表示

为（）

—►1―►—►

A.~AB+—~AD+~AA\B.AB+-AD-AA,

2

C.AB+—AD+4AlD.A8+|2D-Z^

4.已知4:尤+（加+1）了_2=0/：mx+2y+4=0,贝!]"〃？=]''是"〃〃2”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要

5.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、南

水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.

若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长

为（）

A.10.5尺B.11.5尺C.12.5尺D.13.5尺

6.已知抛物线f=4了的焦点为F,点P为抛物线上动点，点Q为圆（x-ir+（y-4）2=1上动点,

则|尸0|+|尸用的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

22

7.已知双曲线C:「-右=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片，耳，点P是C的右支上一点，

ab

PFJPF2,尸片与y轴交于点M.若|£O|=3|（W|（。为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为

)

1

A.y=+xB.y=+>j6xC.y=±y[3xD.y=±3x

8.2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021

年5月15日头现软着陆火星表面.如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以。为圆心、A为

半径的圆，轨道I是以M为圆心、&为半径的圆，着陆器从轨道I的A点变轨，进入椭圆形轨

道n后在。点着陆.已知直线/C经过O,M,与圆。交于另一点5,与圆/交于另一点。，若

。恰为椭圆形轨道H的上焦点，且十=£，AB=3CD,则椭圆形轨道II的离心率为（）

二、多选题（本大题共3小题）

22

9.已知方程二+二^=1（m为实数）表示的曲线C,则（）

m2m+5

A.曲线C不可能表示一个圆B.曲线C可以表示焦点在X轴上的椭圆

C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线

10.已知空间三点40,x,0）,5（2,2,0）,C（-l,3,l）,则下列结论正确的有（）

A.存在唯一的实数x使

B.对任意实数x,4SC三点都不共线

C.当x=l时，方与前夹角的余弦值是叵

11

D.当x=l时，£=（1,-2,5）是平面/3。的一个法向量

11.已知。为坐标原点，点4（2,1）在抛物线C:x2=2处（p>0）上，抛物线的焦点为尸，过点3（0,-1）

的直线/交抛物线C于P,0两点（点P在点瓦。的之间），则（）

A.直线N2与抛物线C相切B.OPOQ=6

C.若尸是线段3。的中点，则2|%|=|QP|D.存在直线/，使得|PF|+|。用=2|5用

三、填空题（本大题共3小题）

2

12.写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：.

①与圆/+/=1相切，②与X轴相切.

13.已知正四面体/BCD的每条棱长都等于1,点E,F分别是3C,4D的中点，则近.而的值

为.

14.设歹是双曲线C:，-《=l（a>0,6>0）的右焦点，O为坐标原点，过歹作C的一条渐近线的垂

线，垂足为Af,若的内切圆与x轴切于点N,且2赤=3而，则C的离心率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知圆C经过点/（0,3）,8（2,5）,且圆心C在直线x-y+l=O上.

⑴求圆C的标准方程；

⑵求过点尸（4,6）与圆C相切的直线方程.

16.已知数列也｝和也｝都是等差数列，公差分别为4，4，数列｛%｝满足c“=a”+26”.

⑴数列｛c.｝是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.

⑵若｛%｝的公差为-2,也“｝的公差为-3,%=5,4=8,求数列｛&｝的通项公式.

17.如图，在棱长为1的正方体/BCD-44GA中，E为线段的中点，歹为线段3片的中点.

⑴求直线FC1倒直线/E的距离;

⑵求直线厂G到平面/耳£的距离.

18.如图，己知四棱锥尸-N8CD的底面N8C。是平行四边形，BC=4,ZABC=60°,JAB是边

长为2的等边三角形，PB工4C,E是线段尸。的中点.

3

⑴求证：平面平面4BCD；

⑵若所=彳定(0<%<1),是否存在;I,使得平面BE尸和平面PAD夹角的余弦值为m?若存在，

求出几的值；若不存在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆C:]+/=l(a>6>0)的长轴长为4,离心率为母，过点尸(-4,0)作直线

/交椭圆于x轴上方两点M,N,点仞在点N左侧，直线/N和交于点G.

(1)求点G的横坐标；

s

⑵若A/GM和△BGN的面积分别记为岳和$2，求£的取值范围.

参考答案

1.【答案】D

【详解】由6x+3y-2=0得：y=_^lx+l,

所以直线的斜率为左=-g,6e[0,无],

5兀

，直线的倾斜角为9.

0

故选：D

2.【答案】C

【详解】二-=式孚=1+L

1-i1-i2

2

复数z与三关于虚轴对称，故z=-l+i.

