2025高考数学二轮复习：抛物线（二大考向） 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十七讲-抛物线（二大考向）-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对抛物线的考查，重点抛物线的定义、标准方程、2024•新高考□卷，

是几何性质10

（1）抛物线的定义、几何图

2022•新高考□卷，

形、标准方程。

11

（2）抛物线的简单几何性质

抛物线的定义、直线与抛物2022•新高考口卷，

（范围、对称性、顶点、离心

线的综合运用10

率）。

2023•新高考口卷，

（3）直线和抛物线的位置关

10

系及综合应用。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查抛物线，口卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综

合，涉及到抛物线的知识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热

点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用是考查的重点。而且

抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计2025年高考还是主

要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。

三：试题精讲

一、多选题

1.（2024新高考□卷T0）抛物线C：y2=4x的准线为/,尸为C上的动点，过尸作

。4:/+口-4）2=1的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为3,则（）

A./与相切

B.当尸，A,8三点共线时，|尸。|=而

C.当|PB|=2时，PA1.AB

D.满足I尸川冒依|的点?有且仅有2个

高考真题练

一、多选题

1.（2022新高考□卷T1）已知。为坐标原点，点A（1,D在抛物线C:f=2py（p>0）

上，过点8（。,-1）的直线交C于尸，。两点，则（）

A.C的准线为y=TB.直线48与C相切

C.|OP|-|O（2|>|OA|2D.\BP\-\BQ|>|BA|2

2.（2022新高考□卷TO）已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点JF的直

线与C交于4,8两点，其中/在第一象限，点M（P，。），若IA可=|4W|,则（）

A.直线AB的斜率为2#B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\SO°

3.（2023新高考□卷TO）设。为坐标原点，直线y=-若（xT）过抛物线

C:y2=2px（p>0）的焦点，且与C交于跖N两点，/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.|M^|=-

C.以血W为直径的圆与/相切D.为等腰三角形

知识点总结

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/（尸任/）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F

叫抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

注：若在定义中有尸e/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y1=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py{p>0）,

其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形IV

TfV

标准

y2=2px(p>o)y2=-2px(p>o)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

顶点0(0,0)

范围%>0,y^Rx<0,yeR”0,xeRy«0,XGR

对称轴X轴y轴

焦点%,。）F(-g,0)尸（o,g砥0,-9

离心率e=l

Pp

准线方程x=---x--一

222

焦半径

AF=x,+RAF=-x]+"AF=y+—

121212

【抛物线常用结论】

2

1、点P（x0,y0）与抛物线y=2Px（p>0）的关系

（1）尸在抛物线内（含焦点）

（2）P在抛物线上oy；=2px0.

（3）P在抛物线外O¥>2W0.

2、焦半径

抛物线上的点尸❷,%）与焦点F的距离称为焦半径，若丁=29（°>0）,则焦半径

\PF\=xo+^,|PF|mm=f-

3、0（0>0）的几何意义

p为焦点/到准线/的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若AB为抛物线>2=2»（0>0）的焦点弦，4（无1，%），B（x2,y2）,则有以下结论：

（1）X1X2=（.

⑵

（3）焦点弦长公式1：|AB|=+x2+p,xl+x2>2yfx^=p,当X]=w时，焦点弦取

最小值2p,即所有焦点弦中通径最短，其长度为2P.

焦点弦长公式2：|A3|=二^（a为直线AB与对称轴的夹角）.

sina

2

（4）AAO3的面积公式：5.08=—2一（a为直线与对称轴的夹角）.

2sma

5、抛物线的弦

若48为抛物线y1=2px（p〉0）的任意一条弦，4（4弘）,3（%2，%），弦的中点为

贝IJ

（1）弦长公式：|AB|=’I+%2,—4I：Ji+_%|（%二=左'°）

(2)kAB=—

%

(3)直线的方程为y-%=上(%-/)

%

(4)线段的垂直平分线方程为,-%=-&(%-%)

P

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(4法)

4

(1)y2=加(4。0)焦点为(*0),准线为兀=-2

(2)/=加缶。0)焦点为©4),准线为,二―4

44

如y=4尤2,即焦点为(o,_L),准线方程为>=一_1

41616

7、参数方程

/=2PMp>0)的参数方程为卜=2Pt2(参数feH)

[y=2pr

8、切线方程和切点弦方程

抛物线/=2px(p>0)的切线方程为yoy=p{x+x0),(毛,%)为切点

切点弦方程为=p(元+尤0)，点(%,%)在抛物线外

与中点弦平行的直线为%y=p(x+x0),此直线与抛物线相离，点(%,%)(含焦点)是

弦的中点，中点弦的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的

结果.

