高考总复习课程-高考数学尖子生拔高课程（文）课后练习第19讲数列的生成函数

第19讲数列的生成函数已知数列中，各项都是正数，且满足：，．证明：．数列中，，(为常数，)，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．已知数列对任意的满足:，则称为“Z数列”．(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；(2)已知正数列，若数列是“Z数列”，数列是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列，使得是“Z数列”；(3)若数列是“Z数列”，设求证．已知函数对任意的实数(1)，n∈N*，，设且为等比数列，求的值；(2)在(1)的条件下，设证明：(i)对任意的，；(ii)，．已知数列满足，EQ．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：．对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立．(1)数列、中，、()，判断、是否具有“性质”；(2)若各项为正数的等比数列的前项和为，且,，求证：数列具有“性质”；(3)数列的通项公式()．对于任意且，数列具有“性质”，求实数的取值范围．

第19讲数列的生成函数见详解．详解：1°当n=0时，∴a0＜a1＜2，命题正确．

2°假设n=k时有ak1＜ak＜2．则n=k+1时，而ak1ak＜0．4ak1ak＞0，∴akak+1＜0．

又∴n=k+1时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N时，有an＜an+1＜2．（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）见详解．详解：（Ⅰ）由，得，解得，或（舍去）．（Ⅱ）证明：因为，当且仅当时，．因为，所以，即()．下面证明：对于任意，有成立．当时，由，显然结论成立．假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增，所以．即当时，结论也成立．于是，当时，有成立．（Ⅲ）由，可得，从而．因为，所以因为，由（Ⅱ）()．由及，经计算可得所以，当时，；当时，；当时，由，得．见详解．详解：(1)设等差数列的首项，公差，所以任何的等差数列不可能是“Z数列”或者根据等差数列的性质：所以任何的等差数列不可能是“Z数列”(2)假设为正数列，是“Z数列”，∵是“Z数列”，所以∴，所以不可能是等比数列等比数列只要首项公比其他的也可以：，等比数列的首项,公比,通项公式恒成立,补充说明：分析：,根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以(3)因为,,,同理：因为数列满足对任意的所以(1)；(2)见详解．详解：(1)∵对于任意的x均成立,∴,即∵∴∴为首项,为公比的等比数列,∴．当,此时不是等比数列,∴∵成等比数列,∴成等比数列,∴．∵,，解得(2)在(1)的条件下,知,(i)==≤,∴原不等式成立．解法二(i)设,则=∵；当；当取得最大值∴原不等式成立．(ii)由(i)知，对任意的x＞0，有=∴取)=,则．∴原不等式成立．见详解．详解：(Ⅰ)证明：用数学归纳法证明(1)当时，．所以结论成立．(2)假设时结论成立，即，则．所以．即时,结论成立．由(1)(2)可知对任意的正整数，都有．(Ⅱ)证明：．因为，所以，即．所以．（1）不具有“性质”；具有“性质”；（2）见详解；（3）．详解：(1)在数列中，取，则，不满足条件①，所以数列不具有“性质”；在数列中，，，，，，则,,，所以满足条件①；()满足条件②,所以数列具有“性质”(2)由于数列是各项为正数的等比数列,则公比,将代入得：,解得或(舍去)所以,,对于任意的，且所以数列满足条件①和②,所以数列具有“性质”(3)由于,则,由于任意且,数列具有“性质