2024年中考数学题型突破：多边形证明之特殊四边形证明（专项训练）

类型二特殊四边形证明（专题训练）

1.（2023・四川自贡・统考中考真题）在平行四边形ABCD中，点E、尸分别在边AD和BC上,

且DE=BF.

求证：AF^CE.

【答案】见解析

【分析】平行四边形的性质得到AD=3C，AD||3C,进而推出AE=C产，得到四边形AEW

是平行四边形，即可得到4斤=比.

【详解】解：••・四边形A5CD是平行四边形，

AD=BC,AD\\BC,

•••BE=DF,

■.AE=CF,

：.AE=CF,AE//CF

四边形AEC尸是平行四边形，

:.AF=CE.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质.熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关

键.

2.（2023・山东・统考中考真题）如图，在YABCD中，AE平分NB4D,交于点E；CT平

分乙BCD,交AD于点?求证：AE=CF.

AFD

【答案】证明见解析

【分析】由平行四边形的性质得=AB=CD,AD//BC,由平行线的性质和角平

分线的性质得出/54E=/DCF,可证△BAE四△OB,即可得出AE=CF.

【详解】证明：••,四边形A5CZ）是平行四边形，

:,ZB=ZD,AB=CD,ZBAD=ZDCB,AD//BC,

TAE平分/B4O,CF平分/BCD,

:.ZBAE=ZDAE=ZBCF=ZDCF,

在aBA石和△OCF中，

NB=ZD

<AB=CD

/BAE=/DCF

：.△历场均。C尸(ASA)

・•・AE=CF.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据

题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键.

3.如图，点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD±,且BE=DF.求证：ZBAE=ZDAF.

【分析】根据菱形的性质可得NB=ND,AB=AD,再证明AABE丝ZiADF,即可得NBAE=N

DAF.

【解答】证明：四边形ABCD是菱形，

ZB=ZD,AB=AD,

在4ABE和4ADF中，

AB=AD

zB=Z_D,

BE=DF

AABE^AADF(SAS),

NBAE=NDAF.

4.(2023・四川南充・统考中考真题)如图，在YABCD中，点E,尸在对角线AC上，

ZCBE=ZADF.求证：

A1-------------------丑

F

B

(1)A£,=CF；

Q)BE〃DF.

【答案】见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求

^EZABE=ZCDF,最后证明ASA)即可求出答案.

(2)根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出NBEF=NEED即可证明两直

线平行.

【详解】(1)证明：•.•四边形ASCD为平行四边形，

/.AB//CD,AB=CD,ZABC=ZADC,

\?BAE?FCD.

QNCBE=ZADF,ZABC=ZADC,

:.ZABE=/CDF.

.-.△ABE^ACDF(ASA).

■.AE=CF.

(2)证明：由(1)得△ABE四△CD*ASA),

:.ZAEB=ZCFD.

QZAEB+NBEF=180°,NCFD+NEFD=180°,

.-.ZBEF=ZEFD.

:.BE//DF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的

关键在于熟练掌握平行四边形的性质.

5.(2023・湖南•统考中考真题)如图所示，在AMC中，点。、E分别为?IB、AC的中点，点

X在线段CE上，连接3”，点G、F分别为BH、S的中点.

(1)求证：四边形。及G为平行四边形

(2)DG±BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.

【答案】(1)见解析

(2)75

【分析】(1)由三角形中位线定理得到DE〃BC,OE=18C,GF〃BC,GF；BC,得到

22

GF//DE,GF=DE,即可证明四边形DEFG为平行四边形；

(2)由四边形OEfU为平行四边形得到DG=£F=2,由。得到/DG3=90。，由

勾股定理即可得到线段BG的长度.

【详解】(1)解：：点。、E分别为AB、AC的中点，

/.DE//BC,DE=-BC,

2

:点G、F分别为BH、CH的中点.

