2025高考数学二轮复习：离心率的范围问题 专项训练【含答案】

微专题37离心率的范围问题

［考情分析］圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的

转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

-思维导图

圆锥曲线的定义一

一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

圆锥曲线的标准方程一常见

一利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

椭圆、双曲线的离心率一题型

-利用几何图形的性质求离心率的范围

基本不等式一

利用圆锥曲线的定义构建”,Ac的齐次不等—

式求离心率的范围常见

忽略离心率的自身范围

利用已知条件的几何图形构建凡儿。的齐次_误区

不等式求离心率的范围

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率

【典例1】（1）（2023•怀仁模拟）已知尸1,凡为椭圆G：J匕=l（m>6i>0）与双曲线。2：三一二=

axbiaibi

1（«2>0,62>0）的公共焦点，M是它们的一个公共点，且el,02分别为曲线Cl,

C2的离心率，则eie2的最小值为（）

A.*B.SC.1D.-

22

答案A

解析假设

所以由椭圆、双曲线定义得

］MFi\+\MF\=2ai,ljWFi|=ai+a,

■2解得•一2

\MF\\—\MF2\=2a29\\MF2\=cn—aZ,

△MFib2

所以在中，|FIF2|=2C,由余弦定理得

尸得2=叱叶屿2_tCOS$

即4c*2=（6Z1+（72）2+（6Z1—。2）2—2（41+。2>（。1—6Z2）COS$

化简得4c2=4彳+3况，

因为4/=山+3龙三23防。2,

所以卫N维=近，

6Z16Z242

即egN—，

2

当且仅当01=43。2时，取等号.

故eie2的最小值为重.

2

(2)过抛物线C：y2=20xg>0)的焦点F的直线I,交抛物线C的准线于点/,与抛物线C的一

个交点为8,且益=滋妗物.若/与双曲线H=l(a>0,6>0)的一条渐近线垂直，则

层〃

该双曲线离心率的取值范围是.

答案(1,仍]

解析依题意可知，直线/的斜率存在且不为0,不妨设直线/的斜率为正数，如图,

过3作与抛物线的准线垂直，垂足为C,

y2=2px

根据抛物线的定义可知出厂|=

因为前=溢也2W),

所以14gl=川8F|=向8。|,

所以l=l^C|=cos//3C,

k\AB\

110返

因为人之他，所以12」，

所以cos/ABCe[°'TJ,

匹£)

所以/ABCe]，2J,

所以tanN/2Ce[l,+8),即直线/的斜率的取值范围为口，+8),

又/与双曲线三一b>0)的一条渐近线尸一与垂直，

a1b1a

所以Ql,

层+尻

所以双曲线的离心率e=~=

a2

又e>l,所以"W啦,

即该双曲线离心率的取值范围是a,a

跟踪训练1(1)已知椭圆C：［+，=1(心6>0)的左、右焦点分别为尸1,尸2,点尸在椭圆C

上，若离心率6=解，则椭圆。的离心率的取值范围为(

)

rIo,隹|

A.(0,V2-1)B.l2J

至1］「

CL2'JD.W2-1,1)

答案D

解析因为0=款，所以|PB|=e|P92|,

由椭圆的定义得|尸乃|十|尸理=2%

解得尸死尸区，

e+1

因为〃一cW|尸BIWa+c,所以q—

e+1

两边同除以Q得1一eW—2—Wl+e,解得也一1,

e+1

因为O〈e<L所以也一IWevl,

所以该离心率e的取值范围是［也一1,1).

