2024年中考数学题型突破：综合探究题之与折叠有关的探究题（专项训练）

类型三与折叠有关的探究题（专题训练）

1.（2023・山东枣庄•统考中考真题）问题情境：如图1,在41SC中，AB=AC=11,5c=30,

AD是BC边上的中线.如图2,将AABC的两个顶点2,C分别沿折叠后均与点。

重合，折痕分别交AB,AC,8C于点E,G,F,H.

猜想证明：

（1）如图2,试判断四边形AEDG的形状，并说明理由.

问题解决；

⑵如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点8与点H重合，

折痕分别交A3,8C于点N,的对应线段交DG于点K,求四边形MKG4的面积.

【答案】（1）四边形AEDG是菱形，理由见解析

（2）30

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到/正=小=£4=47,即可得出

结论.

（2）先证明四边形川河G为平行四边形，过点H作HELCG于点E,等积法得到CG-HE

的积，推出四边形MKG4的面积=CG-〃E,即可得解.

【详解】（1）解：四边形AEDG是菱形，理由如下：

•..在AABC中，AB=AC,AD是边上的中线，

ADLBC,BD=CD=-BC,

2

•••将AABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，

EF±BC,GH±BC,BE=DE,CG=CD,BF=FD=-BD,CH=DH=-CD,

22

EF//AD,

,BFBE,

••——19

FDAE

：.BE=AE=-AB,

2

同法可得：CG=AG=-AC,

2

:.AE=DE,AG=DG,

•：AB=AC,

；・AE=DE=DG=AG,

・・・四边形AEDG是菱形；

(2)解：・・・折叠，

/GDC=ZC,NMHB=ZB,

'：AB=AC,

：.ZB=NC,

ZGDC=ZB,NMHB=ZC,

；.MH//AC,DG//ABf

・•・四边形41值G为平行四边形，

•：AB=AC=11,BC=30,

由(1)知：BD=CD=-BC=15DH=CH=—DG=AG=-AB=-

2f2f22f

过点H作于点E,

・・

.△CsnCCrHC2=-CHHG2=-CGHEf

/.CGH£=—x4=30,

2

:四边形MKG4的面积=AG=CG,

：.四边形MKGA的面积=CG-HE=30.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，

平行四边形的判定和性质.熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

2.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作

60。,30。,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步:对折矩形纸片ABC。,使与8c重合，得到折痕后/，把纸片展开（如图13-1）.

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在所上，并使折痕经过点3,得到折痕同时

得到线段BN（如图13-2）.

猜想论证:

（1）若延长交8C于点尸，如图13-3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论.

拓展探究：

（2）在图13-3中，若A5=a,BC=b，当a,6满足什么关系时，才能在矩形纸片ABC。

中剪出符（1）中的等边三角形的MP?

【答案】（1）△BMP是等边三角形，理由见解析；（2）a<—b，理由见解析

2

【分析】

（1）连接AN,由折叠性质可得是等边三角形，ZPBN=30°,

ZABM二ZNBM=30。,然后可得到ZMBP=/BMP=60。,即可判定^BMP是等边

三角形.

（2）由折叠可知5C2BP,由（1）可知5P=3加，利用30°的三角函数即可求得.

【详解】

（1）解：ABMP是等边三角形,

证明如下：

连接AN.

由折叠可知：AB=BN,石尸垂直平分AB.

AN=BN,

AN=AB=BN,

.•.△A3N为等边三角形，

/.NABN=60。,

:./PBN=30°,

,/ZABM=ZNBM=30°,ZBNM=NBAM=90°,

ZBMP=60°,

，ZMBP=Z.BMP=ZBPM=60°,

是等边三角形.

（2）解：方法一：

要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BCNBF,

在RtZXBNP中，BN=BA=a,/PBN=30°,

BP=—-—=—«

cos3003

BC>BP,

:.bN空a，即正匕,

32

当a《Bb或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边△翱?.