GF//BC,GF=-BC,

2

GF〃DE,GF=DE,

四边形。班G为平行四边形；

(2):四边形OERS为平行四边形，

DG=EF=2,

,：DG1BH,

：.ZDGB=90。,

'：BD=3,

BG=y/BD2-DG2=A/32-22=6-

【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形

OEbG为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键.

6.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,

DF,BE,BF.

求证：四边形BEDF是菱形.

【分析】四边形ABCD是菱形，可得AB=BC=CD=DA,ZDCA=ZBCA,NDAC=NBAC,可以

证明4CDF2ACBF,ADAE^ABFC,ADCF^ABEA,进而证明平行四边形BEDF是菱形.

【解答】证明：・・•四边形ABCD是菱形，

・・・BC=CD,NDCA=NBCA,

，NDCF=NBCF,

VCF=CF,

AACDF^ACBF(SAS),

・・・DF=BF,

VAD/7BC,

・・・NDAE=NBCF,

VAE=CF,DA=AB,

AADAE^ABFC(SAS),

.•・DE=BF,

同理可证：△DCFgz^BEA(SAS),

.\DF=BE,

・•・四边形BEDF是平行四边形，

VDF=BF,

・•・平行四边形BEDF是菱形.

7.(2023・四川广安・统考中考真题)如图，在四边形ABC。中，AC与BD交于点O,B£_LAC,

DF1AC,垂足分别为点区F,且A尸=CE,NBAC=ZDC4.求证：四边形A5CD是平行

四边形.

AD

C

B

【答案】见详解

【分析】先证明A但2AC9(ASA),再证明AB=CD,AB//CD,再由平行四边形的判定

即可得出结论.

【详解】证明：-.-BELAC,DF1AC,

:.ZAEB=NCFD=90。,

AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,

AE=CF,

又•.•NBAC=NDCA,

..△AEB之ACFD(ASA),

AB=CD,

•；/BAC=ZACD,

AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四

边形的判定，证明三角形全等是解题的关键.

8.(2023・湖北随州・统考中考真题)如图，矩形ABCO的对角线AC,相交于点。，

DE\\AC,CE\\BD.

(1)求证：四边形OCE。是菱形；

(2)若3c=3,OC=2,求四边形OCED的面积.

【答案】⑴见解析；(2)3

【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC=8,然后根据有一组邻边相等的平行四边形是

菱形分析推理；

(2)根据矩形的性质求得AOCD的面积，然后结合菱形的性质求解.

【详解】(1)解：：DE//AC,CE//BD,

•••四边形OCE。是平行四边形，

又；矩形A3CD中，OC=OD,

平行四边形OCED是菱形；

（2）解：矩形A3CD的面积为3。。。=3*2=6,

13

AOCD的面积为：x6=—,

42

3

•••菱形OCED的面积为2x彳=3.

2

【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判

定方法，正确推理论证是解题关键.

9.（2023・湖南永州・统考中考真题）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交

于点。，0A=3,80=8,48=5.

（1）斜03是直角三角形吗？请说明理由；

（2）求证：四边形ABCD是菱形.

【答案】（1）丛03是直角三角形，理由见解析.（2）见解析

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得3。=（8。=4,再根据勾股定理的逆定

理，即可得出结论；

（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证.

【详解】（1）解：AAOB是直角三角形，理由如下：

V四边形ABCD是平行四边形，

BO=-BD=4,

2

OA2+OB2=32+42=52=AB2,

A是直角三角形.

（2）证明：由（1）可得：A4O8是直角三角形，

二ZAOB=9Q°,

即ACA.BD,

四边形ABCD是平行四边形，

.••四边形A3C。是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键

是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

9.（2023•浙江杭州•统考中考真题）如图，平行四边形A3CD的对角线AC,即相交于点。，

点E,尸在对角线8。上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.

⑴求证：四边形AEC尸是平行四边形.

（2）若AABE的面积等于2,求△CFO的面积.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得。4=OC,OB=OD,结合5£=田可

得OE=OF,即可证明四边形AEC厂是平行四边形；

（2）根据等底等高的三角形面积相等可得S,AEF=S“ABE=2,再根据平行四边形的性质可得

\cFO=2S-CEF=~S&AEF=]X2=1.