(2)已知双曲线C：三一三=1(心0,6>0)的左、右焦点分别为尸i(—c,0),凡(c,0),点N的坐标

a2-炉

为［—C'五］若双曲线C左支上的任意一点M均满足|班|+|孙>46,则双曲线C的离心率

的取值范围为()

B.琲，V13)

「四

C.I'3Ju(^5,+8)

D.(1,G)U(而,+8)

答案C

解析由已知可得|g|一|MFi|=2a,^\MF2\+\MN\>4b,

即附F\|+|血W|+2a>46,左支上的点”均满足此42|十|跖叩>46,

如图所示，当点"位于X点时，］吠1|+也见最小，

"2

故一~+2q>4b,即3b2+4a2>Sab,

2a

3b2—Sab+4«2>0,(2a—b)(2a—3b)>0,

2a>3b或2a<b,4a2>9b2或412Vb2,

9c2V13层或。2>5〃2,.・.或

a3a

双曲线。的离心率的取值范围为I'3JU(A/5,+°°).

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率范围

【典例2】（1）已知双曲线£—£=1（介0,6>0）的右焦点为歹，若过点尸且倾斜角为60。的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是.

答案［2,+°°）

解析过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线与右渐近线

的关系，如果这条直线的斜率为左小于等于右渐近线了=々的斜率，则与双曲线的右支只有

a

一个交点，故

a

源+扶

所以双曲线的离心率e=£

a6Z2

（2）双曲线三一5=1（心0,6>0）的两个焦点为尸1,尸2,若尸为双曲线上一点，且—-——

22

absinZPFiF2

————，则双曲线离心率的取值范围为________

sinN尸尸2尸］

答案（1,1+也）

解析依题意，不妨设P点为双曲线的右支上的一点，下1为左焦点，正2为右焦点,

sinN尸尸汨

在△PF1尸2中,由正弦定理得

sinNPFiB\PF2\

—tuc

又---------

sinZPFiF2sin/PBFi

.sin/PF2Fic

sinZPFiF2a

...用=2由假设可知f|>『仍|,

\PF2\a

•\PFj\-\PF2\_c-a

•,\PF2\—a'

2ac一a

由双曲线的定义知

a

\PF2\

2〃2

：.\PF\=——,由题意知|尸明|>。一。，

2c-a

・2层

.・------>c~a,

c-a

整理得c2—2ac-a2<0,

即e2—2e—l<0,.'.l<e<l+^2.

跟踪训练2(1)已知双曲线c：-上一-其中加>0,%。0),若卜0,则双曲线。离心率

mm+1

的取值范围为()

A.(1,也)B.(也,+8)

C.(1,2)D.(2,+8)

答案A

解析由双曲线C：上一二^=〃其中机>0,%<0),

mm+1

22

得一3v———一x^=1,

—2(m+1)~km

则双曲线C的离心率e=A+

—A(m+1)\m+1\jm+1\]m+1

因为机>0,所以冽+1>1,贝!J0<一-一<1,

m+1

所以1<2——二<2,

m+1

所以l<e〈也，即双曲线C离心率的取值范围为(1,仍).

(2)(2023・杭州模拟)已知椭圆C：，+"=1(心6>0)的左、右焦点分别为B,F2,若与椭圆C

无公共点的直线x=3上存在一点P,使得tan/EPB的最大值为2也，则椭圆离心率的取值

范围是•

答案忆1]

解析不妨设尸(3,。(介0),Fi(-c,O),尸2(%0),

设直线尸用倾斜角为明直线PF2倾斜角为£,

则tan/E/y2=tan$_a)=tanS—tana=1二一左用

1+tanoctan£1+kPF^kPFi

tt

3—c3+c(3+C)L(3—c)E2ct——江

,,tt(3-c)(3+c)+f29~c2+t2

3—c3+c

若tanZFiPF2的最大值为26,则/+匕土有最小值，

t

又f十七6三249二2,当且仅当/=七^,即/=A/9二2时取等号,

tt

则2A/^^=2也即。2=8(9—4),解得c=2啦,

又椭圆C与直线-3无公共点，则“<3,所以

所以椭圆离心率的取值范围是

考点三利用几何图形的性质求离心率范围

22

【典例3](1)(2023•重庆模拟)已知P为圆。：炉+产—6了=40上一点，椭圆环]+《=13>6>0)