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.

对于抛物线V=2»(0>0),由A(£,0),B(W,-p),可得|AB|=2p,故抛物线的通

径长为2P.

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：%="

k

11、焦点弦的常考性质

已知A（%j）、8（尤2，%）是过抛物线丁=2。*5>0）焦点口的弦，M是AB的中点，/是

抛物线的准线，MN±l,N为垂足.

（1）以至为直径的圆必与准线，相切，以4F（或8尸）为直径的圆与y轴相切；

（2）FN±AB,FCLFD

2

（3）x{x2-；%%=-p

（4）设或），/,。为垂足，则A、。、。三点在一条直线上

名校模拟练

一、单选题

1.（2024・重庆•三模）已知抛物线V=4尤的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于/,

3两点，点A在第一象限，点。为坐标原点，且SAOF=2SB”，则直线/的斜率为

（）

A.2&B.百C.1D.-1

2.（2024•河南三模）已知抛物线C：y2=2px（0>O）的焦点为尸，点P（m,-2⑹在C

上.若以尸为圆心，归尸|为半径的圆被,轴截得的弦长为26,则该圆的面积为（）

A.4冗B.6兀C.9兀D.IOTI

3.（2024•山东济南•二模）已知抛物线C：y=6x的焦点为产，准线为/,尸是/上一点,

。是直线尸尸与C的一个交点，若FP=3FQ,则尸卜（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

4.（2024・北京顺义・三模）设M是抛物线/=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，。足

坐标原点，若/。M=120。，贝（）

A.5B.4C.3D.2

5.（2024•江西景德镇•三模）过抛物线V=2x上的一点尸作圆C：（x-4）2+/=1

线，切点为A,B,贝||4?”尸。可能的取值是（）

A.1B.4C.戈D.5

6.（2024•河北张家口•三模）已知抛物线V=2y的焦点为尸，。为原点，直线＞=2尤+f

与该抛物线交于N两点，且贝IJ|MF|+|NB|=（）

A.12B.13C.14D.15

7.（2024•新疆•三模）已知抛物线C：y-x的焦点为尸，在抛物线C上存在四个点P,

11

M,Q,N,若弦PQ与弦的交点恰好为R且则西+南=（）

A.克B.1C.JlD.2

2

8.（2024・山西运城•三模）已知抛物线C：V=4x的焦点为歹，动点〃在C上，点8与

点A（l,-2）关于直线/:y=x-l对称，则守的最小值为（）

MD

A.立B.4C.@D.-

2233

二、多选题

9.（2024•广东汕头•三模）已知抛物线C：/=2/（。＞0）的焦点为厂，。为坐标原

点，动点P在C上，若定点满足四耳=2|0同，则（）

A.C的准线方程为x=-2B.△PMF周长的最小值为5

C.四边形0PMF可能是平行四边形D.的最小值为-3

10.（2024•黑龙江•二模）抛物线C：V=2px（0>O）的焦点厂到准线的距离为4,过抛物

线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于点A,B和点N,则

（）

A.抛物线C的准线方程是x=T

B.过抛物线C的焦点的最短弦长为8

C.若弦的中点为（m,2）,则直线MN的方程为y=2尤-4

D.四边形AWBN面积的最小值为128

11.（2024•辽宁大连•一模）已知抛物线C：/=4y的焦点为尸，准线/与，轴的交点为

D,过点歹的直线〃，与抛物线C交于4,8两点，点。为坐标原点，下列结论正确的

是（）

冗

A.存在点/、8,使NAOBW,

B.若点M是弦A3的中点，则点M到直线/的距离的最小值为2

C.D尸平分NAD2

D.以AF为直径的圆与无轴相切

12.（2024•河北•二模）已知。为坐标原点，焦点为尸的抛物线C：/=2点（p>0）过点