23

方法二：

要在矩形纸片ABCD上剪出等边ABMP,则BCNBP,

在RtZiBNP中，ZNBP=30°,BN=AB=a,

设NP=x,则BP=2尤，

:.BP?—NP]=BN?，即（2x）2—必="2,得x=^o，

•••BP=^-a，

3

■:BC>BP,

•八、2G「nnv

••b2-----a，即。«—b,

32

当aW昱b（或b2空a）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边ABMP.

23

【点睛】

本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直

角三角形是解本题的关键.

3.（2023•辽宁大连•统考中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知A8=AC,90。，点E为AC上一动点，将以BE为对称轴翻折.同学们经过

思考后进行如下探究:

独立思考：小明：“当点。落在上时，NEDC=2ZACB.”

小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出3E的长.”

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:

图3

问题1：在等腰AABC中，"=47,44>90。,43£应由4钻后翻折得到.

（1）如图1,当点。落在2C上时，求证：NEDC=2ZACB；

（2）如图2,若点E为AC中点，AC=4,CD=3,求BE的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成NA<90。的等腰三角形，可

以将问题进一步拓展.

问题2：如图3,在等腰AABC中，ZA<90°,A5=AC=BD=4,2ZD=ZABD.若C£>=1,

则求8C的长.

【答案】（1）见解析；（2）土短；问题2：BC=M

2

【分析】（1）根据等边对等角可得NABC=NC,根据折叠以及三角形内角和定理，可得

ZBDE=ZA=180°-2ZC,根据邻补角互补可得NEDC+N3DE=180。，即可得证；

（2）连接AD,交BE于点F,则E尸是△ADC的中位线，勾股定理求得AF,皮"根据

5E=3尸+EF即可求解；

问题2：连接AD,过点B作_LAD于点M,过点C作CG_L于点G,根据已知条件

可得BM〃CD,则四边形CGMD是矩形，勾股定理求得AD,根据三线合一得出MRCG,

根据勾股定理求得2c的长，即可求解.

【详解】（1）;等腰AABC中，筋=4?,/4>90。,/\瓦织由4钻石翻折得到

:.ZABC=NC,ZBDE=ZA=1800-2ZC,

•・•Z£DC+ZBDE=180°,

ZEDC=2ZACB；

(2)如图所示，连接AD,交.BE于点F,

,・•折叠,

；・EA=ED,AF=FD,AE=-AC=2,AD上BE,

2

・・・£是AC的中点，

EA=EC,

13

EF=-CD=-,

22

在中，

在RtAABF中,

BE=BF+EF=3+回

2

问题2：如图所示，连接AD,过点与作RW_LAO于点M,过点。作CG_L5M于点G,

图3

VAB=BD,

AM=MD,NABM=ZDBM=-ZABD,

2

2ZBDC=ZABD,

：.ZBDC=ZDBM,

：.BM//CD,

，CD1.AD,

又CG_LBW,

四边形CGMD是矩形，

贝1JCD=GN,

在RtaACD中，CD=1,AD=4,AD=yjAC2-CD1=742-12=715-

：.AM=MD=—,CG=MD=—

7

在RtA&M/中，BM=《BD?-DM

2

75

BG=BM-GM=BM-CD=--1=-,

22

在Rt^BCG中，BC=yjBG2+CG2

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练

掌握以上知识是解题的关键.

4.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题:

如图①，在口ABCD中，BELAD,垂足为E,尸为CD的中点，连接所，5支，试

猜想E尸与5斤的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF（尸为CD的中点）所在

直线折叠，如图②，点C的对应点为C,连接。。并延长交A5于点G,请判断AG与BG

的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点6的直线折叠，如图③，点A的对

应点为4,使45LCD于点"，折痕交AD于点“，连接A'4，交CD于点N.该

小组提出一个问题：若此口ABCD的面积为20,边长A5=5,BC=245＞求图中阴影部

分（四边形8HM0）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

A

【答案】（1）EF=BF；见解析；（2）AG=BG,见解析；（3）y.