【详解】（1）证明：・四边形ASCD是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,

BE=FD,

..OB-BE=OD-FD,

：.OE=OF,

又OA=OC,

四边形AEC尸是平行四边形.

（2）解：SAABE=2,BE=EF,

…•q_-3vABE_-4?，

••・四边形AEC尸是平行四边形，

SsCFO=~S-CEF=—名的=/X2=1

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平

分.

10.（2023・湖南怀化•统考中考真题）如图，矩形ABCD中，过对角线的中点。作的

垂线砂，分别交AD,BC于点E,F.

（1）证明：ABOFHDOE；

（2）连接BE、DF,证明：四边形£BED是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据矩形的性质得出AD〃3C,贝UZl=N2,N3=/4,根据。是8。的中点,

可得80=。。，即可证明ABOF丝△OOE（AAS）；

（2）根据△B。//△OOE可得ED=3F,进而可得四边形EBFD是平行四边形，根据对角

线互相垂直的四边形是菱形，即可得证.

【详解】（1）证明：如图所示，

.四边形A3CO是矩形,

AD//BC,

：.Z1=N2,N3=N4,

。是8。的中点，

BO=DO,

在ABO户与WOE中

21=Z2

</3=/4,

BO=DO

/.ABOF/△OOE(AAS)；

(2),：ABOFdDOE

/.ED=BF,

丈：ED//BF

，四边形EBFD是平行四边形，

•；EFYBD

，四边形EB阳是菱形.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四

边形的性质与判定是解题的关键.

11.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点.求证：DE=BF.

【答案】证明见试题解析.

【分析】

由矩形的性质和已知得到DF=BE,AB〃CD,故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案.

【详解】

:四边形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AB=CD,

又E、F分别是边AB、CD的中点，

.♦.DF=BE,

又AB〃CD,

...四边形DEBF是平行四边形，

/.DE=BF.

考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定.

12.（2023・新疆•统考中考真题）如图，AO和相交于点。，ZABO=ZDCO=90°,

OB=OC.点、E、歹分别是AO、的中点.

⑴求证：OE=OF；

⑵当NA=30。时，求证：四边形3ECF是矩形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）直接证明△AOB四△DOC（ASA）,得出。1=OD,根据E、尸分别是AO、DO

的中点，即可得证；

（2）证明四边形%CF是平行四边形，进而根据NA=30。，推导出△5OE是等边三角形，

进而可得3C=£F,即可证明四边形3ECF是矩形.

【详解】（1）证明：在AAO3与△OOC中，

AABO=ZDCO=90°

<OB=OC

ZAOB=ZDOC

：.△AOB^ADOC(ASA),

OA=OD,

又,：E、尸分别是A。、的中点,

OE=OF；

(2)YOB=OC,OF=OE,

.,•四边形3ECF是平行四边形，BC=2OB,EF=2OE,

为AO的中点，ZABO=90°,

：.EB=EO=EA,

NA=30。，

ZB<9E=60°,

"QE是等边三角形，

OB=OE,

：.BC=EF,

，四边形8ECF是矩形.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练

掌握以上知识是解题的关键.

13.已知：如图，在口ABCD中，点0是CD的中点，连接A0并延长，交BC的延长线于点E,

求证：AD=CE.

【分析】只要证明△AOD段Z^EOC(ASA)即可解决问题；

【解答】证明：是CD的中点，

.,.OD=CO,

1/四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

.•.ZD=Z0CE,

在△ADO和△ECO中，

2D=ZOCE

,OD=OC,

Z.AOD=Z.EOC

.,.△AOD^AEOC(ASA),

.\AD=CE.

14.如图，在口ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE=DF.连接

EF,分别与BC,AD交于点G,H.

求证：EG=FH.

