浙江省衢温“5 1”联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

浙江省衢温“51”联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣y=x}，集合B={y∣y=sinx}，则A．[−1，0] B．[0，1] C．2．已知向量a=(2，3)，bA．(7，4) B．(7，−4) C．3．已知tanα，tanβ是方程x2A．−52 B．52 C．−4．已知偶函数f(x)定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递减，a=f(2−1)A．a<b<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b5．已知函数f(x)=ln(sin(2x−π3))A．(0，1] B．(−∞，1] C．6．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为a，从2022年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与xA．y=0.950−xC．y=0.957．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120∘，直线BC上异于B，C两点的点A．−103 B．−73 C．8．已知函数f(x)是定义在[1，+∞)上的单调函数，且对任意x∈[1，+∞)，均有f(f(x)−log2x)=1A．[1，+∞) B．[32，+∞)二、多选题9．下列说法正确的是（）A．“a>b”是“acB．在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的充要条件C．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的必要不充分条件D．“x2−2x−3>0”是“10．已知函数f(x)=6A．当x=π6时B．f(x)在[−πC．f(x)在[−πD．f(x)的一个对称中心为(11．质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.A的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；B的角速度为4rad/s，起点为射线y=33x(x≥0)与⊙OA．(cos1118πC．(cosπ18，12．已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，以A1A．CB．四棱锥E−A1C．三棱锥C1−D．若F为A1A上的动点，则D三、填空题13．若z=3−i1+2i，则|14．在△ABC中，B=π6，C=π2，BC=1，向量e是与15．已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，若f(x)在[−π12，π16．已知对任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得(1−t)a+(1+2t)b+3c=0成立，则t四、解答题17．已知函数f(x)=1（1）当x∈[0，π2（2）当x∈R时，求函数f(x)的单调递减区间.18．已知向量m=(cos（1）若m∥n，求（2）已知f(x)=m⋅n19．已知正三棱锥S−ABC的高为4，底面边长为43（1）求该正三棱锥的表面积；（2）用平行底面ABC的平面去截该三棱锥，所得截面三角形A1B1C120．位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？（2）若经过2小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？（3）假设小艇的最高航行速度只能达到10621．已知函数f(x)=2023（1）若函数g(x)=f(x)−2，判断g(x)的奇偶性并证明；（2）对∀x∈R，不等式f(x2+1)+f(a|2x−1|)≥422．已知函数f(x)=(（1）当a=−1时，判断函数f(x)的单调性，并写出单调区间（无需证明）；（2）若存在x0∈[1，2]，使

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】根据幂函数定义域可知A=[0，+∞)，根据正弦函数的值域可知故A∩B=[故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法得出集合A，再结合正弦函数的值域得出集合B，再利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交集。2．【答案】A【解析】【解答】因为a⊥b，所以因为a=(2所以2a故答案为：A

【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出x的值，从而得出向量的坐标，再利用向量的坐标运算得出向量2a3．【答案】D【解析】【解答】因为tanα，tanβ是方程所以tanα+tanβ=5，则tan(α+β)=tanα+tanβ故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合一元二次方程的根求解方法得出tanα，tanβ的值，再利用两角和的正切公式得出4．【答案】B【解析】【解答】因为函数f(x)为偶函数，可得b=f(sin(−1))=f(−sin又因为当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递减，且所以f(2−1)>f(sin1)>f(1)，即f(故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和减函数的性质，进而比较出a，b，c的大小。5．【答案】C【解析】【解答】已知函数f(x)=ln(sin(2x−π3))所以ln(sin(2x−π所以函数f(x)的值域为(−∞，故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合复合函数求值域的方法，进而得出函数f(x)的值域。6．【答案】C【解析】【解答】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的P倍，则P50∴P=0.所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为a，从2022年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是y=0.故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合指数型函数建模的方法，进而得出从2022年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式。7．【答案】A【解析】【解答】因为BD=λ所以BC=而AD=于是有AD2即4=4(解得λ=−103或故答案为：A