【分析】

（1）如图，分别延长AD,3/相交于点P,根据平行四边形的性质可得AO//3C,根据

平行线的性质可得NPZ»=NC,/P=NFBC,利用AAS可证明4PDF丝ABCF,根据全

等三角形的性质可得EP=FB，根据直角三角形斜边中线的性质可得所=即可得

2

EF=BF；

（2）根据折叠性质可得/CFB=NC'FB=—ZCFC,,FC=FC,,可得FD=FC',根据等腰三

2

角形的性质可得NFD。=/FC'D,根据三角形外角性质可得NCFC'=NFDC'+NFC'D,即

可得出/C'FB=ZFC,D,可得DG〃FB,即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=

—AB,可得AG=BG；

2

（3）如图，过点M作MQLA，B于Q,根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的

性质可得A'B=AB,NA=NA',ZABM=ZMBH,根据A'B_LCD可得A'B±AB,即可证明

△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ,根据平行四边形的性质可得NA=NC,即可得NA'=

ZC,进而可证明AA'NHs/MZBH,根据相似三角形的性质可得A'H、NH的长，根据NH//MQ

,

可得AA，NH^AAMQ,根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=$.kSaNH即可

得答案.

【详解】

（1）EF=BF.

如图，分别延长A£＞，BF相交于点P,

V四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,

；•/PDF=NC,ZP=ZFBC,

•.•尸为CD的中点，

DF=CF,

NP=ZFBC

在APDF和ABCF中，＜/PDF=NC,

DF=CF

.".△PDF^ABCF,

:•FP=FB，即尸为5P的中点，

:.BF=-BP,

2

•/BE±AD,

：.ZBEP=9Q°,

：.EF=-BP,

2

；•EF=BF.

(2)AG=BG.

••,将nABCD沿着BE所在直线折叠，点C的对应点为C',

.\ZCFB=ZC,FB=—ZCFC,FC=FC.

2

为CD的中点，

二FC=FD=-CD,

2

FC=FD，

AZFDC,=ZFC/D,

VZCFC'=ZFDC7+/FC'D,

1

ZFCD=-ZCFC,

2

.'./FC'D=ZC,FB,

：.DG//FB,

V四边形ABC。为平行四边形，

：.DC//AB,DC=AB,

...四边形DGBF为平行四边形，

：.BG=DF,

：.BG=-AB,

2

AG=BG.

(3)如图，过点M作MQ_LA，B于Q,

：口ABC。的面积为20,边长A5=5,46,CD于点〃,

；.BH=50+5=4,

**-CH=yjBC2-BH2=2>A，H=A(B-BH=1,

..•将oABCD沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A',

.\A,B=AB,ZA=ZAZ,ZABM=ZMBH,

：A'5LCD于点H,AB//CD,

•••A'B±AB,

ZMBH=45",

.-.△MBQ是等腰直角三角形，

MQ=BQ,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

ZA=ZC,

ZAZ=NC,

VZAZHN=ZCHB,

•••△A，NH^ACBH,

，”=里,即2=

AHNH1NH

解得：NH=2,

VA'B±CD,MQ±A(B,

ANH//MQ,

•••△A，NH^AAZMQ,

AHNH12

—；—=----,即nn--------=----,

AQMQ5-MQMQ

解得：MQ=—，

3

1,1,110122

==

•.SB=SAA,MB-SAA,NH=—AB,MQAH,NH—X5X—XIX2—.

222323

【点睛】

本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的

判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

5.（2023・广西•统考中考真题）【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCD对折，使AD与重合，展平纸片，得到折痕E尸；

折叠纸片，使点8落在斯上，并使折痕经过点A,得到折痕40,点8,E的对应点分别

为B',E',展平纸片，连接AQ,BB',BE'.

（图1）

请完成：

⑴观察图1中Nl,N2和/3,试猜想这三个角的K个天系;

（2）证明（1）中的猜想;

【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABC。的边上的一点，连接BN,在上取一点P,

折叠纸片，使8,P两点重合，展平纸片，得到折痕E尸；折叠纸片，使点8,尸分别落在EF,

BN上,得到折痕/，点8,尸的对应点分别为P',展平纸片，连接，PB'.