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】证明：：四边形ABCD是平行四边形,

，AB〃CD,ZABC=ZFDH,

zE=NF

在ABEG与aDFH中，，BE=DF

.ZEBG=Z.FDH

.'.△BEG^ADFH（ASA）,

；.EG=FH.

15.（2023•云南・统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE,CF分别是NaW、ZBCD

的平分线，且区产分别在边BC、AD上，AE=AF.

⑴求证：四边形AEC尸是菱形；

（2）若NABC=60。，AABE的面积等于4A，求平行线A3与。C间的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）4后

【分析】（1）先证AO〃3C，再证AE||FC,从而四边形AEC尸是平行四边形，又

于是四边形AEB是菱形；

（2）连接AC,先求得/&LE=ND4E=/ABC=60。，再证ACLAB,

NAC3=90。一NABC=30。=ZEAC,于是有立=组，得=走AC,再证AE=BE=CE,

3AC3

从而根据面积公式即可求得AC=46.

【详解】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,/BAD=/BCD,

二/BEA=/DAE,

,：AE.CF分别是NBA。、/BCD的平分线，

NBAE=ZDAE=|NBAD,/BCF=1/BCD,

/DAE=/BCF=/BEA,

：.AE\\FC,

•••四边形AECV是平行四边形，

AE=AF,

，四边形AEW是菱形;

(2)解：连接AC,

VAD//BC,NABC=60。，

/BAD=180°-ZABC=120°,

NBAE=/DAE=ZABC=60°,

•..四边形AEC尸是菱形，

NEAC=；/DAE=30°,

/BAC=/BAE+/EAC=90°,

AC1AB,ZACB=90°-ZABC=30°=NEAC,

；.AE=CE,tan30°=tanZACB=—=

AC3AC

/.AB=—AC,

3

,：ABC,

AE=BE=CE,

：△相£■的面积等于46，

2

SARr=-AC-AB=-AC-—AC=—AC=Sy/3,

■2236

A平行线AB与0c间的距离AC=46.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形

的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的

判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是

解题的关键.

16.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点0作EF1AC,分别交AB、DC于点E、F,

连接AF、CE.

(1)若0E=|,求EF的长;

(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【分析】

(1)判定△AOEgZ\COF(ASA),即可得OE=OF=|,进而得出EF的长；

(2)先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EFLAC,即可得到四边形AECF是菱形.

【解析】

(1),••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AO=CO,

.".ZFC0=ZEA0,

又：/AOE=/COF,

.".△AOE^ACOF(ASA),

AOE=OF=-,

2

・・・EF=2OE=3；

(2)四边形AECF是菱形，

理由：•••△AOEg/^COF,

，AE=CF,

又,.,AE〃CF,

・•・四边形AECF是平行四边形，

又〈EFJLAC,

四边形AECF是菱形.

17.(2023•浙江嘉兴・统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，于点E,A^_LCD于

点F，连接EF

A

⑴求证：AE=AF;

⑵若NB=60。，求上4EF的度数.

【答案】⑴证明见解析；(2)60。

【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明

(2)根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第•问的三角形全等和直角三

角形的性质可求出/A4E和NZM尸度数，从而求出—E4/度数，证明了等边三角形A£F,

即可求出/A£尸的度数.

【详解】(1)证明：・••菱形ABCD,

:.AB=AD,ZB=ZDf

又・.・AE_L5C,AF_LC。,

:.ZAEB=ZAFD=90°.

在A4旗和ZkAFO中，

ZAEB=ZAFD

<NB=/D,

AB=AD

:.^ABE^AAZ)F(AAS).

,\AE=AF.

(2)解：•.•菱形ABC。，

:.ZB+ZBAD=1^,

vZB=60°,

ZBAD=120°.

又・.・NAEB=90°,ZB=60°,

.\ZBAE=3Q°.

由（1）知厂，

:.ZBAE=ZDAF=30°.

...ZEAF=120°-30°-30°=60°.

■.■AE=AF,

等边三角形.

:.ZAEF=60°.