M（2,l）,过M且与ON垂直的直线/与抛物线C的另一交点为N,则（）

A.p=2B.\MF\=3

C.|ACV|=12>/5D.直线/与抛物线C的准线相交于点

（3.-1）

13.（2024•河南•二模）已知。是坐标原点，过抛物线C:y2=4x的焦点b的直线/与抛

物线C交于A3两点，其中A在第一象限，若|A耳=33耳，点知（1,祖）在抛物线C上，

则（）

Q

A.抛物线C的准线方程为x=-lB.|AB|=|

C.直线/的倾斜角为gD.\MF\^\OF\

14.（2024•河北沧州•二模）已知歹为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，直线/过尸且与

C交于A,2两点，。为坐标原点，尸（2,%）为C上一点，且|产典=3,贝ij（）

A.过点加（2,-3）且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条

B.当,A03的面积为2夜时，\AF\-\BF\=^

C.AC®为钝角三角形

D.2|AF|+忸刊的最小值为3+2行

15.（2024•湖北襄阳•二模）抛物线C:Y=2py的焦点为尸，尸为其上一动点，当尸运动

到0,1）时，\PF\=2,直线/与抛物线相交于AB两点，下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为：x2=8y

B.抛物线的准线方程为：y=-i

C.当直线/过焦点尸时，以工尸为直径的圆与x轴相切

D.|AF|+|BF|>4

16.（2024•河北三模）已知厂为抛物线C:/=4y的焦点，”（/乂），N（%,%）为抛物

线上不同的两动点，分别过N作抛物线C的切线，两切线交于点尸，则（）

A.若%+%=T百，则直线的倾斜角为，兀

B.直线9的方程为-2%=。

C.若线段MV的中点为。，则直线P。平行于了轴

D.若点尸在抛物线C的准线上，则尸

17.（2024•黑龙江佳木斯•三模）过抛物线C：尸=2°匹上的一点“（2,4）作两条直线

L，h，分别交抛物线C于4,B两点,F为焦点、（）

A.抛物线的准线方程为x=-2

B.过点加（2,4）与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条

C.^FM+FA+FB=O,贝!!|引川+|冏+|用卜9

D.若kAM+kBM=0,则kAB=-1

22

18.（2024•安徽•三模）已知抛物线C,:y=px（p＞0）和C2:y=2pX的焦点分别为耳B，

动直线/与G交于两点，与交于尸（鼻。3），。（项/4）两点，其中

小力＞。,%，%＜。，且当/过点尸2时，为为=-4,则下列说法中正确的是（）

A.G的方程为V=2x

B.已知点贝I」MH+M用的最小值为3

1111

C.—+—=—+—

X%%”

\MP\

D.若勒=2,则与，昧g的面积相等

三、填空题

19.（2024・北京•三模）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，则尸的坐标为；过点

尸的直线交抛物线C于A,B两点，若|AF|=4,则43的面积为.

20.（2024・北京•三模）已知抛物线C：y=4x的焦点为区准线与x轴的交点为/，点

3在C上.若I阳1=2,则直线AB的方程为.

21.（2024・安徽•二模）已知抛物线>=办2的焦点厂，直线/过F与抛物线交于A,B两

点，若4（4,4）,则直线/的方程为,一。钻的面积为（。为坐标原

点）.

22.（2024・陕西榆林•三模）若直线/：y=x+3与抛物线G：f=i2y和圆

G：一+0-3）2=1从左到右依次交于点A&CD,贝|阴+|CD|=.

23.（2024・四川自贡•三模）已知圆C的圆心是抛物线d=8y的焦点，直线2x-y-3=O

与圆C相交于A,B两点，|小?|=2,则圆C的半径为.

24.（2024•河北石家庄•二模）设抛物线。：丫2=2°十5>0）的焦点为产，准线为/.斜率为

力的直线经过焦点产，交C于点A,交准线/于点B（A,8在x轴的两侧），若

|AB|=16,则抛物线C的方程为.