（图2）

请完成：

（3）证明BB'是4NBC的一条三等分线.

【答案】（1）N1=N2=N3

⑵见详解

⑶见详解

【分析】（1）根据题意可进行求解；

（2）由折叠的性质可知=58"AB^AB',然后可得留二台笈二他，则有AABB'是等

边三角形，进而问题可求证；

（3）连接尸？，根据等腰三角形性质证明==根据平行线的性质

2

证明证明APM'四AP'3'3（SAS）,得出NPBB'=NPB'B,即

可证明NCBB'=-ZCBN.

3

【详解】（1）解：由题意可知N1=N2=N3；

（2）证明：由折叠的性质可得：AB'=BB',AB=AB',AE=AE',AE=BE,

：.AB'^BB'=AB,AE'=B'E',

；・△ABE是等边三角形，

f

AE'=BE,ZABB=60°f

：.ZABEr=ZB,BE,=-NABB'=30°,

2

・・•四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°f

Z3=30°,

:.Z1=Z2=Z3；

(3)证明：连接P9,如图所示:

由折叠的性质可知：BB'=PB',PB=PB',ZPBB'ZP'B'B,

:折痕BZ_LAB,BB'=PB',

：.ZPB'E=ZBB'E=-ZBB'P,

2

.四边形ABC。为矩形，

NEBC=90。,

：.CB1AB,

BELAB,

：.B'E//BC,

：.ZBB'E=ZCBB'=-ZBB'P,

2

:在△尸3?和ApbB中，

PB=P'B'

<NPBB'=ZP'B'B,

BB'=B'B

/.APBBXAPB，B（SAS）,

/PBB'=NPB'B,

ZCBB'=-ZNBB',

2

ZCBB'=-ZCBN,

3

88,是NNBC的一条三等分线.

【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩

形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，

△PBBS^RB是解题的关键.

6.(2022•重庆市A卷)如图，在锐角△ABC中，NA=60。，点D,E分别是边AB,AC上一动

点，连接BE交直线CD于点F.

(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=ZCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段

CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN.在点D,E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间

存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,点H是

AP的中点，点K是线段PF上点，将APHK沿直线HK翻折至APHK所在平面内得到AQHK,

连接PQ.在点D,E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK1PF时，请直接写出言的值.

图2备用图

【答案】解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K,使得CK=BE,

BC=CB

ZBCK=ZCBE,

BE=CK

••.△BCE之△CBK(SAS),

/.BK=CE,Z.BEC=ZBKD,

vCE=BD,

・•・BD=BK,

・•.Z.BKD=ZBDK=zADC=zCEB,

•・•Z.BEC+ZAEF=180°,

zADF+zAEF=180°,

・•.ZA+ZEFD=180°,

•••乙A=60°,

・•.Z.EFD=120°,

・•.ZCFE=180°-120°=60°；

(2)结论:BF+CF=2CN.

理由：如图2中，vAB=AC,NA=60。，

・•.△ABC是等边三角形，

AB=CB,zA=ZCBD=60°,

•・,AE=BD,

•••△ABE丝△BCD(SAS),

Z.BCF=Z.ABE,

・•・ZFBC+ZBCF=60°,

・•.Z.BFC=120°,

如图2-1中，延长CN到Q,使得NQ=CN,连接FQ,

图2」

•・•NM=NF,ZCNM=zFNQ,CN=NQ,

/.△CNM^AQNF(SAS),

AFQ=CM=BC,

延长CF到P,使得PF=BF,则4PBF是等边三角形,

・•.Z.PBC+Z.PCB=Z.PCB+ZFCM=120°,

・•.Z.PFQ=ZFCM=ZPBC,

PB=PF,

••.△PFQ2△PBC(SAS),

・•.PQ=PC,ZCPB=ZQPF=60°,

PCQ是等边三角形，

・•.BF+CF=PC=QC=2CN.