1-1

故选：c

3.【答案】B

—■3—•

【详解】因为元=2赤，所以BE=：BC,

所以跳=次_苑=万+屉一(而+麴)

____O_________________,_________________________________________1________

=AB+-BC-{1D+AA1^=AB+-AD-(1D+AA^=AB+-AD-AA1.

故选；B.

4.【答案】C

4

【分析】根据两直线平行，得到关于加的方程，求出机的值，再根据充分条件、必要条件的定

义判断可得；

【详解】解：因为4：x+("7+l)y—2=0，：〃a+2>+4=0,若〃4，贝1]'=四力二，解得机=一2或

m24

1m+1-21m+1—2

m=l,当加=-2时上=直线4与直线/,重合，所以"7=1,若机=1时上=

m24m24

所以""=1"是""的充要条件;

故选：C

5.【答案】C

【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小

满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，

故可设该等差数列为{%},冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、

小满、芒种的日影子长分别计为4，%,%，L,al2,公差为"，由题可得:

+%+牝=40.53ai+6d=40.5a=15.5

即解之得:x

=4.54+lld=4.5d——1

所以立春的日影子长为：%=%+3d=15.5+3x(—1)=12.5(尺)

故选：c

6.【答案】B

【详解】

设圆(XT)。+(y-4)2=1的圆心为C(l,4),半径为厂=1,

过点尸作尸M垂直抛物线的准线于

由抛物线的定义知，I尸尸

所以|尸0|+|尸尸]=|尸目+|尸间可儿@=|。团-.，当且仅当C,0,尸,M四点共线时，等号成立,

而|W=4+]=4+|=5,

所以|尸°住|尸尸闫CM卜广=5—1=4,即以。|+|尸尸I的最小值为4.

故选：B

5

7.【答案】A

因为由。|=3|。叫，所以tan/尸耳工=；,

\PFI1

又PFJPF”所以扁="且|尸耳|-|尸阊=2%所以归胤=3%\PF^=a.

又附;『+|巡「三国"「09a2+a2=4c2=>5a2=2c2-

22

所以4h=Jc_l=3j.

aa2

所以双曲线的渐近线方程为：y=+-x=+^x.

a2

故选：A

8.【答案】A

【分析】不妨设居=3,凡=5,结合椭圆的定义与圆的性质综合计算即可得。、c,即可得离心

率.

【详解】法1：不妨设属=3,此=5,CD=m,

贝lj4_B=3加,MB=R2~AB=5—3m,OM=R1—MB=3m—2,

所以MD=R2=OM+OC+CD=3m-2+R1+m=4m+1=5=加=1,

所以a-c=0C=舄=3①，

2a=AC=MA+OM+OC=R2+3m-2.+R}=9@,

QQ1

联立①②解得a=gc=4，所以椭圆离心率e=£r=：；

22a3

法2：&=3,4=5,设轨道n的长轴和焦距分别为2a和2c,

AM=DM=R2=5,OB=OC=3,

则AB=AM-MB=AM-(OB-OM)=2+(W,

CD=MD-MC=MD-[OC+OA4)=2-OM,

6

AB=3CD,得：OM=1,

贝UCM=0M+4W=6=a+c,OC=3=a-c,

a+c=2（cf-c）,得：a=3c,故0=?

故选：A.

9.【答案】ACD

【详解】A：若加=2加+5＞0,无解，故曲线C不能表示一个圆，对；

B：若加＞2根+5＞0,无解，故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错；

C：若2机+5＞%＞0,可得机＞0,满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对；

D：若2%+5＞0＞加，可得-g（加＜0,满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对.

故选：ACD

10.【答案】BCD

【详解】对于A,A8=（2,2-x,0）,^C=（-l,3-x,l）,

若方,就，则-2+（2-力（3-尤）=0,解得x=4或1,故A错误；

对于B,设4丛C三点共线，则存=丸前,即（2,2-X,0）=4（T3—K1）,

2=­A

即＜2-x=4（3-x）,无解，故对任意实数x,4民。三点都不共线，故B正确；

0=4

对于C,当X=1时，ZB=(2,i,0),sc=(-3,1,1),

ABBC|-6+1+0|yfs5

所以cosAB,BC==意旨=亓'故'正确A;

对于D,当x=l时，48=(2,l,0),/C=(-l,2,l),

若加=（1,-2,5）是平面的一个法向量,

m•AB=0玩-48=2—2+0=0

则—即一

m-AC=0m-AC=-l-4+5=0

所以当x=l时，益=（1,-2,5）是平面48。的一个法向量，故D正确；

故选：BCD.

