山东省淄博市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

山东省淄博市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．sin17A．32 B．12 C．−32．下列命题中正确的是（）A．OA－OB＝AB B．AB＋BA＝0C．0AB＝0 D．AB＋BC＋CD＝AD3．已知z⋅(1+2iA．-1 B．−i C．i D．2+i4．在△ABC中，下列各式正确的是（）A．ab=sinC．c2=a5．要得到函数y=4sin(x+πA．向左平移π3个单位 B．向右移πC．向左平移π6个单位 D．向右平移π6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD＝13CA＋λA．23 B．－23 C．257．已知两条直线a、b和平面α，若b⊂α，则“a//b”是“a//A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若所有棱长都是3的直三棱柱ABC−AA．12π B．18π C．21π D．39π二、多选题9．在△ABC中，如下判断正确的是（）A．若sin2A=sin2BB．若A>B，则sinC．若△ABC为锐角三角形，则sinD．若sinA>sin10．已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a//c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系不正确的是（）A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能11．下列命题正确的是（）A．复数z1，z2的模相等，则z1，z2互为共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→12．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形E，F，G，H分别为PA，A．平面EFGH//平面ABCD B．直线PA//C．直线EF//平面PBC D．直线EF//三、填空题13．已知|a|=|b|=3，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为14．如图，AB=1，AC=3，15．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见灯塔在船的南偏西60∘方向，另一灯塔在船的南偏西716．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=四、解答题17．已知a，b，（1）若a⊥(b（2）若ka+b与218．（1）已知关于x的实系数方程x2+mx+n=0，若1+2i是方程x2（2）复数|z19．已知f(x)=2sin(ωx+φ)(（1）求函数f(（2）将f(x)的图像上所有点向左平移π12个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的1220．已知向量m=(sinx−（1）若x∈[−π2，π]（2）若x∈[0，π2]，方程f(x)=a21．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线MN//平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；（2）假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.22．ΔABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知asin（1）求B；（2）若ΔABC为锐角三角形，且c=2，求ΔABC面积的取值范围。

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】sin=====故答案为：B.

【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得答案.2．【答案】D【解析】【解答】起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即OA－OB＝BA，A不符合题意；AB，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量即AB＋BA＝0，B不符合题意，；0与向量的数乘应是零向量，即0·AB＝0，C不符合题意；根据向量的加法法则，’AB＋BC＋CD＝AD，D符合题意，故答案为：D.

【分析】根据向量加法、减法的几何意义即可判断出A，B，D；根据向量的数乘运算即可判断C.3．【答案】C【解析】【解答】由题意z=2−i1+2i故答案为：C．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案.4．【答案】D【解析】【解答】对于A：由正弦定理有asinA=对于B：因为asinA=对于C：cos(A+B)=−cosC对于D：由正弦定理可得asinA=csin故答案为：D

【分析】利用正弦定理，余弦定理以及诱导公式，逐项进行判断，可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】y=4sin因此要得到函数y=4sin只需把函数y=2sin2x的图象向左平移故答案为：C

【分析】根据三角恒等变换与平移法则可得答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：因为D是AB边上一点，所以AD=k则CD−CA=k(又因为CD＝13CA＋λ所以1−k=13λ=k故答案为：A

【分析】根据D是AB边上一点，得到AD=kAB，再根据CD＝137．【答案】D【解析】【解答】因为b⊂α，若a//b，则a//α或a⊂α，则“a//b”⇒“若a//α，且b⊂α，则a与b平行或异面，即“a//b”⇐“所以，“a//b”是“a//故答案为：D.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，线面平行的性质和判定，即可得到结论.8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2332所以外接球的表面积为：4π(故答案为：C

【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】A.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则所以A=B或A+B=π2，所以B.在△ABC中，若A>B，则a>b，由正弦定理可得2RsinA>2RsinC.若△ABC为锐角三角形，则A+B>所以π2>A>πD.在△ABC中，若sinA>sinB即a>b，所以A>B，D符合题意.故答案为：BCD

【分析】利用已知条件结合角相等和角互补正弦值相等的性质，再结合等腰三角形的定义判断出三角形的形状，再利用正弦函数的单调性和正弦函数的图象和余弦函数的图象，进而找出判断正确的选项。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】若a与b平行，∵a//c，∴b//c，与b与c相交矛盾，所以A不符合题意；若a与b相交，由直线a⊂α，直线b⊂β，平面a∩平面β=c，可知a与b都在同一点处与c相交，这与a//c矛盾，所以B不符合题意；因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故a与b只能异面，所以C符合题意；综上所述，D不符合题意.故答案为：C.