(3)由(2)可矢口Z_BFC=120°,

・••点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3-1中),

・・.P,F,0三点共线时，PF的值最小，

AHo

止匕时tanNAPK=—=下，

・•.Z.HPK>45°,

•・•QK1PF,

・•.Z.PKH=ZQKH=45°,

如图3-2中，过点H作HL1PK于点L,设PQ交KH题意点J,设HL=LK=2,PL=8,PH=夕,

KH=2V2,

-SAPHK=1-PK-HL=j-KH-PJ,

PQ=2PJ=2X2(2y=2V2+V6

图3-1图3-2

7.(2022•广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB

沿BE翻折到ABEF处，延长EF交CD边于G点.求证：△BFGgABCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻

折到ABEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的三等分点，ND=60。.将△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.

图①图②图③

【答案】（1）证明：•••将AAEB沿BE翻折到ABEF处，四边形ABCD是正方形,

AB=BF,ZBFE=ZA=90°,

•••ZBFG=90°=NC,

vAB=BC=BF,BG=BG,

•••Rt△BFG名RtABCG(HL)；

(2)解：延长BH,AD交于Q,如图:

在RtZiBCH中，BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

解得X=I，

11

・•.DH=DC-HC=—,

3

•・.zBFG=ZBCH=90°,4HBe=Z.FBG,

・•.△BFG^ABCH,

6BGFG

BFBGFGDn__

一=—二—，Q~7~,

BCBHHCEP8-767+7---

257

・•.BG=-,FG=

44

•・•EQ//GB,DQ//CB,

・•.△EFQ^AGFB,△DHQ^ACHB,

BCCHRn8\

—DQ=D—H',即1D—Q=6--

•••DQ=y

设AE=EF=m,则DE=8-m,

88144

・•.EQ=DE+DQ=8-m+拳=三一m,

EFQ^AGFB,

144

噌噜即---m_m

~~~

44

解得m=p

・•.AE的长为号

-1

(3)解：(I)当DE=§DC=2时，延长FE交AD于Q,过Q作QH，CD于H,如图:

••CP//DQ,

CPE^AQDE,

CP_CE_2

DQ-DE-'

・•.CP=2x,

•••△ADE沿AE翻》折得至!!△AFE,

.・.EF=DE=2,AF=AD=6,zQAE=ZFAE,

・•.AE是4AQF的角平分线,

嚼噜即詈"①，

•・•ZD=60°,

DH=—DQ=-x,HE=DE-DH=2——x,HQ=V^DH=-^x,

在Rt^HQE中，HE2+HQ2=EQ2,

•1•C1-|x)2+(yx)2=y2②，

联立①②可解得X=I，

3

•••CP=2X=5；

(II)当CE=(DC=2时，延长FE交AD延长线于Q',过D作DN1AB交BA延长线于N,如图:

同理NQ'AE=ZEAF,

eAQ/_Q<E即6+x_y

AF-EF*6-4，

由HQ'2+HD2=Q02得：(苧x)2+Cx+4)2=y2,

可解得x=y,

综上所述，CP的长为|或，

8.(2021•湖北省荆州市)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,C重

合的一点，过F作FE1AD于E,将AAEF沿EF翻折得到AGEF,点G在射线AD上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上，ZFGC=90°,延长GF交AB于H,连接CH.

①求证：ACDGSAGAH；

②求tanNGHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上，ZGCF=90°,判断△GCF与△AEF是否全等,

并说明理由.

图1

【答案】(1)如图1,

①证明:•.•四边形ABCD是矩形,

•••ND=ZGAH=90°,

•••Z.DCG+ZDGC=90°,

•••ZFGC=90°,图1

•••ZAGH+ZDGC=90°,

•••ZDCG=ZAGH,

CDG00AGAH.

②由翻折得4EGF=4EAF,

•••zAGH=ZDAC=ZDCG,

•.­CD=AB=2,AD=4,

DG_AH1

—=tanzDAC=-

CD-AGAD42

1I

.•.DG=-CD=-X2=1,

GA=4—1=3,

CDG^AGAH,