1

Q2b

的焦距为6,点尸关于直线x—y=0的对称点在椭圆M上，则椭圆离心率的取值范围为

n$

答案L10'4_

解析圆C：9+8—3)2=49关于直线x—y=0对称的圆为(X-3)2+V=49,

依题意，圆(x—3/+y2=49与椭圆“：¥+]=1(。>6>0)有交点，

又椭圆的右焦点(3,0)是圆的圆心，

所以Q+C27,且Q—cW7,

又。=3,

p_&

所以4<aW10,e=~^[10,4_.

a

⑵已知尸i,Ez是双曲线三一三=1(心6>0)的左、右焦点，以尸2为圆心，。为半径的圆与双曲

线的一条渐近线交于4,3两点，若|/句>止步,则双曲线的离心率的取值范围是()

答案A

解析设以凡(c,0)圆心，。为半径的圆与双曲线的一条渐近线及一利=0交于43两点,

\bc\

则尸2到渐近线bx—ay=0的距离d==b

\ja2+b2

所以|4S|=2y]a2—b2,

因为以8|>以2,

所以2勺/一

2

可得4a2—4b2>c2=a2-\-b2,

即3层>5抉=5/—5层，可得5c2V8a2,

所以H

a25

所以e<R^,又e>l,

5

fl叫

所以双曲线的离心率的取值范围是I'5J

跟踪训练3(1)已知椭圆C5+M=l(a>b>0)的左焦点为尸，经过原点的直线与C交于/,

出b1

3两点，若//FB2150。,则。的离心率的取值范围为________________.

r0「

答案I4」

解析如图，设椭圆的右焦点为尸'，连接/P,BF',

；4B,FF'互相平分，.•.四边形/P3尸为平行四边形，

/.ZAFB+ZFBF'=180°,

VZAFB^15Q°,：.ZFBF'W30。，

由条件知，当8在短轴端点(不妨取上端点31)时，/FBP最大,

此时在RtZsBiOP中，NOBiF'=15°,

.,.e=sinZO5iF,=sin15°=-,

4

即ed4J.

⑵已知尸1,尸2分别为双曲线的左、右焦点，。为坐标原点，以原点为圆心，为半径的圆

与双曲线左支的一个交点为P,若PR与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围

为.

答案(/，+°°)

解析设双曲线的方程为三一三=1（。>0,6>0）,Fi（-c,O）,

a'bL

设直线尸人的方程为y=-x+c）,即依一y+Ac=O,

联立圆N+y2=c2与双曲线方程三一片=1,

a2-bz

设交点p在第二象限，则』?T.

尤

可得此时k=----1。--->0,

a\b2+c2.

----------\-c

C

由题意可得

a

得a\jb2+c2<c2~ab,结合层+〃=c2,

化简可得6>2a,即有片2>4。2,

可得02>5层，即有e=C>Ys.

a

［总结提升］

关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立一个关于a,b,c的方程（或不等

式）.一般建立方程有两种方法：（1）利用圆锥曲线的定义解决；（2）利用题中的几何关系来解

决问题.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件.

I.（2023・承德模拟）已知过点P（l,2）可作双曲线C：三一三=1（心0,6>0）的两条切线，若两个

出bz

切点分别在双曲线。的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.叱,+8）B.（1,贴）

C.（1,3）D.（怎+°°）

答案B

解析要满足题意，点P（l,2）必须在渐近线y=”与y轴围成的区域，且不能在渐近线及y

a

轴上.所以必须满足。<2,

a

所以e=±='壬^=1］+。2</,

a\la2

又e>l,1<£<A/5.

2.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，Ai，久,Bi，屏为椭圆的顶点，正2为右焦

点，延长囱凡与482交于点尸，若NB1P为为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

0,

A.IBl2

0,

cl2I〕D.l20

答案C

解析设51(0,~b),&(0,b),F2(C,0),股3,0).

所以5汹2=(4,—b),FzBi=(—c,~b)

因为NS尸&为钝角，所以尸与5必2的夹角为锐角,

所以B2A2，F2B1=—4。+扶>0,

即6Z2—C2—(2C>0.