25.（2024・湖北黄冈•三模）已知抛物线C：V=x的焦点为尸,A,B是抛物线C上关于

其对称轴对称的两点，若AFLOB,。为坐标原点，则点A的横坐标为

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对抛物线的考查，重点抛物线的定义、标准方程、2024•新高考口卷，

是几何性质10

（1）抛物线的定义、几何图

2022•新高考口卷，

形、标准方程。

11

（2）抛物线的简单几何性质

抛物线的定义、直线与抛物2022•新高考口卷，

（范围、对称性、顶点、离心

线的综合运用10

率）。

2023•新高考口卷，

（3）直线和抛物线的位置关

10

系及综合应用。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查抛物线，口卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综

合，涉及到抛物线的知识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热

点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用是考查的重点。而且

抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计2025年高考还是主

要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。

三：试题精讲

一、多选题

1.（2024新高考□卷T0）抛物线C：V=4尤的准线为/,尸为C上的动点，过尸作

OA:/+（y-4）2=l的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为3,则（）

A./与-A相切

B.当尸，A,3三点共线时，|PQ|=A

C.当|P3|=2时，PA±AB

D.满足I尸川=1尸0的点p有且仅有2个

【答案】ABD

【分析】A选项，抛物线准线为产-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，

产,A3三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据怛同=2先算出

尸的坐标，然后验证七AB=T是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|尸耳=|依|,

于是问题转化成|以|=|正石的尸点的存在性问题，此时考察"的中垂线和抛物线的交

点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线/=4x的准线为x=-l,

A的圆心(0,4)到直线x=-i的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和A相切，A选项正确；

B选项，尸,43三点共线时，即尸则尸的纵坐标％=4,

由蟾=4%，得到辱=4,故尸(4,4),

此时切线长|PQ|="="2_『=后,B选项正确；

C选项，当|即=2时，0=1,此时城=4辱=4,故尸(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

当尸(1,2)时，A(0,4),B(-l,2),即4==—2,k=-----=2

0—1ABv—(―i)9

不满足

当P(l,-2)时，A(0,4),B(-l,2),kpA=^-^-=-6,心B=^4J=6,

0—10—(—1)

不满足七AB=T；

于是PA_LAB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|尸耳=|尸耳，这里尸(1,0),

于是|R4|=卢到时尸点的存在性问题转化成=I依I时尸点的存在性问题，

A(0,4),"l,0),AF中点g,21,AF中垂线的斜率为-，-=；,

于是AF的中垂线方程为：丫=三岁，与抛物线>2=4x联立可得丁-16>+30=0,

O

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得1PAi=户可，D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设pf,由依二可得3(-匕)，又40,4),X|R4|=|PB|,

根据两点间的距离公式，JS+(-4)2=£+1,整理得产-1&+30=0,

V164

A=162-4X30=136>0,则关于r的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

高考真题练

一、多选题

1.（2022新高考口卷口1）已知。为坐标原点，点A（l,l）在抛物线C:Y=2py（p>0）

上，过点WO,T）的直线交C于P,。两点，则（）

A.C的准线为y=TB.直线48与C相切

C.|OP|-|O2|>|OA|2D.\BP\-\BQ|>|BA|2

【答案】BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用

距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2人所以抛物线方程为炉=y,故准线方程为

>=-；，A错误；

4

L=Wg=2,所以直线A3的方程为y=2x-l,

[y=2x—l

联立，可得J—2x+l=0,解得x=l9故B正确；

设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为、=丘-1,尸（和/）,。（无2，%）,

Iy=kx—1

联立,2_y，得V-履+1=0,

A=^2-4>0

2

所以'x,+x2=k,所以％>2或左<一2,%必=（再尤2）=1，

x{x2=1

所以|。「川。。|=小%%（1+%）（1+为）=7他>辰2=1左1>2=|3|2,故C正确;

因为\BQ\=y/l+e\x2\,

所以|8尸|・|8。|=（1+妤）|中21=1+左?>5,而|BA『=5,故D正确.