CG_CD

GH-GA

CGCD_2

••・tanzGHC

GHGA-3

(2)不全等,理由如下:

AD=4,CD=2,

・•・AC=V42+22=2底

•・.ZGCF=90°,

^=tanzDAC=|,图2

CG=-AC=-x2A/5=V5,

22

AG=J(2近尸+(追尸=5，

•••EA=-AG=

22

•••EF=EA•tanzDAC=§x工=§,

224

AF=J©?+(/=W，

CF=2V5--=-)

44

VZ.GCF=ZAEF=90°,而CG丰EA,CF丰EF,

.■.AGCF与△AEF不全等.

9.(2022•四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落

在AD边上点F处.

(1)如图1,若BC=2BA,求NCBE的度数；

(2)如图2,当AB=5,且AF-FD=10时，求BC的长；

(3)如图3,延长EF,与NABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求

黑的值•

【答案】解：(1)・・・将4BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处,

BC=BF,ZFBE=ZEBC,

••・BC=2AB,

BF=2AB,

・•・ZAFB=30°,

•・,四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,

・•.Z.AFB=ZCBF=30°,

・•.Z.CBE=izFBC=15°；

2

(2)•・・将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处,

・•・ZBFE=ZC=90°,CE=EF,

又・・.矩形ABCD中,zA=ZD=90°,

/.ZAFB+ZDFE=90°,zDEF4-zDFE=90°,

Z.AFB=Z.DEF,

•••△FAB^AEDF,

AF_AB

**DE-DF，

AF•DF=AB-DE,

vAFDF=10,AB=5,

.・.DE=2,

CE=DC-DE=5-2=3,

・•.EF=3,

DF=VEF2—DE2=V32—22=

•••AF=^|=2V5,

:.BC=AD=AF+DF=2V5+V5=3岳.

(3)过点N作NG1BF于点G,

•・•NF=AN+FD,

...NF=iAD=jBC,

•••BC=BF,

1

・•・NF=-BF,

2

•・•Z.NFG=Z.AFB,zNGF=zBAF=90°,

•••△NFG^ABFA,

.NG_FG_NF_1

**AB-FA-BF-2,

设AN=x,

・・・BN平分4ABF,AN1AB,NG1BF,

AN=NG=x,AB=BG=2x,

设FG=y,贝|AF=2y,

••・AB2+AF2=BF2,

(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,

解得y=gx.BF=BG+GF=2x+[x=£x.

.AB_AB_2x_3

"BC—BF—争一5-

10.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把AADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.

(1)求证：AABFSAFCE；

(2)若AB=2b，AD=4,求EC的长；

(3)若AE-DE=2EC,记NBAF=a,zFAE=0,求tana+tan0的值.

【答案】⑴证明：••・四边形ABCD是矩形,

zB=zC=ZD=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

•••Z.AFB+ZEFC=90°,ZEFC+ZCEF=90°,

・•.Z.AFB=Z.FEC,

・••△ABF^AFCE.

(2)设EC=x,

由翻折可知，AD=AF=4,

BF=VAF*2*-AB2="6—12=2,

•••CF=BC-BF=2,

ABF^AFCE,

AB_BF

CF—EC

2V3_2

2~X

2V3

X=—

3

口厂2遮

・•・EC=—

3

(3)VAABF^AFCE,

AF_AB

EF-CF

BF,EFBF,CFBF+CFBC

•••tana+tanp=--1--=--1--

ABAFABABABAB，

设AB=CD=a,BC=AD=b,DE=x,

AE=DE+2CE=x+2(a—x)=2a—x,

AD=AF=b,DE=EF=x,Z.B=Z.C=ZD=90°,

・•・BF=Vb2—a2,CF=-yjx2—(a—x)2=V2ax—a2»

•・•AD2+DE2=AE2,

/.b2+x2=(2a-x)2,

22

•••a—ax=-4b,

ABF^AFCE,

tAB_BF