II.【答案】AC

【详解】因为点/（2,1）在抛物线C：f=2加脑＞0）上，所以4=2人解得°=2,

7

即抛物线方程为V=4y,焦点尸（0,1）.

对于A：直线的方程为四=2二2即y=x-l,

1+12-0

ry—%]r%——2

因为J）：-,解得1，所以直线N8与抛物线。相切点/（2,1）,故A正确；

对于B：设过点2的直线为/,若直线/与〉轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，不

合题意；

所以直线/的斜率存在，设其方程为〉=依-1,P&,必）,0优,％）,

\y=kx-l

由<2,，得--4h+4=0,则A=1616>0,即左<-1或左>1,

[x=4y

于是％]+x2=4左，再々=4,

22

又乂刈=；无]；君=^（X[X2）=^x4=1,

所以。尸大4+%%=5,故B错误；

对于C：由焦半径公式可得电量+片乂+1,|。尸=%咛=%+1,

因为尸是线段8。的中点，

所以乂=合，整理得2（乂+1）=%+1，即2|尸尸|=|。可，故C正确；

对于D：若|尸尸|+|。尸|=2|36|,则（乂+1）+（为+1）=2|1-（一1）|=4,得乂+%=2

所以2=%+艺=左（占+》2）—2=左,4左一2=4左~—2,即4后2=4,解得左=±1,

此时A=16F_16=O,则直线/与抛物线相切，故D错误.

故选：AC.

12.【答案】口-3）2+（>-4）2=16（答案不唯一）

【详解】设圆的方程为卜-。丫+（尸6『=凡

8

由题意可得/+〃=(1+H)2-整理可得/=2同+1,

可令6=4,a=3,即(x-3)~+(y-4)2=16,

故答案为：（尤-3『+（y-4『=16（答案不唯一）.

13.【答案】一；/一0.5

【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1,

AE=^（AB+AC）,CF=AF-AC=^AD-AC,

所以而砺=；（15+太）石一就）=；x（；相力+g次.万一福就一就?）

1111,1

=—x（Z—+---------1）=——.

24422

故答案为：-万

【分析】结合题意，首先求出由2而=3两，通过运算得到*=c+5a,再利用a,6,c,e

之间的关系得到关于离心率的方程，解出即可.

【详解】

结合题意：双曲线的渐近线方程为/=±2-即法土即=0,

a

所以尸（。,0）到渐近线的距离为LW=J［；）=6

所以|OAf|=7c2-b2=a,

a+b-c

则丛FOM的内切圆的半径为r=

2

9

设的内切圆与FN切于点P,

a+c

由2赤=3而，|FP|=|NF\=^c,\FP\+\MP|=lc+^~=|MF\=b^

即5b=c+5a,25b2=c2+10ac+25a2,

贝!125c2-25a2=c2+10ac+25a,24c2—1Oac—50/=o,

由e，,得12/—5e-25=0,

a

即(3e—5)(4e+5)=0,

由于e>l,解得e=g.

故答案为：

15.【答案】⑴(x-2)2+(y-3)2=4

(2)x=4和5x-12y+52=0

【详解】(1)设圆的标准方程为(A〃)2+3-4=1厂〉0),

a2+(3-6)2=r2|Q=2

由题意得<(2-ay+(5-6)2=/n人=3,

J/=4

a—b+1=0

所以圆的标准方程为（x-2）2+（y-3）2=4；

（2）当直线的斜率不存在时，x=4符合题意，

当直线斜率存在时，设该斜率为左，此时直线方程为＞-6=后（》-4）,

即区-夕-4左+6=0,圆心（2,3）到该直线的距离为厂，

\2k-3-4k+6\L

即d=^——7-----=2解得

\Jl+k

此时直线方程为5x-12y+52=0,

故所求直线方程为x=4和5x72y+52=0.

16.【答案】（1）数列｛%｝是等差数列，理由见解析

（2）c„=29-8〃

【详解】（1）数列上”｝是等差数列，理由如下：

因为数列｛4｝,也“｝都是等差数列，公差分别为4，d2,

10

所以4=。用一。〃eN*，

因为c,=。“+,

所以c„+1-c„=a„+I+2b,l+1-(an+2bn)

=(。”+1-。”)+2(^„+i-bn)

=4+2d2为常数,

所以数列匕｝是以4+2出为公差的等差数列；

(2)因为%=5,4=8,

所以G=%+24=5+2x8=21,

由(1)可知数列｛c,｝是等差数列，且公差为4+2%,

因为｛为｝的公差为-2,也｝的公差为-3,

所以数列｛%｝的公差d=-2+2x(-3)=-8,

所以数列匕｝的通项公式为c“=G+(〃-1)4=21-8("-1)=29-8”.