【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，得出AD→=18．【答案】D【解析】【解答】令f(x)−log2x=t⇒f(x)=lo由f(x)=log因为函数f(t)是定义在[1，+∞)上的单调函数，且所以t=1，于是有f(x)=log2x+1令2f(x)=m，所以m∈[⇒a=m+1因为关于x的方程4f(x)所以方程a=m+1函数f(m)=m+1m在m∈[所以想要关于x的方程4f(x)只需a≥5故答案为：D

【分析】令f(x)−log2x=t⇒f(x)=log2x+t，则有f(t)=1，由f(x)=log2x+t⇒f(t)=log2t+t，再利用函数f(t)是定义在[1，+∞)上的单调函数，且f(1)=1，进而得出t的值，所以有f(x)=log2x+1，且f(x)≥f(1)=1，令2f(x)=m9．【答案】B,D【解析】【解答】当a>b，c=0时，显然若A∈(0，π2若A∈[π2，π)，因为所以cosA<0，cosB>0，因此若A，B∈(0，若A，B中有一个在[π2，所以A∈[π2，π)，在三角形中A>B⇒a>b⇒sinx2−2x−3>0⇒x>3或x<−1，|x|>1⇒x>1或则{x>3或x<−1}⫋{x>1所以“x2−2x−3>0”是“故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。10．【答案】C,D【解析】【解答】由题可得f(x)=6对A，当x=π6，x+π对BC，x∈[−π3，对D，f(5π故答案为：CD.

【分析】由题意结合辅助角公式可得f(x)=22sin(x+π6)，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出当x=π611．【答案】A,C【解析】【解答】设当B与A重合时，所用时间为t，B与A的坐标均为(cos由题意可知π6+4t−t=2kπ，k∈Z，即当k=3m，m∈Z时，t=−π18+2mπ当k=3m+1，m∈Z时，t=−π18+当k=3m+2，m∈Z时，t=−π18+4π3故答案为：AC.

【分析】设当B与A重合时，所用时间为t，B与A的坐标均为(cost，sin12．【答案】A,B,D【解析】【解答】如图所示，过E作EF⊥A1B1，连接因为E为圆弧AB1的三等分点（靠近点所以∠EA1B1=6由题意可得EF⊥平面A1在△EFC1中，FC则EC由题意可得A1D1则S△A1S△A1在△D1CC1E=2S△四棱锥E−A1BB符合题意；取A1C1中点O1，因为△A1B因为△A1B过O1作平面A1B1C1的垂线OOOO1、OO1交于点O，则则OO1=F所以OC即外接球的半径R=21三棱锥C1−AC不符合题意；如图所示将平面D1DAA1沿着AA1展开，连接D则根据两点之间距离最短可知此时D1最小值为D1D符合题意.故答案为：ABD.

【分析】过E作EF⊥A1B1，连接A1E、D1E、C1E、B1E、C1F、C1E，再利用E为圆弧AB1的三等分点（靠近点A），所以∠EA1B1=60°，则EA1=A1B1=EB1=1，FA1=FB1=12，由题意可得EF⊥平面A1B1C1，再利用勾股定理和三角函数的定义得出EC1的长；由题意可得A1D1⊥A13．【答案】2【解析】【解答】因为z=3−i所以|z故答案为：2

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式得出复数z的共轭复数的模。14．【答案】3【解析】【解答】因为B=π所以A=π3，所以AC在AB上的投影向量为cosA⋅AC⋅故答案为：3

【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，进而得出角A的值，再利用正切函数的定义得出AC的长，再结合数量积求投影向量的公式得出AC在AB上的投影向量。15．【答案】9【解析】【解答】由x∈[−π12，因为f(x)在[−π所以−π12ω≥−所以ω的最大值为3，当ω取最大值时，f(x)=sin3x，方程f(x)−lgx=0的解的个数，即函数y=f(x)，如图作出函数y=f(x)，由图可知函数y=f(x)，所以方程f(x)−lgx=0的解的个数为9个.故答案为：9.【分析】由x∈[−π12，π6]，得ωx∈[−π12ω，π6ω]，再利用f(x)在[−π12，π6]16．【答案】1【解析】【解答】由题设a>0Δ=b2−4ac≤0，有b2又(1−t)a+(1+2t)b+3c=a+b+3c+(2b−a)故存在t∈R使a+b+3c+(2b−a)所以t=1+3(b+c)a−2b所以t≥1+38⋅而38⋅[(12所以t≥14，仅当a=−b且c=b24a故答案为：1