"CF-EC*

.a_Vb2-a2

7x2-(a-x)2a-x'

・•・a2—ax=Vb2—a2•V2ax—a2,

••・^b2=Vb2—a2•/a2--b2,

4\2

整理得，16a4-24a2b2+9b4=0,

・••(4a2-3b2)2=0,

.b_2V3

••a-3

・

••tana+tanBl=—AB=——3•

11.已知：在矩形ABC。中，AB=6,AD=26，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD

折叠，使点A与点P重合，点。落在点G处，折痕为E尸.

(1)如图1,当点P与点。重合时，则线段班=,EF=；

(2)如图2,当点P与点6,C均不重合时，取所的中点。，连接并延长尸。与GE的

延长线交于点"，连接P尸，ME,MA.

①求证：四边形MEM是平行四边形：

②当tan/M4O=g时，求四边形MEF户的面积.

图1图2

【答案】(1)2,4；(2)①见解析；②迎8

3

【分析】

(1)过点F作FHLAB,由翻折的性质可知：AE=CE,ZFEA=ZFEC,ZG=ZA=90°根据

平行线的性质和等量代换可得NCFE=/FEC,由等角对等边可得：CF=CE,设AE=CE=x,

BE=6-x,在RtZ\BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得

BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股

定理可得EF的长；

(2)①根据折叠的性质可得MG//PE,进而可得ZMFO=ZPEO,根据已知条件可得

OF=OE,从而易证△历9Mg△EOP,进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定

即可求证结论；

②连接与所交于点则EFLB4且=又由①知：PO=MO,MA//EF,

则继而易证NMAD=PAB,接根据三角函数求得PB,设PE=x,则5E=6-x,

根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解.

【详解】

解：⑴EB=2EF=4；

过点F作FH_LAB,

•・•折叠后点A、P、C重合

.\AE=CE,NFEA=NFEC,

•「CD〃AB

・・・NCFE=NFEA,

・・・NCFE=NFEC,

・・・CF=CE=AE,

设AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-x,

在RtZiBCE中，由勾股定理可得302+3七2=CE2,即（26）一+（6-％）2=/

解得：x=4,即AE=CE=CF=4

；.BE=2、DF=2,

：ND=NA=NFHA=90°

四边形DAHF是矩形，

.".FH=AD=2y/3>EH=AB-BE-AH=6-2-2=2

在RtZ\EFH中，由勾股定理可得：EF=ylFH~+EH2=273）+22=4

(2)①证明：如图2,

•.•在矩形ABC。中，CDIIAB,

由折叠(轴对称)性质，得：MG//PE,

:.ZMFO=NPEO,

:点。是所的中点，C炉=0E,

又ZFOM=ZEOP，:./XFOM^/XEOP,

二叱=QE,，四边形MEM是平行四边形:

②如图2,连接Q4与所交于点H,则石户_LB4且耽=AH,

又由①知：PO=MO,：.MA//EF,则M4LB4，

又血，AZMAD=ZPAB,：.tanZMAD=tanZPAB=-

3

PR1

在Rt^PAB，tan/PAB=----=—,

AB3

而AB=6,・・.P5=2,

又在RMPEB中,若设尸£二］,则5£=6—x,

9in

由勾股定理得：X2-(6-X)'=22,则Q石=%=不，

而FGLMG且PG=A。=20，

又四边形MEPF是平行四边形，

•1•四边形MEPF的面积为PExPG=—x2G=迎A

33

图2

【点睛】

本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形

的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会

作辅助线.

12.(2021•湖南中考真题)如图，在RtZkABC中，点尸为斜边上一动点，将尸

沿直线AF折叠，使得点3的对应点为3',连接A8',CB',BB'，PB'.

(1)如图①，若PB'_LAC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

pc

(3)如图③，若NACB=30。，是否存在点尸，使得AB=C2.若存在，求此时一”的

BC

值；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】

(1)先根据平行线的判定与性质可得=再根据折叠的性质可得