【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌

握全等的方法和菱形的性质.

18.已知：如图，在口ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分/ABC,EF〃AB.求证：

四边形ABFE是菱形.

【答案】见解析

【分析】

先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE,依据有一组

邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【解析】

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

又：EF〃AB,

，四边形ABFE是平行四边形，

：BE平分/ABC,

ZABE=ZFBE,

VAD/7BC,

NAEB=NEBF,

.•.ZABE=ZAEB,

；.AB=AE,

•••平行四边形ABFE是菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关

知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形.

19.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，已知点A,，C,8在同一条直线上，且AD=BC,

AE=BF,CE=DF.

⑴求证：AE//BF-,

⑵若。尸=FC时，求证：四边形OEC5是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据题意得出AC=BD,再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明

即可；

（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出DE=CF,又EC=DF,再由菱形的判定

证明即可；方法二：利用（1）中结论得出=结合菱形的判定证明即可.

【详解】（1）证明：：AD=BC,

AD+DC^BC+DC,

即AC=BD

在△AEC和△班曾中，

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

：.AAEC、BFD(SSS)

ZA=NB,

：.AE//BF

(2)方法一：在VADE和中,

AE=BF

<NA=NB,

AD=BC

：.AADE^BCF(SAS)

:.DE=CF,又EC=DF,

四边形DECF是平行四边形

DF=FC,

，nDECF是菱形；

方法二：,；AAEC名ABFD,

：.NECA=NFDB

：.EC//DF,

又EC=DF,

，四边形。ECP是平行四边形

,?DF=FC,

nDECF是菱形.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握

运用这些知识点是解题关键.

20.如图，四边形ABCD是菱形，点E、歹分别在边A3、AD的延长线上，且5石=£）产.连

接CE、CF.

求证：CE=CF.

【答案】见解析

【分析】

根据菱形的性质得到BC=CD,ZADC=ZABC,根据SAS证明ABEC咨△DFC,可得CE=CF.

【详解】

解：.四边形ABCD是菱形，

；.BC=CD,ZADC=ZABC,

/.ZCDF=ZCBE,

在ABEC和4DFC中，

BE=DF

<ZCBE=ZCDF,

BC=CD

.'.△BEC^ADFC(SAS),

.\CE=CF.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的

条件.

21.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，在AABC中，。是的中点，E是的中点，

过点A作A尸〃BC交CE的延长线于点F.

（1）求证：AF=BD；

⑵连接班若筋=AC,求证：四边形AD3F是矩形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出=然后利用“角角边”证明三

角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；

（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形"BD是平行四边形，

再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可.

【详解】（1）证明：：ABC,

ZAFE=NDCE,

:点E为AO的中点，

AE=DE,

在AAE广和△EDC中,

ZAFE=ZDCE

<NAEF=NDEC,

AE=DE

.,.△£AF^A£Z)C(AAS);

AF=CD,

CD=BD,

AF=BD；

(2)证明：AF//BD,AF=BD,

•••四边形AEBD是平行四边形，

VAB^AC,BD=CD,

：.ZADB=9。。,

平行四边形AFBD是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题,

明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.

22.如图，在AA3c中，N54c的角平分线交于点D,DE//AB,DF//AC.

(1)试判断四边形AH圮的形状，并说明理由；

(2)若NB4C=90°,且AD=20，求四边形AFDE的面积.

【答案】(1)菱形，理由见解析；(2)4

【分析】

(1)根据DE〃AB,DF〃AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分

线的定义得到/EDA=NEAD,可得AE=DE,即可证明；

(2)根据/BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式

计算即可.

【详解】

解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：

VDE/7AB,DF〃AC,

・・・四边形AFDE是平行四边形，

VAD平分NBAC,

NFAD=NEAD,

VDE^AB,

NEDA=NFAD,

NEDA=NEAD,

AAE=DE,

・•・平行四边形AFDE是菱形；

（2）VZBAC=90°,

四边形AFDE是正方形，

；2=2血，

；.AF=DF=DE=AE=¥=2,

二四边形AFDE的面积为2X2=4.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关

键是掌握特殊四边形的判定方法.

