高等代数课件：逆矩阵

2逆矩阵的定义与唯一性3第五节逆矩阵矩阵可逆的判定定理及其求法4运算规律1概念的引入5逆矩阵的应用问题：在数字运算中，已知数a与c，求x，使得

ax=c或xa=c？（引出数字乘法逆运算－除法）解设，于是有意义。用左乘第一个方程两边，得而用右乘第二个方程两边，得而所以，除法运算可归结为：数a是否有逆元素？即是否有数b，使得ab=ba=1？当时，a有逆元素b，一、概念的引入例1

设

定义：对于阶方阵，如果有一个阶方阵

则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.,使得显然有注意：逆矩阵千万不要写作。二、逆矩阵的定义与唯一性定理：若n阶方阵A可逆，则A的逆矩阵唯一。证明设方阵B、C都是A的逆矩阵，则有因此所以矩阵A的逆矩阵唯一。例2

设求A的逆矩阵。解设是的逆矩阵,

逆矩阵求法一－－待定系数法二、逆矩阵的定义与唯一性则有又因为二、逆逆矩阵的定义与唯一性所以注意：这种求法虽然思路简单，但计算量太大，比如要求一个三阶矩阵的逆阵，就要求解一个九个未知数的方程组，所以平时不用它来求逆阵。二、逆逆矩阵的定义与唯一性定理

矩阵可逆的充要条件是.

证明(必要性)已知A可逆，则有矩阵使得三、矩阵可逆的判别定理及其求法两边取行列式，有所以(充分性)当时，由式得所以矩阵A可逆，且证毕思考：设I和II是n维向量空间的两组基，P为基I到基II的过度矩阵，P是否可逆？为什么？

三、矩阵可逆的判别定理及其求法

逆矩阵求法二－－伴随矩阵法由上述定理的证明知其中为A的伴随矩阵。特别地，对于二阶方阵当时，有例如则三、矩阵可逆的判别定理及其求法例3

设，判断A是否可逆.若可逆，求其逆阵。解因为所以矩阵A可逆.又因为三、矩阵可逆的判别定理及其求法所以注意验证注：用伴随矩阵法求逆阵非常容易出错，一般不提倡。三、矩阵可逆的判别定理及其求法推论1方阵不可逆

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当时，称A为奇异矩阵；当时，称A为非奇异矩阵；所以矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵;

矩阵A不可逆的充要条件是A为奇异矩阵.推论2

设A,B为同阶方阵，若，则方阵A,B都可逆，且证明因为，所以三、矩阵可逆的判别定理及其求法所以，所以可逆，记其逆阵为，则有同理可证注意：以后判断B是否为A的逆矩阵，只需验证

和中的一式即可。三、矩阵可逆的判别定理及其求法⒈A可逆可逆，且证取B＝A，则有四、运算规律⒉A可逆，可逆，且证对，取，则有证⒊同阶方阵均可逆可逆，且对，取，则有四、运算规律证⒋A可逆可逆，且。对，取，则有⒌A可逆证因为A可逆，所以有A可逆可逆四、运算规律两边取行列式，有注意：

A可逆，且(×)A可逆，且(√)6.A可逆也可逆，且证设A可逆，则，由恒等式得所以也可逆，且四、运算规律（反证法）已知可逆，假设不可逆，则因此因为可逆，所以上式两端同时右乘，得所以，与可逆矛盾，所以可逆。7.A可逆证在恒等式中,把A用代替,有所以四、运算规律再由性质6的证明知，所以有8.无论A是否可逆，恒有证

当A可逆时，对恒等式两边取行列式,有因为A可逆，所以，所以有四、运算规律当A不可逆时，由性质6的证明知，所以所以有9.A可逆证在恒等式中,把A用代替,有两端左乘，得证由得10.同阶方阵均可逆四、运算规律则关于方阵的幂的结论，可以扩展到11.负幂A可逆，定义四、运算规律例4

设方阵A满足，证明A及E－A均可逆，并求和。证明由得因此A可逆，且同理由得所以E－A可逆，且四、运算规律例5、（2001数一，3分）设矩阵A满足，则

例6、已知3阶矩阵A的行列式，则解由，得，所以，所以例7、已知三阶方阵满足，则四、运算规律1.n阶线性方程组的求解

对于n个方程n个未知数的线性方程组，若，则有其中，.分析所以五、逆矩阵的应用克拉默法则五、逆矩阵的应用例6利用逆矩阵求解线性方程组解令所以有,又因为，所以五、逆矩阵的应用2.求线性变换的逆变换对于线性变换，若，则有这是x到y的线性变换.可求得所以五、逆矩阵的应用3.矩阵方程求解

设m阶方阵A和n阶方阵B都可逆，矩阵已知，则有注意：1.矩阵相乘的次序不能变;

2.若给定的方程与上面三种形式都不同时，多数可经过恒等变形化为其中的一种.五、逆矩阵的应用例8设，且,求解将所给方程变形，得又因为，所以五、逆矩阵的应用因为所以可逆。所以设A的伴随矩阵,且求矩阵B例9分析把原矩阵方程变形，得到五、逆矩阵的应用等式两边同时左乘右乘，得由已知，及式和式很容易求出,再求，求。解法二：由已知式变形得到所以有五、逆矩阵的应用由