ZAB'P=ZABP,PB'=PB,从而可得NCPB'=ZAB'P,然后根据平行线的判定可得

AB'HBC,最后根据菱形的判定与性质即可得证;

(2)设AC与PB'的交点为点。，过点。作于点。，设A3=AC=4a(a>。),

从而可得BC=40a，先证出尸〜AB'Q4,从而可得生="=至=42,设

OB'OAAB'4

OC=y/2b,OB'=4b(b>0),根据线段的和差可得OP=30a—46,OA=4a—@,代

4、万20

入可求出b==a，从而可得。4=—a,再在HfVB'OZ)中，解直角三角形可得

77

B'D=2yf2b=—a,由此可得AD=Ua,然后在•△A0D中，根据余弦三角函数的定

77

义即可得；

(3)如图(见解析)，设A5=CB'=2加(m>0),从而可得

BC=4m,AC=2®n,AB，=2m,分①点3'在直线AC的左侧；②点3'在直线AC的右

侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得.

【详解】

(1)证明：•.•PS'LAC,ABAC=90°,

PB'HAB,

:.ZCPB'=ZABP,

由折叠的性质得：ZAB'P=ZABP,PB'=PB,

:./CPB'=ZAB'P,

:.AB'//BC,

•••四边形A5P5'是平行四边形，

又•：PB'=PB,

■­.平行四边形A5PE是菱形，

.\PB'=AB'-

(2)如图，设AC与PB'的交点为点。，过点。作于点

-.AB=AC,

是等腰三角形，ZABC=ZACB=45°,

设A5=AC=4a(a>0),则BC=4亚a，

•：BP=3PC,

.BP=3yf2,a,PC=\/2a,

由折叠的性质得：NAB'P=ZABP=45°,PB'=PB=3⑪a,AB'=AB=4a,

ZOCP=ZOB'A=45°

在ACOP和OA,中，<

ZCOP=ZB'OA

&OP〜里OA,

PCOPPC_y[2ayfl

访一正一万一万一7

设OC=y[2bib>0),则OB'=4b,OP=30a-4b,OA=Aa-叵b,

OP_3y/2a-4b_y/2

OA4a-A/2Z?4

472

解得6二--------CL，

7

:Q=4"四xWl”吗,

77

1A

在RtVBrOD中，BrD=OBr-cosZAB'P=2yl2b=—a,

7

:.AD=AB'-B'D=—a,

7

12

An丁613

则c°sNB'AC=m=^=M；

—a

7

(3)ZACB=30°,ZBAC=90°,

:.ZABC=60°,

设AB=CB=2m(m>0),则BC=4m,AC=y/BC2-AB2=2y[3m，

由折叠的性质得：NAB'P=ZABP=60°,AB'AB=2m,

AB'=CB'=2m,

由题意，分以下两种情况:

①如图，当点3'在直线AC的左侧时，过点5'作B'ELAC于点E,

:.CE=-AC=yl3m(等腰三角形的三线合一)，

2

B'E=yjB'C--CE2=m=-B'C,

2

..在处VB'CE中，/B'CE=3U°,

ZB'CP=ZB'CE+ZACB=300+30°=60°,

又•.•AB'=CB',

ZB'AC=ZB'CE=30°,

ZAB'C=180°-ZB'AC-ZB'CE=120°,

ZCB'P=ZAB'C-ZAB'P=120°-60°=60°,

.•.△CB'P是等边三角形，

PC=OB'=2m，

PC2m1

BC4m2'

②如图，当点3'在直线AC的右侧时，过点5'作B'bLAC于点歹,

同理可得：ZBfCF=30°,

:.ZB'CF=ZACB,

点3'在上，

由折叠的性质得：AP±BB'>

在RMABP中,BP-ABcosZABC=m,

PC—BC—BP-3m,

PC3m3

BC4m4'

PC13

综上，存在点P,使得A5=CB',此时——的值为一或

BC24

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等

边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是解题关键.

13.（2021•浙江中考真题）（推理）

如图1,在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，

连结BE,CF,延长CF交AD于点G.

（1）求证：ABCE©CDG.

（运用）

（2）如图2,在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若坦=±,CE=9,求线段DE

HF5

的长.

（拓展）

（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,

ADAnF

—=k,——=—,求空的值（用含k的代数式表示）.

【答案】（1）见解析；（2）r>E=