17.【答案】(1)叵(2)：

53

【详解】(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，

4(1,1,1),《0,0、［，尸(1,1$),A(1,0,0),G(0,1,1),

因为西=1l,0，!|,通=［一1,0,口，所以於〃后，即NE//FG，

所以点尸到直线/£的距离即为直线尸£到直线/£的距离,

回

所以直线尸。到直线/£的距离为

~T~

(2)因为NE//FG，尸G<z平面/耳E,/EU平面/吕£,所以尸G〃平面4台也，

所以直线尸G到平面N8也的距离等于G到平面/4E的距离,

QB；=(1,o,o),=(o,1,1),ZE=C1,o,|,

设平面的一个法向量为〃=(x,y,z),

11

AE-H=0-x-\——z=0/一/、

则—.，即2，取z=2,可得"=d,-2,2）,

・网元=。[y+z=Q

，.国1

所以。到平面的距离为^^=不

H3

所以直线尸q到平面/耳£的距离为;.

18.【答案】（1）证明见详解；（2）存在，A=1.

【分析】（1）先在V/3C中，利用余弦定理求得/C,再由勾股定理可证NC_L/3,然后结合

PBLAC,利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证；

（2）以/为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参

数的方程，即可得解.

【详解】（1）证明：在V4BC中，由余弦定理知，

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=4+16-2x?.x4x-=l2,

2

所以/CZ+ZluRy,即/C_L48,

因为必_L/C,且/3口心=3,48、尸8u平面尸48,

所以/C_L平面PAB,

又4Cu平面N8CD,所以平面平面N5CD;

（2）以N为坐标原点，AB,ZC所在直线分别为x,V轴，作Nz,平面4BCD,建立如图所示

的空间直角坐标系，

则/（O,0,0）,BQ,0,0）,C（0,25°），D（-2,26，。），尸。，。，百），玖-；，百,

12

所以AP—(1,0»百)，AD=(-2,2A/3，。)，BE=(—―)行,

BP=(-1,0,下>),PC=(-1,2技-V3),

所以而=而+而=即+；1定=(一1,0,>/3)+2(-1,2百，-6)=(7-/I,20,V3-V32),

拓•BE=0,

设平面2跖的法向量为元=(x,九z),则1'

n-BF=0,

(-1-2)x+2®v+(百-6储z=0,

取z=4；l-l,则x=VJ(2X-l),y=34-2,所以力=(若(22—1),32-2,4A-1),

m-AP=0,a+也c=0,

设平面尸40的法向量为应=S,b,。)，则〈—,即《广

m-AD-0,[-2a+2J3b=0,

取。=1,贝！J〃=-G，b=-l,所以玩=-1,1),

3

因为平面5所和平面尸4。夹角的余弦值为父

整理得，8(26A2-1U-1)=O,即8(24-1)(134+1)=0,

角牟得力=!或九=一1，

213

因为0<4<1,所以%=—,

2

31

故存在2,使得平面跳N和平面P4D夹角的余弦值为『此时2=万.

【方法总结】向量法求两个平面的夹角：

\m-n\

首先求出两个平面的法向量m,n,再代入公式cosa=±与居(其中m,"分别是两个平面的法向量,

a是两个平面的夹角)求解.

19.【答案】⑴-1；⑵

22/T

【详解】(1)因为椭圆。奈+%=1(〃>6>0)的长轴45长为4,离心率为冷,

所以Q=2,e=±=S~,所以°=百，故Z?2=Q2_C2=4_3=1,

a2

13

所以椭圆的方程为二+/=1.

4

由题可设Mg,必）,"（乙,%）,（2＞工2＞再＞-2,y2＞%＞0）,直线/的方程为x=叼一4（切＞0）,

x=my-4

2

由.,x得（加之+4）/_8g,+12=0,

——+y2=117

14/

所以A=64m2-4xl2（m2+4）=16（m2-12）>0,即冽2,口，%%=&加方,=醛

所以石+工2=加（必+%A8=28=~T，

12v1274+m24+m2

222

/八/八2Ai\ir12m32m1r64-4m

玉马=（叼L4）（四2-4）=成必%-4〃（%+刃+16下版不版+16=77^，

直线NN的方程为：丫=器（久+2）,

%2+Z