两边同时除以层并化简得e2+e—1<0,

解得•<e<

22

…T

又0〈e〈l,

22

3.设省,也是椭圆［+4=1上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P,使得tanN4iQ42

a

则椭圆离心率的取值范围是（）

0,0,

A.I2Bl3

退1道，1l]

C.L2D.L3

答案D

2tanZOB4i

解析由题可知当尸为上顶点或下顶点时N41F42最大，依题意得-

1—tan2ZO7^4i

可得tan/OPAi=即a=­b,

22

若椭圆上恒存在一点P满足tan//iF42=-2#,

则心骂,即MW3c2,

2

所以£》血，

a3

小<L

4.（2023・温州模拟）设过原点且倾斜角为60。的直线与双曲线C：三一二=1（。>0,6>0）的左、

a2-炉

右支分别交于4,2两点，尸是C的焦点，若的面积大于^/嬴/2工凉），则。的离心率

的取值范围是（）

A.（1,诟B.（也，7）

C.（2,7）D.（2,田）

答案D

解析不妨设尸是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线N5的方程为y=3x,

y=\j3x,

后一尻一

r

得X=^===,且/A>3Q2,

址2—3次

所以为

因为S△/“=3义1°方IX做一y/=；><cX2\l^qb/abc

22

\jb—3a7b2-3Q2

且S^ABF^y/6a2^2+b2)=\j6ac,

所以住一

所以a2b32,也，解得°<e<S,

又因为〃>3°2,解得e>2,所以2<e<、h

5.（2023•咸宁模拟）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为E，F2,

且两条曲线在第一象限的交点为尸，△尸尸1凡是以尸尸1为底边的等腰三角形，若|尸人|=24,椭

圆与双曲线的离心率分别为ei,e2,则3e©的取值范围是（）

k+-1工

A.l9JB.（1,+8）

C.[?+T$+8]

答案B

解析设椭圆与双曲线的半焦距为C,椭圆长半轴长为双曲线实半轴长为。2,|尸招1=71

=24,\PF2\=r2,

二.△尸尸1尸2是以PE为底边的等腰三角形，点尸在第一象限内，

尸尸招尸

：.\PF2\=\F1F2\,\PF1\>\PF2\,I2|+|2Hp

即n=2c,n>r2,2r2>n,

2c<24,4c>24,解得6<c<12.

在双曲线中,|尸尸1|一|尸尸2|=202,

._c_2c_2c_2c_c

••C2=—====.

。22a2ri一尸224—2c12—c

在椭圆中，\PFi\+\PF2\=2ai,

._c_2c_2c_2c_c

••C\.

Qi2QIn+r224+2C12+C

cc]

'.e\ei=,'=1/1/1；

12+c12-cJ44-1

c2

V6<c<12,.\36<c2<144,

贝ij1<号<4,.•.0<辔—1<3,

c2c2

11

可得不二>3，

J

「・3d?2的取值范围为（1,+°°）.

6.（多选）设E,G同时为椭圆Ci：三+二=1（。汕>0）与双曲线。2：6>0）的

相p2aibi

左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点椭圆C1与双曲线。2的离心率

分别为ei,62,。为坐标原点，若（）

A.\FF^2\MO\,则

Xe\ei

B.\FXF^2\MO\,则!+5=2

e\ei

C.\F!F2\=4\MF2\,则eg的取值范围是（？J

2

D.\FIF2\=4\MF2\,则eg的取值范围是]

答案BD

解析如图，设眼口=加，\MF2\=n,焦距为2c,由椭圆定义可得加+"=2a,

由双曲线足乂可得7〃一"=2ai,解得7〃=a+ai,n=a—<7i,

当巧尸2尸2战。|时，则/尸ig=90。，

所以m2+n2—4c2,

即02+况=202,由离心率的公式可得5+4=2,故B正确，A错误;

eiei

当尸LF2|=4|A/F2|时，可得〃=1°,即〃一。1=16可得^----

22e\ei2

由