23.（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，点。为边上任

意一点（不与点A、8重合），过点。作DE〃BC,DF//AC,分别交AC、BC于点E、

F,连接所.

⑴求证：四边形ECFD是矩形;

(2)若C尸=2,CE=4,求点C到所的距离.

【答案】⑴见解析；(2)175

【分析】(1)利用平行线的性质证明NCED=/CFD=90。，再利用四边形内角和为360。,

证明/£2加=90。，即可由矩形判定定理得出结论；

(2)先由勾股定理求出砂=”?产+6£2=2行，再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)证明：'：DE//BC,DF//AC,

，四边形ECED为平行四边形，

ZC=90°,

四边形ECED是矩形.

(2)解：VZC=90°,CF=2,CE=4,

EF=VCF2+CE2=275

设点C到斯的距离为/i,

,,,SrFF=-CECF=-EFh

△CEF22

2x4=2病

.,475

••n=------

5

答：点C到E尸的距离为撞.

5

【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理.熟练掌握矩形的判定定理和利用

面积法求线段长是解题的关键.

24.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,BE//AC,AE//BD.

(1)求证：四边形A0BE是菱形；

(2)若NAO3=60。，AC=4,求菱形A0BE的面积.

【答案】(1)证明过程见解答；(2)273

【分析】

(1)根据BE〃AC,AE〃BD,可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，

可以得到OA=OB,由菱形的定义可以得到结论成立；

(2)根据/A0B=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE边0A上的高，然后根据菱形的面积=底义

高，代入数据计算即可.

【解析】

解：(1)证明：：BE〃AC,AE〃BD,

，四边形AOBE是平行四边形，

:四边形ABCD是矩形，

.\AC=BD,OA=OC=1AC,OB=OD=1BD,

.•.OA=OB,

四边形AOBE是菱形；

(2)解：作BFLOA于点F,

:四边形ABCD是矩形，AC=4,

.\AC=BD=4,OA=OC=1AC,OB=OD=；BD,

.,.OA=OB=2,

ZA0B=60°,

.•.BF=0B,sinNA0B=2x走=若，

2

，菱形AOBE的面积是：0A・BF=2x6=2g.

【点睛】

本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面

积=底X高或者是对角线乘积的一半.

25.如图，点C是9的中点，四边形A6CD是平行四边形.

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果=求证：四边形ACED是矩形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD//CE,AD=CE,从而证明四边形ACED

是平行四边形；

(2)由平行四边形的性质证得DC=AE,从而证明平行四边形ACED是矩形.

【详解】

证明：(1)•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,且AD=BC.

:点C是BE的中点，

；.BC=CE,

；.AD=CE,

VAD/7CE,

...四边形ACED是平行四边形；

(2)•.•四边形ABCD是平行四边形,

/.AB=DC,

VAB=AE,

/.DC=AE,

1/四边形ACED是平行四边形，

四边形ACED是矩形.

【点睛】

本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点0的直线EF与BA、DC

的延长线分别交于点E、F.

(1)求证：AE=CF；

(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)EFLBD或EB=ED,见解析

【分析】

(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明VAOE却SOF,则可得到AE

=CF；

(2)连接BF,DE,由Y4OE0COF,得到0E=OF,又AO=CO,所以四边形AECF是平行

四边形，则根据EF，BD可得四边形BFDE是菱形.

【详解】

证明：(1)•..四边形A5CD是平行四边形

；.OA=OC,BE〃DF

/.ZE=ZF

^△AOE和△COF中

'AE=NF

<ZAOE=NCOF

OA=OC

：.VAOE^/COF(AAS)

/.AE=CF

(2)当EFLBD时，四边形BFDE是菱形，理由如下:

如图：连结BF,DE

V四边形A5CD是平行四边形

.•.OB=OD

•/NAOE^fCOF

OE=OF

，四边形BEDE是平行四边形

VEF±BD,

••・四边形段DE是菱形

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉

相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.