故选：BCD

2.（2022新高考□卷TO）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点厂的直

线与C交于/,8两点，其中/在第一象限，点M（P，。），若|AF|=|AM|,则（）

A.直线A2的斜率为2卡B.\OBUOF\

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|”|=|40|及抛物线方程求得4学,当），再由斜率公式即可判断A选

项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B（g,一个），即可求出判断B选

项；由抛物线的定义求出|AB|=要即可判断C选项；由OAOBvO,M4MB<0求得

NAOB,ZA7WB为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得/（合0）,由|AF卜|AM|可得点A在月W的垂直平分线上，贝！）A

P

点横坐标为^+P=3p,

2-4

代入抛物线可得丁=2?¥=2〃2,则A（2,遍），则直线4B的斜率为

4242

---=2^6,A正确；

3£_£

42

_1p

对于B,由斜率为26可得直线的方程为尤=［后>+；,联立抛物线方程得

,一士口丫―p2，

则乎p+x邛P，贝!|%=一等，代入抛物线得,萼"=2p•%,解

设3（再,%）,

则I。同=/图=¥^刈。同=勺B错误;

对于C,由抛物线定义知：网=¥+^+°=兽>22=4|叫，c正确;

3pp十y/6pr46p3p八

对于D,OAOB==-^-<0,贝！|/AO5

4323

为钝角,

又MAE=（/坐）.（T，一冬一XT）+与卜警（-平<。，则

ZAMB为钝角，

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,贝!l/OAM+NOBM<180,D正确.

故选：ACD.

3.(2023新高考口卷・10)设。为坐标原点，直线y=-G(x-l)过抛物线

Uy?=2px(p>0)的焦点，且与C交于X,N两点，/为C的准线，则().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.OW为等腰三角形

【答案】AC

【分析】先求得焦点坐标，从而求得〃，根据弦长公式求得|MN|,根据圆与等腰三角

形的知识确定正确答案.

【详解】A选项：直线y=过点（1,0）,所以抛物线。：,=2/（0>0）的焦点

网1,0）,

所以勺1,。=2,2片4,则A选项正确，且抛物线C的方程为产=4x.

B选项:设知（苔,为）,N@,网），

由卜:一f（无一”消去丁并化简得3fTOx+3=（x—3）（3x-l）=0,

y=4x

解得玉=3,马=3,所以|MM=%+%+P=3+g+2=蓝，B选项错误.

C选项：设MN的中点为A,”,N,A到直线/的距离分别为

因为4=3（4+办）=；（必+阿）=如用，

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以为直径的圆与直线/相切，C选项正

确.

D选项：直线y=-括即-6=。,

。到直线后+,-合。的距离为八.

所以三角形弧的面积为?$小乎

由上述分析可知％=-73（3-1）=-2y/3,y2=

所以|0叫=,32+卜2/)=A/^T,|ON|=JU+=g，

所以三角形0M7V不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

知识点总结

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(F史I)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F

叫抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

注：若在定义中有产e/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),

其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

标准

y2=2px(p>o)y1=-2px(p>o)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

顶点0(0,0)

范围x>0,yeRx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR

对称轴X轴y轴

焦点呜,。）F(-j,0)F(O,g

离心率e—\

_Pppp

准线方程xr----X=一

22户万

焦半径

AF=x+—AF=-Xj+—AF=y,+^

x1212

AU，%)

【抛物线常用结论】

1、点P（X0,%）与抛物线V=2p尤（P>0）的关系

（1）P在抛物线内（含焦点）oW<2px0.

（2）P在抛物线上oy；=2wo.

（3）P在抛物线外oy：>2p/.

2、焦半径

抛物线上的点P（x0,%）与焦点P的距离称为焦半径，若y2=2°x（p>0）,则焦半径

附=%+勺I^L=f-

3、〃（P>。）的几何意义

P为焦点/到准线/的距离，即焦准距，P越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若AB为抛物线V=2px（p>0）的焦点弦，A5,%）,B（x2,y2）,则有以下结论：

（1）X^2=~~~.

2

⑵yiy2=-p-

（3）焦点弦长公式1：|AB|=xy+x2+p,X]+（22J%N=P，当无1=当时，焦点弦取

最小值2p,即所有焦点弦中通径最短，其长度为2。.

焦点弦长公式2：,2|=二^（a为直线9与对称轴的夹角）.

11sin2a

（4）AA0B的面积公式：5.08=—J（a为直线相与对称轴的夹角）.