【分析】由题设得a>0Δ=b2−4ac≤0，则b2≤4ac，再利用b<0，则c≥b24a>0，再利用(1−t)a+(1+2t)b+3c=a+b+3c+(2b−a)t，则2b−a<0，故存在17．【答案】（1）解：f(x)=当x∈[0，π∴sin(x+π3)∈[（2）解：由π2+2kπ≤x+π∴f(x)的单调递减区间为[【解析】【分析】（1）利用已知条件结合x的取值范围和不等式的基本性质，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出函数在x∈[0，π2]时的函数f(x)的值域。18．【答案】（1）解：∵∴cos即sinx=0（2）解：f(x)=∵f(α)=−∵0<α<π，∴sinα=10∵f(β)=∵0<β<π，∴sinβ=2∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ由①②知π2【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示得出x的值。

（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式、函数的解析式代入法、角的取值范围和同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式，进而得出α+β的值。19．【答案】（1）解：记高为SO，垂足为O，则O为△ABC的中心且∠SOB=9∵AB=AC=BC=4∴正三棱锥侧面的斜高h=2∴∴正三棱锥S−ABC的表面积S=3×所以该正三棱锥的表面积为1215（2）解：因为A1所以球心在直线SO上，设球心为M，设MO=x记OS与△A1B1C1的交点为∵则x2+42=则x=3，即MO=3，∴外接球的半径R=5，∴球的体积V=4π【解析】【分析】（1）记高为SO，垂足为O，则O为△ABC的中心且∠SOB=90∘，再利用已知条件得出正三棱锥侧面的斜高，再结合三角形的面积公式和正三棱锥的表面积公式得出正三棱锥S−ABC的表面积。

（2）利用A1B1C1−ABC为正三棱台，所以球心在直线SO上，设球心为M，设MO=x，MO'=y，记OS与△20．【答案】（1）解：如图所示，∠BAC=30°，∠ABC=60°，AB=30，AC⊥BD时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为AC=ABcos海轮航行的距离为BC=15海里，故航行时间为1520所以小艇的航行速度v=15（2）解：如图所示，设小艇与海轮在点D处相遇，经过2小时后海轮航行的里程为20×2=40海里，即BD=40，则在△ABD中，由余弦定理得AD所以小艇航行的里程s=AD=1013故小艇的航速v=s（3）解：如图所示，因为AC>BC，且小艇的最高航速为106AC106=324，设在D点相遇，∠CAD=θ(0<θ<π则AD=153cosθ∴15整理得v=20从而sin(θ+π6)≥∴θ∈[π故θ=π12时，即cosπ综上当小艇的航行方向为北偏西π12×180π=15°【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦函数的定义和速度等于路程除以时间的求解公式，进而得出小艇的航行速度。

（2）设小艇与海轮在点D处相遇，经过2小时后海轮航行的里程为20×2=40海里，即BD=40，在△ABD中，由余弦定理得出AD的长，进而得出小艇航行的里程，再结合速度等于路程除以时间得出小艇的航速。

（3）利用AC>BC，且小艇的最高航速为106海里/时，进而结合比较法得出小艇与海轮不可能于B，C及之间的任意位置相遇，设在D点相遇，∠CAD=θ(0<θ<π2)，再结合三角函数的定义和辅助角公式正弦型函数的图象求最值的方法得出sin(θ+π6)≥22，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出角θ21．【答案】（1）解：g(x)为奇函数，理由如下：g(x)=f(x)−2=2023x+ln(g(−x