27.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点E,F分别在BD和DB的延长线上，

且DE=BF,连接AE,CF.

(1)求证：△ADE0Z\CBF；

(2)连接AF,CE.当BD平分/ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.

(1)根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD=CB,ZADC=ZCBA,从而可以得到N

ADE=NCBF,然后根据SAS即可证明结论成立；

(2)根据BD平分NABC和平行四边形的性质，可以证明他BCD是菱形，从而可以得到AC,

BD,然后即可得到ACLEF,再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然

后根据ACLEF,即可得到四边形AFCE是菱形.

【解答】

(1)证明：•.,四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=CB,ZADC=ZCBA,

ZADE=ZCBF,

在4ADE和4CBF中，

AD=CB

ZADE=ZCBF,

DE=BF

AAADE^ACBF(SAS)；

(2)当BD平分NABC时，四边形AFCE是菱形,

理由：:BD平分NABC,

NABD=NCBD,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・OA=OC,OB=OD,AD〃BC,

NADB=NCBD,

NABD=NADB,

，AB=AD,

・•・平行四边形ABCD是菱形，

.\AC±BD,

.'.AC±EF,

VDE=BF,

・・・OE=OF,

又・.・OA=OC,

・・・四边形AFCE是平行四边形，

VACXEF,

・・・四边形AFCE是菱形.

28.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,分别过点A,C作AE_LBD,CF

±BD,垂足分别为E,F.AC平分NDAE.

(1)若NA0E=50°,求NACB的度数；

(2)求证：AE=CF.

B

【分析】

(1)利用三角形内角和定理求出/EAO,利用角平分线的定义求出NDAC,再利用平行线的

性质解决问题即可.

(2)证明△AEOg^CFO(AAS)可得结论.

【解答】

(1)解：VAE±BD,

；.NAE0=90°,

；NAOE=50°,

ZEAO=40°,

；CA平分NDAE,

.,.ZDAC=ZEA0=40°,

:四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

ZACB=ZDAC=40°,

(2)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.OA=OC,

VAE±BD,CF±BD,

/.ZAE0=ZCF0=90°,

,：ZA0E=ZC0F,

.'.△AEO^ACFO(AAS),

；.AE=CF.

29.如图，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别平分NBAD和NDCB,交对角线BD于点E,F.

(1)若/BCF=60°,求NABC的度数；

(2)求证：BE=DF.

【分析】

(1)根据平行四边形的性质得到AB〃CD,根据平行线的性质得到NABC+NBCD=180°,根

据角平分线的定义得到NBCD=2NBCF,于是得到结论；

(2)根据平行四边形的性质得到AB〃CD,AB=CD,NBAD=NDCB,求得NABE=NCDF,根

据角平分线的定义得到NBAE=NDCE,根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解析】

(1)・・,四边形ABCD是平行四边形,

AABZ/CD,

ZABC+ZBCD=180°,

VCF平分NDCB,

NBCD=2NBCF,

VZBCF=60°,

AZBCD=120°,

ZABC=180°-120°=60°；

(2)•・,四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD,AB=CD,NBAD=NDCB,

・•・ZABE=ZCDF,

VAE,CF分别平分NBAD和NDCB,

ZBAE=-/BAD,NDCF=-zBCD,

22

/.ZBAE=ZDCE,

.'.△ABE^ACDF(ASA),

；.BE=CF.

30.如图，点E是口ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.

(1)若AD的长为2,求CF的长.

(2)若/BAF=90°,试添加一个条件，并写出NF的度数.

【分析】

(1)由平行四边形的性质得出AD〃CF,则NDAE=/CFE,ZADE=ZFCE,由点E是CD的

中点，得出DE=CE,由AAS证得4ADE也△FCE,即可得出结果；

(2)添加一个条件当NB=60°时，由直角三角形的性质即可得出结果(答案不唯一).

【解析】

(1)：四边