2sma

5、抛物线的弦

若48为抛物线y2=20x（p>0）的任意一条弦，人（石,%）,3（%2，%），弦的中点为

"%,%）（%。0），贝!J

（1）弦长公式：[Afi]=，1+左2,_4|=J1+'^"1_（"二=kW0）

⑵kAB=—

为

（3）直线43的方程为y-/）

%

（4）线段43的垂直平分线方程为y_%=—&（%_/）

P

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4法）

4

(1)y2=Ac(A)0)焦点为(4,0),准线为尤=上

44

(2)Y=Ay(A*0)焦点为(0,4),准线为了=一4

44

如y=4尤2,即f=2,焦点为(o,_L),准线方程为>=-J_

41616

7、参数方程

V=2/(。>0)的参数方程为卜一2"(参数feR)

[y=2pf

8、切线方程和切点弦方程

抛物线/=2px(p>0)的切线方程为yoy-p(x+x0),(尤0,%)为切点

切点弦方程为yoy=p(x+x0)，点(%,%)在抛物线外

与中点弦平行的直线为为y=p(x+x。)，此直线与抛物线相离，点(%,%)(含焦点)是

弦的中点，中点弦Z3的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的

结果.

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.

对于抛物线丁=2px(0>0),由A《，0),B(g-p),可得|AB|=2p,故抛物线的通

径长为2。.

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：

0k

11、焦点弦的常考性质

已知A(和》)、3(尤2，%)是过抛物线丁=2。直0>0)焦点尸的弦，M是的中点，/是

抛物线的准线，MN±l,N为垂足.

(1)以至为直径的圆必与准线/相切，以4F(或3Q为直径的圆与y轴相切;

(2)FN±AB,FCLFD

2

(3)xtx2-；%%=-p

(4)设。为垂足，则A、O、。三点在一条直线上

名校模拟练

一、单选题

1.(2024・重庆•三模)已知抛物线V=4尤的焦点为尸，过点下的直线/交抛物线于/,

3两点，点A在第一象限，点。为坐标原点，且SA.F=2SB”，则直线/的斜率为

()

A.2及B.73C.1D.-1

【答案】A

【分析】设直线A5的倾斜角为利用抛物线的焦半径公式体司=三^，

1-COS6Z

忸尸|=1」^表示出何口、\BF\,再根据S®=2S.,求出cosa,利用同角三角函

1+COS6Z

数的基本关系求tanc,就是直线的斜率.

【详解】如图:

设直线倾斜角为a,抛物线的准线/:x=-l

作W/于根据抛物线的定义，|AM=|AF|=|D尸|+|AF|-cosa=2+|AF|-cosa,

22

所以|AF|=~,类似的|8用=——.

l-cos。1+cosa

由SA0f=2SBOF知IAb1=213尸|,得cosa=；,故左=tana=2jL

故选：A

2.（2024•河南三模）已知抛物线C：y2=2px（0>O）的焦点为F,点尸（加,-20）在C

上.若以尸为圆心，归同为半径的圆被y轴截得的弦长为26，则该圆的面积为（）

A.4兀B.6兀C.9兀D.1071

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义，可以得到该圆的半径为一4+p!，再利用弦长公式，结合

P2

已知即可解出P=2,最后根据该圆的半径计算面积即可.

【详解】由于网北-2&）在/=2冲上，故8=2勿7,即m=所以

根据抛物线的定义，|尸司就是点尸到直线x=-4的距离«+£,

112pl

从而该圆的半径为54+金p

4

由于圆心p到y轴的距离为一，故该圆被y轴截得的弦长为2

p

从而据已知有4泻

=2下,

故5=）+"一J]=4解得P=2.

所以该圆的半径为一4+§n=54+弓2=3,故面积为9膜

p222

故选：C.

3.（2024•山东济南・二模）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为/,尸是/上一点,

。是直线尸尸与C的一个交点，若FP=3FQ,则|。/=（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】D

【分析】由题意解出。点横坐标，由抛物线的定义求解.

【详解】由题意可知：抛物线C：V=6x的焦点为尸g,oj,准线为/：x=-^，

设尸,看,，则电（一3,小校=卜-”。｝

因为W=3FQ,贝！|一3=3得无0=：,

由抛物线定义得|。/卜:+3=2.