【分析】通过空间中线面与线线的位置关系，对三种不同情况进行讨论与判断，即可得到答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】A：若复数z1、z则z1、zB：z1、z2都是复数，若z1反之z1、zC：复数z是实数的充要条件是z=z(z是z的共轭复数)，故CD：已知复数z1它们对应的点分别是A，B，C，O为坐标原点，若OC=x有3=−x+y，−2=2x−y，解得x=1，y=4，则x+y=5，故D正确.故答案为：BCD

【分析】直接利用共轭复数的定义和复数的运算及充分条件和必要条件的应用，逐项进行判断，求出答案.12．【答案】A,B,C【解析】【解答】作出立体图形如图所示.连接E，F，对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF//AD.又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF//平面ABCD.同理，EH//平面ABCD.又EF∩EH=E，EF⊂平面EFGH，EH⊂平面对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG//PA，又MG⊂平面BDG，对于C，由A中的分析知EF//AD，AD//BC，所以EF//BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面对于D，根据C中的分析可知EF//BC再结合图形可得，BC∩BD=B，则直线EF与平面故答案为：ABC

【分析】作出立体图形如图所示，连结E，F，G，H四点构成平面EFGH，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及性质定理，对四个选项逐一分析判断，即可得答案.13．【答案】6【解析】【解答】解：因为向量a在向量b上的投影向量为32所以a⋅即cos⟨因为⟨a所以⟨a故答案为：6

【分析】根据平面向量与投影向量的定义，列式计算即可求出a与b的夹角.14．【答案】2【解析】【解答】解：因为AB=1，所以AD=即AD=所以AD⋅故答案为：2

【分析】由已知用AB→，AC15．【答案】10海里/小时【解析】【解答】设船的初始位置为A，航行半小时后到达位置B，两灯塔的位置为C，由题意知：CD=10，∠ABC=60∘，∠ABD=75∵∠BCA=90∘−6∴∠BDC=∠BCA−∠DBC=30∘−1在Rt△ABC中，AB=BCsin∴船的速度为50故答案为：10海里/小时.

【分析】作出示意图，由三角函数的知识表示出BC，进而求得AD的长，求解出这艘船的速度.16．【答案】3【解析】【解答】因为m=(2cos2A+3所以4cosA=2coscosA=即3−bcbc=1又cosA=12所以△ABC的面积为S=1故答案为：3

【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则求得A，再利用余弦定理求得bc，再利用正弦定理求出△ABC的面积.17．【答案】（1）解：因为b∴∵∴∴ m=−2 ∴∴（2）解：由已知：k∴∴k=−2【解析】【分析】(1)先利用向量加法的坐标运算求得b→+c→=(−418．【答案】（1）解：因为1+2i是方程所以(1+2i)2所以m+n−1=022+（2）解：由复数的几何意义知，在复平面内z2对应点的坐标为(2|z1|=1表示复数z所以|z1−z2【解析】【分析】(1)利用复数代数形式的运算，复数的相等求解，即可得m，n的值；

(2)利用复数的几何意义求解出最大和最小值.19．【答案】（1）解：因为f(x)所以ω=1；因为f(x)图像关于直线x=即φ=kπ−π6因为−π2<φ<0所以f(（2）解：由题意得g(2kπ−π2≤2x−π12≤2kπ+π所以g(x)【解析】【分析】(1)由函数的最小正周期可得ω的值，再由函数的对称轴可得φ的值，进而求出函数f(x)的解析式；

20．【答案】（1）解：由题意f(x)=m⋅n=2=cos2x−3由2kπ+π2≤2x+5π6又x∈[−π2，π]，x∈[−∴f(x)的减区间为[−π6（2）解：又x∈[0，π2]，由（1）f(x)在[π3，π2]上递增，作出函数y=f(x)，x∈[0，π2]可知当52<a≤72时，f(x)=a有唯一解．∴【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示求出f(x)，并利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得减区间；（2）由（1）得出f(x)在[0，π2]21．【答案】（1）解：存在，BN：连接AN并延长，交BC于E，连接PE.因为正方形ABCD中，AD//BC，所以又因为PMMA=5PE⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN//平面PBC（2）解：由（1）得BE：AD=5：△PBE中，P=13所以PE=91因为MN//PE所以MN=91【解析】【分析】(1)根据平行线的比例性质得出PMMA=58，从而证明出MN//PE，得到MN22．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得sinA又因为ΔABC中A+B+C=180°可得sin(B+C)=sinA因为ΔAB