故选：D.

4.（2024•北京顺义•三模）设河是抛物线V=4尤上的一点，尸是抛物线的焦点，。足

坐标原点，若/0m/=120。，则-闾=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】过点加作抛物线准线/的垂线，垂足为点N,连接FN,分析出..mH为等

边三角形，求出但N|,即可得解.

【详解】过点加作抛物线准线/的垂线，垂足为点N,连接引V,如下图所示：

因为NOFM=120。，肱V//x轴，贝！|/RVW=60。，

由抛物线的定义可得=所以.FNM为等边三角形，则/WM=60。，

抛物线y2=4x的准线方程为.x=-l,

设直线x=T交x轴于点E,则/ENF=30。，

易知|EF|=2,NFEN=90°,贝”引⑷=|刚=2出刊=4.

故选：B.

5.（2024•江西景德镇•三模）过抛物线;/=2x上的一点尸作圆C：（工-4?+丁=1的切

线，切点为A,B,贝”4?口尸。可能的取值是（）

A.1B.4C.>/6D.5

【答案】D

【分析】设尸（%，为）,利用圆的切线性质，借助图形的面积把|知卜|尸。表示为与的函

数，再求出函数的最小值即可.

【详解】设尸（X。，为）,则y；=2%,圆C的圆心C（4,o）,半径r=1

由尸AP3切圆C于点A3,得PCLA反尸ALAC,

2

贝！）|•|PC|=2sAeB=4SPAC=2\PA\-\AC|=27|PC|-1=2j（尤0-4尸+y；一1

2

=2d6与+15=27（X0-3）+6>2A/6,当且仅当％=3时取等号，

所以145Hpe的最小值为2而，ABC不是，D是.

故选：D

6.（2024•河北张家口•三模）已知抛物线f=2y的焦点为尸，。为原点，直线y=2尤+f

与该抛物线交于N两点，且OMJ_ON,贝IJ|MF|+|NF|=（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【分析】将抛物线与直线联立，利用韦达定理，求解出国=-2r,%•%=/，利用垂直

关系，&2=-1求解人即可得到％+%，代入IM用+|NF|=%+与+%+与即可得到

赴玉22

答案.

【详解】设/住,%）,N（%,%）,将直线与抛物线联立［厂：：〉，

消去y有：尤2-4x-2t=0,有玉+々=4,尤］“2=-2/,则

1

%-y2=（2%+/）（2X2+/）=4%.%2+2小玉+x2）+t=一8，+8%+»=5,

由于OMLON,因此&2=T,即二=一1,得至!）/=2,

X2%—2t

因此%+=2再+%+2%2+1=8+2+2=12,

由于抛物线中。=1,抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离,

pP

因此IM尸|+|册|=%+,+%+5=12+1=13.

故选：B

7.（2024•新疆•三模）已知抛物线C：V=x的焦点为尸，在抛物线C上存在四个点尸,

11

M,Q,N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为R且则西+西=（）

A.克B.1C.JlD.2

2

【答案】B

【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质|尸司=产飞，

1-COS0

|。司=/上飞，。用=丁、，加刊=丁、，结合三角的恒等变换的化简可得

1+cos。l+sm0111-sm。

111

西+师=方即可求解.

【详解】由抛物线。：产=》得20=1,则p=g,尸（；,0）,

不妨设PQ的倾斜角为人。＜。＜3

则由|尸尸|cosO+p=|PH，PTQHCOS9=|Q典得「刊=匚枭，fQFl=—^—）

\MF\=___£___=P\NF\=一号—\=

所以josg+d1+sin。，l+cosg+41-sinO,

2P

2PMN

得|PQ|=|尸川+|QF|=-^^-\\=sinQ+。）Acos20,

1-cos^+1+COS0sin26"

8.（2024•山西运城•三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，动点M在C上，点B与

点关于直线/:y=x-l对称，则而的最小值为（）

A.立B.|C.@D.-

2233

【答案】A

【分析】根据对称性可得B（T，。），即点8为C的准线与x轴的交点，作跖以垂直于C